基于Kriging替代模型的地下水污染監測井網優化設計

范 越,盧文喜*,歐陽琦,常振波,李孟南,羅建男

基于Kriging替代模型的地下水污染監測井網優化設計

范 越1,2,盧文喜1,2*,歐陽琦1,2,常振波1,2,李孟南1,2,羅建男1,2

(1.吉林大學,地下水與資源環境教育部重點實驗室,吉林長春 130012；2.吉林大學環境與資源學院,吉林長春 130012)

采用模擬-優化方法進行地下水污染監測井網的優化設計,建立的優化模型以最大化覆蓋高污染區域為目標,且綜合考慮了各時段污染質的運移情況.為減小計算負荷,研究中引入Kriging方法建立模擬模型的替代模型,來代替模擬模型與優化模型進行耦合.最后通過一個假想案例評估替代模型的擬合精度和優化模型的性能.結果表明:替代模型的輸出結果相對誤差均小于0.5%,擬合精度較高;通過計算優化模型得到的最優布設方案污染質檢出濃度和為3.37mg/L,檢出率為85%,遠高于隨機布設方案.說明該方法能夠以較小的計算量實現最大化覆蓋高污染區域的目標.本次研究為監測井的布設提供了一種穩定可靠的優化方法.

模擬-優化；監測井布設；替代模型；Kriging方法

地下水污染具有隱蔽性、復雜性,必須及早發現及早治理.合理地布設地下水污染監測井能夠最大程度地發現、認識污染問題,為污染修復工作提供數據支持和檢驗保障.由于建設監測井成本高昂,進行地下水污染監測井網優化布設具有重要意義,其根本目的就是以最少的費用獲取空間和時間上有代表性的水質信息,在一定費用、人力和物力條件的約束下尋求完成監測任務最合理的監測點位布設[1].

模擬-優化方法是進行污染監測網優化設計的有效方法,該方法本質上是將模擬模型和優化模型相結合,使其既能描述復雜地下水系統溶質運移規律又能確定地下水系統在給定目標函數下的最優監測選擇[2].近30年來,模擬-優化方法在污染監測井優化設計方面取得了長足的發展.Meyer等[3-4]首次建立了實現監測井最大檢出概率、最小監測井數及最及時監測的多目標規劃;Reed等[5]將污染質的質量評估作為約束條件,在保證質量評估的基礎上實現監測取樣費用最小化;Wu等[6]在Reed的研究基礎上利用遺傳算法提高了優化模型的求解效率;駱乾坤等[7]總結深化前人成果,提出了包括污染質質量評估?空間評估在內的4個優化目標,并利用改進的小生境遺傳算法(INPGA)對特定時刻?確定情況下的監測井優選問題進行了求解;近期Luo等[8]在綜合考慮水文地質參數不確定性的基礎上,將模擬-優化方法應用于美國印第安納州的實際場地,取得了很好的優化結果.

但長期以來污染監測井布設方面的研究都局限于對特定時刻污染羽質量和形態的擬合,而忽略了污染監測井網的使用往往是一個長期的過程,在此過程中污染羽的運移和形態變化是客觀存在的.因此建立綜合考慮各個監測時段的優化模型十分必要.地下水污染監測井網的設計還應當考慮:在污染嚴重的地區應加密監測、監測井之間的間距不宜過小、能夠建設的監測井總數有限等因素.

此外,在優化模型求解過程中需要多次調用模擬模型,隨著模擬模型復雜化和調用次數的增加,傳統耦合方法具有很大的局限性.而替代模型的使用能夠很好地解決這一問題.替代模型可以以較小的計算量得到和模擬模型相近的輸入輸出關系.在優化模型求解過程中直接調用替代模型,而不必再是模擬模型本身.這樣不僅能夠克服以往耦合技術方法的局限性,而且可以大幅減少優化模型求解計算過程中多次調用模擬模型所造成的計算負荷,節省大量時間.Kriging法是建立替代模型的一種有效方法,它是建立在變異函數理論分析基礎上,對有限區域內的區域化變量取值進行無偏最優估計的一種空間局部內插法.安永凱等[9]使用該方法建立了地下水水流模擬模型的替代模型,取得了較好的擬合效果.

本文綜合上述條件,首次建立了以最大化覆蓋高污染區域為目標的優化模型,并在監測井網布設問題中使用Kriging替代模型,代替模擬模型與優化模型進行耦合以減小計算負荷.最終使設計的監測井網各時段污染質檢出濃度之和最高,檢出率最大,為揭示污染羽重要而全面的信息提供了良好的途徑.

1 模擬-優化方法

利用模擬-優化方法進行地下水污染監測井的優選需要建立符合優化目標的優化模型,同時還需將反映地下水系統固有規律的模型(地下水系統的模擬模型或它的替代模型)作為約束條件嵌入,才能使求得的解滿足要求.而建立地下水系統的模擬模型是建立它的替代模型的前提條件[10].

1.1 地下水系統的模擬模型

地下水的溶質運移模型需要建立在水流模型的基礎上,因此首先要建立地下水水流的動力學模型.二維潛水各向同性含水層的穩定流模型如下:

地下水溶質運移的數學模型包括對流—彌散方程及其定解條件,定解條件包括初始條件和邊界條件.一般情況下含源匯項的溶質運移的數學模型為:

本文將采用程序GMS中的MODFLOW和MT3D模塊來求解地下水水流和溶質運移的數學模型.

1.2 模擬模型的Kriging替代模型

替代模型是一種耦合模擬模型與優化模型的有效途徑.它是模擬模型輸入輸出響應關系的代替,能夠以較小的計算量得到和模擬模型相近的輸入輸出關系[11].安永凱等[9]認為,Kriging法是建立地下水數值模擬模型的替代模型的有效方法,因此本論文采用該方法建立替代模型.Kriging替代模型的基本形式為[12]:

叢恒雪(1992-),女,碩士生,研究方向:芳香植物的開發應用,email:conghengxue@sjtu.edu.cn;

利用以上敘述的原理,通過MATLAB軟件編寫程序,實現替代模型建立.

1.3 優化模型

式中:c為需求點的需求量;當需求點被覆蓋時,即需求點能接收到設施點的服務x為1,否則為0.當設施備選點被選為設施點時y為1,否則為0;當需求點被設施點覆蓋時x為1,否則為0.目標函數為求有限資源條件下所能覆蓋的最大需求量;約束條件是確定設施能夠為某個特定距離內的需求點提供服務,保證了在能夠覆蓋需求點的備選地址中,至少存在一個設施點,點才可能被覆蓋到;不等式限定設施點的開辦數目不大于.

式中:為潛在監測井位的標號,為總潛在監測井數目;為污染羽的編號,為污染羽的總數;為時段數,為總監測的時段數;con,i為污染羽在潛在監測井處時段的污染質濃度模擬計算值;x為決策變量,1代表在位置處布設監測井,0代表不布設;代表允許布設監測井數目的最大值;目標函數表示新增監測井布設后所有布設監測井處的污染質濃度和最大;約束條件表示布設監測井的最大數目.

2 案例應用

2.1 問題概述

研究區長1300m,寬800m,區內主要含水層是砂質潛水含水層.西側的邊界是一條深切的河流,河水直接補給地下水,水位穩定且水質較好;東側邊界是接受地下水補給的湖泊,水位穩定;南北兩側邊界由不透水的花崗巖體構成.區內有2個化工廠,排放主要污染物都為.兩廠投入生產半年后由于對周邊環境污染嚴重被迫停產.停產1a后,下游地下水中陸續發現污染.現要求在區內已有3口井的基礎上,設計地下水污染監測井網來監控污染質運移情況.

圖1 研究區概況

表1 研究區水文地質參數表

在此案例中,各點各時段污染物濃度的值利用模擬程序GMS中的MODFLOW模塊和MT3DMS模塊計算得到,模擬時間1260d,從污染物排放結束后1a開始,每180d監測1次.

2.2 替代模型建立

利用拉丁超立方方法對2個輸入變量(兩污染源的源強)進行抽樣,污染源源強范圍[100 ,1000g/d],抽得40組分布較均勻的樣本輸入值,分別代入GMS,計算得從污染開始排放后的540d,720d,900d,1080d,1260d全區416個潛在監測點的污染物濃度值,作為樣本的輸出值.

將40組訓練樣本輸入已編好的MATLAB程序中,對Kriging替代模型進行訓練.之后另抽取10組數據作為檢驗樣本,以確定Kriging替代模型擬合的精確程度.本文引入平均相對誤差MRE來評價替代模型的精確程度.

式中:為樣本個數;y為模擬模型的輸出;y為替代模型的輸出.

檢驗結果如圖2與表2:

圖2 540d替代模型與模擬模型擬合結果

表2 各時段替代模型與模擬模型的擬合精度

從上表中可以看出各點在5個時刻替代模型的相對誤差均小于0.5%,說明在本案例中Kriging替代模型擬合精度較高,可以用來代替地下水系統的溶質運移模型.之后,使用拉丁超立法抽樣方法對兩個污染源源強分別抽樣500組,利用建立好的替代模型代替模擬模型求解,輸出各點在5個時刻的500組污染物濃度樣本.

2.3 優化模型的建立和求解

基于上述500組污染羽5個時段(t=540~ 1260d)的污染質濃度數據建立最大覆蓋模型,其具體的數學形式如下:

式中:第一個約束條件是模擬模型的替代模型,該約束可以使整個優化模型符合研究區地下水系統本身所固有的物理規律;第二個約束條件是監測井個數的限制;第三個約束條件的物理意義是限制所選監測井間的距離不小于150m,其中a、b分別為潛在監測點的橫縱坐標,其余各項符號的物理意義同式(12).

在MATLAB中編寫程序,運用隱枚舉法計算該優化模型,通過建立過濾條件,即將計算結果按照由大到小的順序排列,只對得數較大的決策變量的組合進行驗證以挑選出滿足約束條件的最優解.其結果見表3.

表3 不同監測井個數下的最優布設方案

以=4為例,最優布設方案如圖3所示:

圖3 4口監測井的最優布設方案

在實際情況中,可以根據監測經費的多少決定布設監測井的數目,代入優化模型的約束條件中即可求得相應條件下的最優位置.

2.4 優化結果的檢驗

本模型優化的目的是使監測井最大覆蓋污染質濃度較大的區域,也就是要最大化監測井的檢出濃度.因此,我們將各時段污染質檢出濃度和?檢出率2項指標作為評價標準.改編上述算例,污染源位置不變,源強減小為1g/d,排放時間仍為180d;根據一般滴定檢測的精度,設定污染質的檢出下限為0.1mg/L,低于此限度則不能檢出;監測時間與監測頻率與上述案例相同,其他水文地質條件不變.

以=4為例,表4列出了各種方案的檢出濃度及檢出率的試驗結果.

檢出率的計算公式如下:

式中:為污染物的檢出率;為監測井的數目限制;為檢驗模型中模擬的時段數;y,i為決策變量,當污染物在號井時段的濃度大于檢出最低濃度,y,i取1;當污染物在號井時段的濃度大于檢出最低濃度,y,i取0.

表4 各設計方案的污染質檢出濃度和及檢出率

在416個潛在監測點中隨機抽取4口井(相互之間距離不小于150m)組成1000組檢驗方案,由MATLAB中的randint函數實現.計算檢驗方案的各時段檢出濃度和與檢出率2項指標.表3中的檢驗1~5是其中具有代表性的5組方案.

從檢驗結果來看,計算優化模型所得的最優方案監測井覆蓋區污染質濃度和為3.37mg/L,具有85%的污染質檢出率,遠高于隨機布設方案.因此,求解該優化模型得到的結果符合最大覆蓋污染質濃度較高區域的目標,同時可以使污染質的檢出概率最大.

3 結論

3.1 利用Kriging法建立模擬模型的替代模型精度較高,能充分逼近模擬模型的輸入輸出關系.因此使用Kriging替代模型代替模擬模型,并與優化模型耦合的方法是可行的.

3.2 使用0~1整數規劃中的最大覆蓋模型能夠實現監測井最大化覆蓋高污染區域的設計目標.將替代模型的輸出結果以約束條件的形式嵌入優化模型,利用隱枚舉法對其進行求解可得到監測井布設的最優位置.這種基于替代模型的模擬—優化方法可以較好地解決地下水污染檢測井位置的設計問題.

3.3 將各個時段的污染質運移情況綜合考慮到優化模型中,可以最大化各時段污染質被檢出的濃度和,同時也能夠得到最大的污染質檢出率.該方法為揭示污染羽重要而全面的信息提供了良好的途徑.

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Optimum design of groundwater pollution monitoring well network based on Kriging surrogate model.

FAN Yue1,2, LU Wen-xi1,2*, OUYANG Qi1,2, CHANG Zhen-bo1,2, LI Meng-nan1,2, LUO Jian-nan1,2

(1.Key Laboratory of Groundwater Resources and Environment, Ministry of Education, Jilin University, Changchun 130012, China；2.College of Environment and Resources, Jilin University, Changchun 130012, China)., 2017,37(10)：3800~3806

The simulation-optimization method was adopted to optimize the design of groundwater pollution monitoring network in this paper.The optimization model aimed to maximize the coverage of high-polluting areas and considering the transport of pollutants at all times.In order to reduce the computational load, the Kriging method was used to construct the surrogate model of the simulation model. In the optimization process, the surrogate model can be used to replace the relationship between input and output of simulation model.Finally, to assess the fitting accuracy of the surrogate model and the performance of the optimization, a hypothetical contaminated site was taken as a case study.The results showed that the mean relative error of the output between surrogate model and simulation model was less than 0.5%, which was a high fitting accuracy.The optimal detection rate of the pollutant was 3.37mg/L, and the detection rate was 85%, which was much higher than that of the random layout scheme.It indicated that the method can achieve the target of maximize the coverage of high-polluting areas with a small amount of computation. This study provided a stable and reliable method for the groundwater monitoring wells network design.

simulation-optimization method；monitoring wells network design；surrogate model；Kriging method

X523

A

1000-6923(2017)10-3800-07

范 越(1994-),男,山西忻州人,吉林大學碩士研究生,主要從事地下水數值模擬及優化管理研究.

2017-03-23

國家自然科學基金資助項目(41372237,41502221)

* 責任作者, 教授, luwx999@163.com