短時傅里葉變換的時頻聚集性度量準則研究

趙學智， 葉邦彥， 陳統堅

(華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510640)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.05.015

短時傅里葉變換的時頻聚集性度量準則研究

趙學智， 葉邦彥， 陳統堅

(華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510640)

為了使短時傅里葉變換(short time Fourier transform,簡稱STFT)獲得良好的時頻聚集性，必須根據信號的具體特點來選擇窗長。分析了現有窗長選擇準則的選擇機理及其優缺點，發現歸一化3階Renyi熵準則與Stankovic準則一般只會取到窗長選擇范圍的最大值，并分析了出現這種問題的原因，而其他準則得到的也不是最優的窗長。提出了一種新的基于對數窗能量的窗長選擇準則。對數窗能量與窗長是一種非線性關系，這顯著區別于普通窗能量隨窗長線性增長的特性，且其增長速度與窗型無關，并在短窗和長窗具有不同的增長速度，因而能夠在短窗和長窗之間取得良好的折衷。提供了仿真信號和實際信號的處理實例，其結果證明對數窗能量準則使STFT獲得了良好的時頻聚集性，效果優于現有的窗長選擇準則。

短時傅里葉變換； 時頻分析； 故障診斷； 窗長選擇； 時頻聚集性

引 言

短時傅里葉變換是一種重要的時頻分析方法，盡管現在小波分析[1]、經驗模態分解[2]和局部均值分解[3]等方法很流行，但并不能取代STFT，因為無論是小波分析，還是經驗模態分解或局部均值分解，其實質都是將原信號分解為一系列不同頻段的分量信號，而確知這些分量信號的具體頻率成分最終還是要通過傅里葉變換，對這些分量信號也都可以采用STFT做進一步分析。STFT在信號處理、系統狀態監測、故障診斷和瞬時頻率估計等方面應用廣泛。Astuti等[4]利用地電場信號的STFT分析結果來預測地震。Sivasankari等[5]利用STFT與獨立分量分析相結合，提取癲癇病人腦電信號的特征，在心電信號的處理中，STFT可用來計算各種心音分裂類型的分裂時間[6]。此外，STFT還被應用于對多普勒超聲血栓信號的處理，以實現對腦血栓的探測和定位[7]。STFT還可用于對語音的增強[8]。在故障診斷方面，通過計算STFT結果的峭度并選擇最大峭度所對應頻段的信號進行解調分析，可以獲取軸承的故障頻率[9]。另外，在雙曲調頻信號的解調和瞬時頻率估計等方面STFT都有著重要的應用[10]。

當應用STFT時，首先面臨的一個重要問題就是窗長選擇。在上面列舉的所有STFT應用中，有的是根據經驗來選擇窗長，有的則是根據已有的選擇準則來選取窗長。窗長是決定STFT時頻分析效果的關鍵因素。對STFT來說，窗太短則STFT的頻率分辨率會很差，窗太長則時間分辨率會很差。為了同時在時域和頻域都獲得良好的分辨率，即良好的時頻聚集性，必須折衷地選擇窗長。窗長的選擇一直是STFT中具有挑戰性的問題，盡管現在已經有了一些選擇準則，但是這些準則在實用中的效果并不太好，有些準則在很多情況下只能取到窗長選擇范圍的最大值，而其他準則確定出來的窗長也并不能使STFT取得很好的時頻聚集性。

筆者總結了目前的5種窗長選擇準則，提出了一種新的基于對數窗能量的窗長選擇準則。與目前的窗長選擇準則相比，對數窗能量的增長速度與窗型無關，而僅由窗長決定，因而對不同的窗型具有魯棒性。它的另一顯著特點是：與普通的窗能量隨窗長線性增長的特性相比，對數窗能量在短窗時的增長速度相對較快，而在長窗時的增長速度則相對變緩，因而在短窗和長窗之間能夠取得良好的折衷，有效地改變了以往準則的窗長選擇曲線隨窗長的單調下降性，在短窗和長窗之間實現了折衷的窗長選擇。實例分析表明，基于對數窗能量的窗長選擇準則能夠在不同情況下穩定地取得最優窗長。

1 短時傅里葉變換窗長選擇的必要性

STFT的實質是利用一個移動的窗函數將信號在不同時刻的部分依次取入窗口中，然后對窗口內的信號進行傅里葉變換，隨著窗口的不斷移動，就可分析出信號在不同時間點的頻率情況。STFT的定義為

(1)

其中：x(τ)為待分析的信號；w(τ)為窗函數。G(t,f)反映了信號x(τ)在時刻t的頻譜。

對于離散的數字信號x(k)，設窗函數的窗長為N，兩相鄰窗的移動步長為s個采樣時間間隔，則離散的STFT為

(m=0,1,2,…,M-1; n=0,1,2,…,N-1)

(2)

其中：m為窗口個數變量，它對應STFT的時間參數；n對應頻率參數。

設原始信號的采樣頻率為fs，則G(m, n)為信號x(k)在時刻ms/fs的頻譜，其中每一個n對應的頻率為nfs/N。

對于STFT來說，窗長N為決定其時頻分析效果的一個最重要參數，尤其是對于時變信號，窗長的選擇決定著能否正確分析出原始信號中的頻率變化情況。STFT的頻率分辨率為fs/N，顯然窗長N越大，STFT的頻率分辨率就越高，但同時時間分辨率卻越差，尤其是對于那些存在局部變化的信號，只有采用短窗才能捕捉到信號中的局部變化及其發生時刻，另外太長的窗長將使STFT失去“短時”的意義，但是太短的窗長卻又使得頻率分辨率變得很粗糙。為了同時在時域和頻域獲得較好的分辨率，即較好的時頻聚集性，必須折衷地選擇窗長。

2 窗長選擇準則及其選擇機理分析

2.1 5種窗長選擇準則

1) 最大模值準則[11]。Daubechies是著名的小波分析專家，以其名字命名的Daubechies小波應用廣泛，并對STFT也頗有研究，提出了窗長選擇的最大模值準則。STFT結果的模值之和為

(3)

則使D(N)取得最大值的N就是最優窗長，這就是Daubechies提出的最大模值準則[11]。

2) 最大峭度準則[12]。Jones 等根據統計學的峭度概念，通過計算G(m, n)的峭度來選擇最優窗長

(4)

在不同的窗長中，Jones等[12]認為使峭度K(N)取得最大值的窗長N是最優的。

3) Renyi 熵準則[13]。Renyi 熵定義為

(5)

在應用中一般取α=2。當Renyi熵值較小時，表明STFT的時頻聚集性較好，而聚集性差時的Renyi熵值較大。當Renyi熵取得最小值時，此時的窗長是最優的[13]。

4) 歸一化3階Renyi熵準則[14]。歸一化3階Renyi熵的定義為

(6)

式(6)與式(5)的主要區別是在對數當中除以了G(m, n)的模值之和，并且取式(5)中的α=3。此準則認為當RV3(N)取得最小值時的窗長是最優的[14]。

5) Stankovic準則[15]。以上4種方法都只針對STFT的結果G(m,n)進行各種運算，以便由此確定一個最佳的窗長。與這些方法有重要區別的是，Stankovic在選擇窗長時引入了窗函數的能量，提出利用式(7)來度量STFT的時頻聚集性

(7)

Stankovic準則認為H(N)越小，則STFT的時頻聚集性越好[15]。

2.2 5種窗長選擇準則的選擇機理分析

以上5種準則都涉及到對G(m,n)的1～4次方進行求和運算，為了從本質上探討這些準則的選擇機理，首先來分析G(m, n)求和的實質。對于第m個窗，窗口里面的局部信號是x(k)w(k-ms)，它的傅里葉變換是G(m, n)，則由離散傅里葉逆變換知，它可由式(8)重構

(k=ms, ms+1, ms+2, …, ms+N-1)

(8)

對式(8)兩邊乘以x(k)w(k-ms)，然后對k求和

在兩邊同時對所有的m求和，可得

即

(9)

其中：M為STFT中窗口的總個數。

(10)

其中：int( )表示取整。

圖1 窗長N、窗位移s與信號長度L的關系Fig.1 Relationship among window length N, window shift s and signal length L

2.3 窗能量增長速度對選擇曲線單調性的影響

Stankovic準則的顯著優點是引入了窗能量的倒數，在目標函數中除以窗能量是一個很好的思想，因為顯然短窗能量小，長窗能量大，因此除以這種窗能量之后可以使短窗的H(N)相對增大，而長窗的H(N)相對減小，從而使最終的選擇在短窗和長窗之間可以有一個更好的折衷。雖然表面上看起來是這樣，但是這一方法在很多情況下往往會失效，得不到最優的窗長?？梢詫@一問題進行分析，首先將式(7)簡化為

(11)

表1 窗長為N的各種窗函數能量

圖2 Stankovic準則中的3條曲線Fig.2 Three curves in Stankovic rule

上面的結果不是偶然的，盡管P(N)的數量級比E(N)大很多，但是窗能量卻是線性增長的，而P(N)則未必，只要P(N)的增長率追趕不上窗能量E(N)的增長率，則不管P(N)的數量級比E(N)大多少，兩者相除得到的H(N)必將是成一個單調下降的曲線，證明如下。

E(N)的增長率為E(N)/E(N-1)，P(N)的增長率為P(N)/P(N-1)，如果P(N)追趕不上E(N)的增長率，則有

(12)

STFT的窗長至少必須大于1，從表1可見，各個窗的窗能量都是大于零的，即E(N)>0。另從P(N)的表達式也可看出，所有的P(N)也都是大于零的，即有P(N-1)>0。因此不等式(12)可移項，得

即

H(N)

(13)

因此當窗長N增大時，不管P(N)的數量級比E(N)大多少，得到的H(N)必定是一單調下降曲線。

對于歸一化3階Renyi熵準則(即式(6))，也存在類似的問題。從式(6)可以看出，其分子是|G(m,n)|的立方和，而其分母僅僅是|G(m,n)|的和，則其分子的增長率必然會大于分母的增長率，因此兩者相除的結果必然是單調上升的。但由于式(6)前面有一個負號，因此最終得到的RV3(N)是隨窗長單調下降的。由于該準則認為使RV3(N)取得最小值時的窗長是最優的，故該準則總是只能取到窗長選擇范圍的最大值。

對于最大峭度準則，由于其分子分母的冪次相同，難以確定它們的增長率孰快孰慢，但顯然它們會隨|G(m,n)|的變化而變化，而不同信號的|G(m,n)|是千變萬化的，因此兩者相除的結果比較復雜。

仍以前面的函數x(t)=cos(6cos(3πt)+60πt)+cos(18πt2+120πt)為例，給出其余4種準則的窗長選擇曲線如圖3所示。由圖可見：Daubechies最大模值準則的窗長選擇曲線先上升然后有所下降；最大峭度準則的選擇曲線先是上升，后略微下降，再略微上升；Renyi熵和3階歸一化Renyi熵都是單調下降的。除Daubechies最大模值準則得到的最優窗長是N=209外，其余所有準則得到的最優窗長都是N=256，但從后面的結果可以看到，它們都不是正確的最優窗長。

圖3 不同準則的窗長選擇曲線Fig.3 Window length selection curves of different rules

3 基于對數窗能量的時頻聚集性度量準則

3.1 對數窗能量增長速度與窗型的無關性

在上面已有的5種時頻聚集性度量準則中，Stankovic準則是比較獨特的，其他的準則都僅是對|G(m,n)|本身進行各種運算，而Stankovic準則卻引入了窗函數能量E(N)因子。表面上看，短窗的E(N)小，長窗的E(N)大，因此除以窗能量后，短窗的H(N)相對增大，長窗的H(N)相對減小，從而似乎在短窗和長窗之間有一個更好折衷。但由于窗能量E(N)隨窗長N呈線性增長(見表1)，它在很多情況下會快于P(N)的增長率，則從前面的證明過程可知，此時簡單地將P(N)除以E(N)就會使H(N)隨N而單調下降。為了防止因E(N)的線性增長而可能出現的這種問題，在除以窗能量之前，必須想辦法降低E(N)的那種線性增長速度，筆者提出采用對數函數來達到這一目的。如果對E(N)取常用對數，則此時的對數窗能量隨N的增長速度為

(14)

相比之下，自然窗能量的增長速度與窗型有關，但卻與窗長N無關，這使得它在長窗和短窗時的增長速度都是一樣的。例如從表1可以得到：Hanning窗能量的增長速度是0.375 0，Hamming窗能量的增長速度是0.397 4，Blackman窗能量的增長速度是0.304 6，高斯窗的增長速度是0.295 4，它們都與窗長沒有關系。如果簡單地除以自然窗能量，則當窗長變化時，這種恒定不變的增長速度不利于在長窗和短窗之間做折衷選擇。 圖4給出了Hanning窗的自然窗和對數窗的能量及其增長速度與窗長N的關系對比，其他窗函數也存在類似關系。

圖4 Hanning窗的自然窗和對數窗能量及其增長速度與窗長的關系對比Fig.4 Relation between the energy, energy increase speed and length of natural and logarithm window of Hanning window

3.2 對數窗能量準則

根據以上分析，筆者提出一種新的時頻聚集性度量準則：對長度為L的原始信號進行短時傅里葉變換時，采用下式進行時頻聚集性度量

(15)

當Q(N)取得最小值時，則STFT的時頻聚集性為最好，此時的窗長為最優窗長。此準則的特點在于引入了對數窗能量因子，因此稱之為對數窗能量準則。

利用這一準則對前面的信號x(t)進行最優窗長選擇，窗長選擇范圍同樣為8～256，選擇曲線如圖5所示?？梢?，采用對數窗能量后，Q(N)不再像圖2中的H(N)那樣單調下降，而是先下降后增長，然后再略為下降，有效地改變了H(N)原來的那種單調下降性，在短窗和長窗之間取得了良好的折衷，這種結果證實了上面的分析。當窗長N=70時，Q(N)取得最小值，因此最優窗長為N=70。

圖5 對數窗能量準則的窗長選擇曲線Fig.5 Window length selection curve of logarithm window energy rule

3.3 不同準則的時頻聚集性效果

對于本例所分析的仿真信號x(t)，從上面可知，對數窗能量準則確定的最優窗長是N=70，Daubechies最大模值準則得到的最優窗長是N=209，而其余所有準則得到的最優窗長都是N=256?，F分別取窗長N=70,209,256對信號x(t)進行短時傅里葉變換，結果如圖6所示。

圖6 不同窗長下STFT的時頻聚集性效果Fig.6 Time-frequency concentration effect of STFT under different window lengths

對于本例所分析的仿真信號x(t)，由于其時域表達式是已知的，故其時頻關系可以通過計算得到，該信號前半部分為余弦調制，其時頻關系為

-9sin(3πt)+30

后半部分為線性調制，其時頻關系為

根據以上兩個時頻關系可以畫出x(t)的實際時頻分布。因為在STFT所得到的時頻關系圖中，其時間軸都是以第一個窗的中心所對應的時間為零時刻，因此在繪制x(t)的實際時頻分布時，也采用這樣的零時刻。以窗長N=70為標準，它的中心所對應的時間是t=35/256=0.137 s，其中1/256是對原始信號x(t)的采樣周期。因此從t=0.137 s開始繪制x(t)的實際時頻分布，并將該時刻標識為零時刻，得到x(t)的實際時頻分布曲線如圖6(d)所示。與圖6的其他各圖對比可見，當N=70時STFT所得到的時頻關系與實際的時頻關系是一致的；而N取209和256時STFT所得到的時頻關系則與實際的時頻曲線已經有相當大的誤差了，而且N=256的效果比N=209還要更糟。

最后說明,文中STFT的計算采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform,簡稱FFT)來實現。由于窗長最大選擇范圍為256，因此計算時采用256點的FFT，當所選窗長小于256時，則將加窗信號補零至長度為256后再進行FFT。

4 對轉子振動信號的沖擊特征提取

在INV1612型多功能柔性轉子實驗臺上進行轉子振動檢測實驗，實驗時在轉子的配重盤上加兩個螺釘，這兩個螺釘并未彼此平衡，如圖7所示。轉子轉速為2 000 r/min，利用電渦流傳感器檢測轉子的振動位移，采樣頻率為2000 Hz，采樣點數為1 024點，得到的轉子振動位移信號及其幅值譜如圖8所示，其頻率成分如表2所示?？梢?，主要有3個頻率成分，其中33.203 1 Hz為轉子的轉頻，而其他兩個頻率分別為轉頻的二次諧波和三次諧波。根據轉子振動理論，轉頻伴隨著其二次諧波、三次諧波的出現意味著轉軸組件對中不良，從普通傅里葉變換只能得到這一結論。

圖7 轉子配重盤上添加的兩個螺釘Fig.7 Two screws appended in weight plate of rotor

圖8 轉子原始振動信號及其幅值譜Fig.8 Original vibration signal of rotor and its spectrum

表2 轉子的振動頻率

Tab.2 Vibration frequencies of rotor

f/HzU/V33.20310.121366.40620.021399.60940.0206

現利用STFT來分析這一信號，窗函數選為Hanning窗，首先來確定合適的窗長。采用對數窗能量準則以及目前的其他5種窗長選擇準則來選擇窗長，窗長選擇范圍定為8～256，取這一范圍是因為太短的窗會使頻率分辨率很粗糙，而太長的窗又會使STFT失去“短時”的意義。各種準則的窗長選擇曲線如圖9所示。從圖9可見，除對數窗能量準則和Daubechies最大模值準則外，其余4種準則的選擇曲線都是單調下降或上升的。各種準則得到的最優窗長分別為：對數窗能量準則，N=24；Daubechies最大模值準則，N=172；而Stankovic準則、最大峭度準則、Renyi熵準則、歸一化3階Renyi熵準則得到的最優窗長都是N=256。

圖9 不同準則對轉子振動信號的窗長選擇曲線Fig.9 Window length selection curves of different rules for rotor vibration signal

首先利用對數窗能量準則得到的最優窗長N=24來對原始振動信號做STFT分析，在這一窗長下STFT得到的三維時頻結果如圖10(a)所示，可見時頻圖中顯示出在均勻的時間間隔上、在這些時刻的較大頻率范圍都產生了平行于頻率軸的成分。在時頻圖中與頻率軸相平行的時頻特征是沖擊的典型特征。理想脈沖函數的頻譜在各個頻率段上都存在，并且在所有頻段上都是等強度的，是一種均勻譜。但實際中絕不可能產生如此理想的沖擊，實際沖擊的頻譜總是只發生在一定頻率范圍內，且強度逐漸衰減，圖10(a)的時頻譜符合這一特征。畫出此三維時頻圖在[0, 200]Hz范圍內的投影，如圖10(b)所示，它可以更清楚地顯示出各個時刻平行于頻率軸的沖擊譜。從圖10(b)可見，沖擊發生的間隔非常均勻，每個周期內有兩個沖擊，一個稍大，一個略小。這種結果毫無疑問地表明轉子受到了周期性的沖擊。

圖10 窗長N=24時轉子振動信號的STFT時頻圖Fig.10 STFT time-frequency figure of rotor vibration signal when window length is N=24

為了更清楚地顯示出沖擊發生的時刻以及分析沖擊發生的來源，可以平行于時間軸截取時頻圖在沖擊頻率范圍內的一個橫截面，這里不妨截取其中頻率為31.250 0 Hz處的截面，結果如圖11所示。它反映了31.250 0 Hz這一頻率的幅值隨時間而變化的情況，實際上平行于時間軸截取沖擊頻率范圍內的其他任何頻率橫截面都可得到類似的結果。

從圖11可以看到每周期內大小相間的兩個脈沖，而每兩個脈沖之間的時間間隔相當均勻，通過分析脈沖峰值的位置很容易計算出每60個數據點產生一大一小兩個脈沖，其采樣頻率為2 000 Hz，所以60個數據點的時間間隔為T=60/2 000=0.03 s，

圖11 平行于時間軸截取的時頻圖的一個橫截面Fig.11 One cross section intercepted parallel to time axis from time-frequency figure

據此可得沖擊頻率為f=1/T=33.33 Hz，這正好是轉子的轉頻，這表明轉子旋轉一周，分別受到兩個沖擊一次。根據這一數據以及轉子自身的情況，可以確定這種沖擊是配重盤上兩個螺釘產生的。從圖7可見，這兩個螺釘和轉子的軸心這三者并不處在同一條直線上，兩個螺釘的質量也不一樣，因而轉子旋轉時這兩個螺釘的離心力并不能被對方平衡掉，因此轉子每旋轉一周，因離心力產生的沖擊就分別經過傳感器一次，從而被傳感器檢測到。從圖10(a) 以及圖11的幅值來看，這種沖擊的幅度與原始信號的幅值(圖8)相比是很微小的，因而在原始信號中難以顯示出來，但在合適的窗長下，STFT卻把它們提取出來了，這一大一小兩個沖擊的時間間隔和配重盤上兩個螺釘的角度是相對應的。

再來看其他準則確定的最優窗長下的STFT結果。除Daubechies最大模值準則得到的最優窗長是N=172外，其他4種準則得到的最優窗長都是N=256，現分別利用這兩個窗長做STFT分析，結果如圖12所示，可見這兩種窗長的結果差別不大，但與圖10卻有顯著區別。從圖12 可見，這兩種窗長下的STFT得到的都是平行于時間軸的3個頻率成分，這3個頻率成分分別是轉頻、 轉頻的2次諧波和3次諧波，這種時頻結果表明原始信號在任何時刻總是只存在這3個頻率。但這樣的結果在前面的普通傅里葉變換中就已經得到了，因此這兩種窗長的STFT與普通傅里葉變換相比， 并不能顯示出STFT的優勢，轉子受到的沖擊在圖12的兩個時頻圖中沒有任何反映。

圖12 其他準則確定的最優窗長下的STFT時頻結果Fig.12 STFT time-frequency results under the optimal window lengths obtained by other rules

5 結束語

窗長是決定短時傅里葉變換時頻聚集性效果的關鍵因素，文中分析了現有5種窗長選擇準則的選擇機理，指出其中的歸一化3階Renyi熵準則和Stankovic準則往往只會取到窗長選擇范圍的最大值，并且指出這是由于此二準則中分子增長速度趕不上分母增長速度而導致選擇曲線單調下降。

提出了一種基于對數窗能量的窗長選擇準則。與普通的窗能量隨窗長線性增長的特性不同，對數窗能量在長窗時的增長速度會變慢，而在短窗時的增長速度卻會變快，有效地克服了普通窗能量的增長速度一成不變的缺陷，從而在短窗和長窗之間實現了更好的折衷選擇。

對數窗能量的另一個顯著優點是它的增長速度與窗型無關，而僅由窗長決定，因而對不同的窗型具有魯棒性。信號處理結果表明，對數窗能量準則確定的窗長能夠使短時傅里葉變換取得優良的時頻聚集性，其效果優于現有的5種窗長選擇準則。

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國家自然科學基金資助項目(51275174，51375178)；廣東省自然科學基金資助項目(S2012010008789)

2015-09-10；

2015-11-20

TH113; TN911.7

趙學智，男，1970年11月生，博士、教授、博士生導師。主要研究方向為振動測試與信號處理。曾發表《奇異值分解對連續Morlet小波變換的壓縮和提純》(《機械工程學報》2015年第51卷第16期)等論文。

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