諧振法測量圓管狀樣品復介電常數典型結構的解析模型

匡 輪，羅輝華，匡 堯

（1.北京無線電測量研究所，北京100039；2.北京大學數學科學學院，北京 100871)

諧振法測量圓管狀樣品復介電常數典型結構的解析模型

匡 輪1，羅輝華1，匡 堯2

（1.北京無線電測量研究所，北京100039；2.北京大學數學科學學院，北京 100871)

針對圓環形介質元件制作在線監測的需要，提出用諧振法直接測試圓管狀絕緣介質復介電常數的思路。提出4種可能的諧振結構形式，其中推演介質加載圓柱腔TM010模式諧振的解析模型，深入分析國外文獻關于介質加載圓柱腔TE011模式諧振問題的理論結果，并對介質加載圓形同軸腔的特性方程用于復介電常數測量的問題進行探討。對各個解析模型進行計算，并相應地與文獻的實驗結果進行對照,吻合良好。結果表明：TM010模式的解析模型正確；諧振特性參數對加載介質復介電常數（εr=1～80，tanδ=10-5～10-4)的敏感性隨結構的不同而不同。最終得出：圓柱腔TM010模式可用在諧振法測試圓管狀絕緣介質元件的復介電常數中。

復介電常數；諧振測試法；圓管樣品；解析模型；基模

0 引 言

諧振法是測量介質介電常數的常用方法，如小棒測試法[1-3]、薄片測試法[4]、塊狀樣品測試法[5-6]等。它們分別對不同形狀的實心樣品的復介電常數的測量問題建立了電磁模式的解析模型（TM、TE或TEM等，大多為基模)。對于圓管狀介質樣品（空心樣品)，雖然可以用圓柱諧振腔、圓形同軸諧振腔加載的結構實施復介電常數的測試，但相應的理論研究和實驗報道很少。文獻[7]報道了TE011模式下的理論分析公式和實驗數據，但未給出對應實驗數據的理論計算結果，也未進行TM模式的分析或實驗。我國學術界關注到了該論文[8-9]，但沒有相應的研究或應用報道。文獻[10]采用低介電常數小管狀介質作為容器，測量存于其中的動物組織的介電常數，但不是對小管本身的介電常數測量，也沒有進行電磁模式的解析分析。早期有學者對同軸諧振腔加載圓環介質的問題進行了分析[11]，但未考慮介質介電常數的測試問題。其他測試法如傳輸線特性測試法[12]、自由空間照射法[13]等，也難以借用到對圓管狀元件的測量。

在介質諧振器、微波鐵氧體帶線結環行器內部結構及有源集成天線（active integrated antennas，AIAs)中，天線諧振元件的制作過程中大多需要對介質的微波介電常數進行測量，最好是對圓管狀元件進行在線測量?？紤]到技術應用所需，本文擬對尚未見諸報道的空心樣品的諧振法測試建立TM模式解析模型，并進行理論計算與實驗結果對照；針對TE模式諧振特性，深度分析文獻[7]的解析結果；對TEM模式則主要進行模型特性計算。通過分析、計算和對比，獲得諧振法測量圓管狀介質樣品復介電常數的典型結構和模式一般特性的知識。

1 原 理

在諧振法測量介質介電常數的測試線路中，其核心部件是加載了該介質的諧振腔。相對于空腔（未加載該介質)，加載了該介質樣品的腔的諧振頻率、品質因數都將發生變化。通過電磁場理論分析得到諧振特性方程后，即可通過實驗數據計算得到介質的復介電常數。諧振特性方程既包含了結構參數、介質復介電常數，也包含了電磁場模式。從軸對稱圓形腔結構來看，要得到解析結果，必須軸向、環向和徑向三者中最多只有一向是非均勻的；而使用基模會有諸多便利。因此本文僅限于討論基模工作、只有徑向不均勻或者軸向不均勻的情形。

測試圓管狀介質樣品復介電常數的圓諧振腔通用結構如圖1所示。圓柱腔內表面層的磁導率、電導率分別為μc、σc。圓形封閉諧振腔內區域分為3部分：

圖1 圓形諧振腔法測試的通用結構簡圖（旋轉對稱)

III區：b≤r≤a，μ3、ε3（通常為空氣)；

II區：c≤r≤b，μ2、ε2（分別為待測元件的磁導率、介電常數)；

I區：r≤c，有 2 種情況：r≤c整體為一種低介電常數絕緣介質，以 μ1、ε1表征；r≤d 內為金屬柱，d～c為薄層低介電常數絕緣介質，仍以μ1、ε1表征。

2 方 法

這里對4種典型結構進行分析，以獲得其諧振頻率滿足的方程和品質因數滿足的方程。

2.1 結構1：小長徑比圓柱腔，諧振基模TM010

本結構中高度h＜2a，I區為r≤c整體。對本結構從一般的電磁場理論入手，結合邊界條件進行分析和建立數學模型，只考慮基模。

設場量如下（只有Ez，Hφ非0；軸向z方向均勻，傳播常數β=0)：

設E1已知，可求得：

腔側壁趨膚效應電阻損耗功率為

腔上下底壁趨膚效應電阻損耗功率為

其中ωs，ω0分別為加載樣品時和空腔時的諧振角頻率，分別為ω0下腔內壁的表面電阻和趨膚深度；積分項

加載后腔體部分的品質因數Qsc=ωs·We/（Pc1+Pc2)；被測樣品諧振腔的品質因數為Qs，有：

2.2 結構2：大長徑比圓柱腔，諧振基模TE011

本結構中高度h往往大于2a，I區為r≤c整體。對本結構直接借用文獻[7]的相關結論，但應用于本情形時，考慮到k1為虛數，需進行虛宗量、實宗量Bessel函數之間的轉換，只考慮基模。

Geyer等采用I區為很高的介電常數（待測)絕緣介質、II區為介電常數已知的圓管狀樣品，得到TE01u模式諧振頻率的特征方程（文獻[7]式（12))。當I區為低介電常數絕緣介質時推演該方程，得到：

2.3 結構3：圓形同軸腔，諧振基模TEM，介質在徑向部分填充但軸向滿填充

本結構I區為金屬圓柱（r≤d)并外套薄層絕緣介質（d～c)。當a不太大且不出現TM、TE模式時，可以考慮先用等效電容法（內導體到外導體之間電容串聯)來獲得等效介電常數[14]，然后用同軸傳輸線的相關特性參數來獲得介質復介電常數的表達式。

令 εe=εe′-jεe″。 對半波長諧振器（λs=2h)有：

其中 si=gi（g1/ε1′+g2/ε2′+g3/ε3′)/εi′， g1=ln（c/d)，g2=ln（b/c)，g3=ln（a/b)。

2.4 結構4：圓形同軸腔，諧振基模TEM，介質在徑向滿填充但軸向部分填充

本結構I區為金屬圓柱（r≤d)，無薄層介質，被測樣品在軸向上只占取一段（設從端頭開始)，但充滿該段內外導體之間的區域。

假設兩段的長度、所在區域絕緣介質的磁導率、介電常數和傳播常數分別為 li，μi，εi，βi，i=1，2，其中。設l2段為被測絕緣介質，有諧振條件及介電損耗角正切表達式[11]為

3 結果與討論

3.1 解析模型分析

1)對結構1得出的解析模型，容易推演出c→0時 f（c)→0，式（4)化為普通的特征方程表達式（實心樣品)；同時，取I區的介質參數與II區的介質參數相同時也得出同樣的結果。因此，本結構下得出的數學模型是準確的，但顯然空心使得特征方程更加復雜。

由于空心的情況沒有相應的實驗或理論報道數據，本文取其特殊情形c=0 mm（實心)，針對文獻[3]樣品1#的實驗參數進行計算：取b=0.8 mm，h=10.16 mm，a=12.04 mm，Q0（ω0)=7 482；ω0=2π·9.531 2 GHz；tanδ2=7.36×10-4，ωs=2π·8.334 6 GHz，得到 ε2/ε0=15.4，Qs（ωs)=6757。 ε2/ε0計算結果與該實驗結果（15.8)相差2.5%，其他數據吻合；與同一根圓棒上切下的樣品用Courtney法測量的實驗結果（15.53)相差小于1%。

2)對結構 2，式（10)與文獻[7]對應的式（51)有所不同。為了辨別二者的對錯，本文取文獻[7]的實驗數據進行對比計算：c=5 mm，b=30 mm，h=45 mm，a=50 mm，TE011模式。按式（10)，取腔內壁電導率σc=5.8×107/Ωm；I區和 III區均為干燥空氣，II區介 質 ε2/ε0=37.2，tanδ2=1.9×10-5， 求出 ωs=2π·0.94 GHz，Qs（ωs)=13 151，與文獻[7]的實驗數據吻合良好（2π·942MHz，13200)。 但按文獻[7]的式（51)得不出諧振頻率（實驗參數式（51)不成立)，且其作者也沒有給出該實驗的理論計算結果。分析發現，該作者在虛、實宗量Bessel函數的變換上出現了差錯，導致了該特性方程錯誤，而式（10)是正確的。

3)同軸諧振腔的解析模型求解諧振頻率顯得簡單得多，介電損耗的求解也相對簡單。

4)從測量加載介質的復介電常數的角度看，希望測量結構的諧振參數對復介電常數盡量敏感，但是本文4種結構的解析模型均看不出敏感的程度，需要進行數值計算。

3.2 典型樣品尺寸下各解析模型計算結果分析

取典型尺寸圓管狀樣品作為計算例，分別用上述4種解析式計算諧振頻率和品質因數，對比見圖2～圖4。除特別說明外，取腔內壁電導率σc=4.9×107/Ωm；III區為干燥空氣，II區介質tanδ2=0.0005。

結構 1：取 c=7.5 mm，b=10 mm，h=84 mm，a=96mm，ω0=2π·1.1953GHz，Q0（ω0)=21542；取 c=2mm，b=5 mm，h=45 mm，a=50 mm，ω0=2π·2.294 9 GHz，Q0（ω0)=15780。

結構 2：取 c=5mm，b=30mm，h=45mm，a=50mm，tanδ2=0.0005。

結構 3：取 d=7mm，c=7.5mm，b=10mm，l2=28mm，h=84mm，ωs=2π·1.78446GHz。 ε1/ε0=2.25，tanδ1=0.0001。a=13.6 mm（大約為使TEM模式工作頻率最高的尺寸)；a=35mm（大約為使 Qs最高的尺寸)。

結構 4：取 d=c=7.5 mm，b=10 mm，h=68 mm，l2=28mm。

圖2 諧振頻率隨介電常數變化的曲線（ωs=2πfs)

圖3 諧振品質因數隨介電常數變化的曲線

圖4 諧振品質因數隨介電損耗變化的曲線

在εr=1～80范圍內分析發現：

1)εr越高，諧振角頻率ωs對其變化的敏感性越低。在εr=1～10范圍內，結構2的敏感性最高，但在εr=1～80范圍內整體看，結構1的敏感性更好一些；結構3敏感性最低。

2)εr越高，品質因數Qs對其變化的敏感性越低。結構1的敏感性最高，結構2敏感性最低，結構3在a較大時Qs最高，但在a較小時Qs低；結構4的Qs最低。

3)諧振系統品質因數Qs對介質的tanδ的敏感性，結構1為最高，結構3和結構4分別在εr=1～50和εr=50～80 內最低。

4)在算例區間內，樣品尺寸沒有使4種結構的解析模型彼此的相對特性發生變化。換言之，優勢的結構對不同尺寸的樣品都呈現優勢。

上述各計算例諧振頻率均不高，如果采用高階模式諧振，將有可能在10GHz以上獲得相應的測試數據[15]。適當加載介質環后測量其復介電常數是可實現的。

4 結束語

本文推演得出了結構1（圓柱諧振腔TM010模式)下諧振法測量圓管狀介質樣品復介電常數的數學模型，糾正了文獻[7]對結構2（圓柱諧振腔TE011模式)諧振法測量其數學模型中的錯誤，并對圓形同軸腔的諧振特性方程（用于測量復介電常數)進行了分析和計算。結果表明，當εr在1～80范圍內時，結構1及其數學模型用于諧振法測試是可行的；εr在1～10范圍內時，結構2及其數學模型用于諧振法測試是可行的。結構3、結構4（同軸諧振腔，基模)及其數學模型均不適合于測量介電常數和介電損耗。

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Analytical model of typical structures in resonance measurement on the complex permittivity of tubular sample

KUANG Lun1， LUO Huihua1， KUANG Yao2
（1.Beijing Institute of Radio Measurement，Beijing 100039，China；2.School of Mathematical Sciences，Peking University，Beijing 100871，China)

For the on-line monitoring demands of circular dielectric element manufacturing，the idea is put forward that the resonance method can be directly applied to test the complex permittivity of tubular insulating medium.Four kinds of resonance structures forms are proposed，and the analytical model of resonance in dielectric loaded cylindrical cavity TM010mode is derived;the theoretical results for a TE011mode resonant cavity in foreign literature are analysed deeply and the application of the characteristic equations of dielectric loaded circular coaxial cavities to the measurement of the complex permittivity is also explored.Besides，calculations are done for analytical models and they are accordingly compared with literature test results，which are identical.As a result， the analytical model of TM010mode is right， and the sensitivity of the resonant characteristics to the complex permittivity of loaded dielectric（εr=1-80， tanδ=10-5-10-4)，differs from one structure to another.Finally，the results show that cylindrical cavity TM010mode can be used in the measurement of complex permittivity of resonant measurement for the complex permittivity of tubular insulation dielectric element in resonance method.

complex permittivity； resonant measurement； tubular sample； analytical model； basic mode

A

1674-5124（2017）10-0001-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.10.001

2016-12-03；

2017-01-17

匡 輪（1966-)，男，湖北公安縣人，研究員，碩士，研究方向為微波磁學、旋磁器件與電子材料技術。

（編輯：商丹丹）