復(fù)合式低頻隔振器的理論建模及其性能分析

吳 庭，王林翔

(浙江大學(xué) 流體動力及機(jī)電系統(tǒng)國家重點實驗室，杭州 310027)

復(fù)合式低頻隔振器的理論建模及其性能分析

吳 庭1，王林翔2

(浙江大學(xué) 流體動力及機(jī)電系統(tǒng)國家重點實驗室，杭州 310027)

抑制低頻振動是當(dāng)前振動領(lǐng)域的一個熱點問題，將慣容器與液壓蓄能器結(jié)合在一起，同時利用形狀記憶合金彈簧的超彈性，設(shè)計了一種將慣容器和擬零剛度隔振結(jié)合的復(fù)合式超低頻隔振器。說明了超低頻隔振的原理，分析了隔振器的力傳遞比，研究了慣容器慣容值以及彈簧剛度對系統(tǒng)諧振頻率的影響。計算結(jié)果表明，所設(shè)計的超低頻隔振器的諧振頻率可以降低至1 Hz以內(nèi)。

擬零剛度；慣容器；超彈性；超低頻隔振

對低頻振動激勵的隔離和抑制，一直是難以解決的問題，因為通常采用的常規(guī)被動隔振，無法適應(yīng)低頻隔振的要求[1]。普通的橡膠隔振器，對激勵頻率在5～6 Hz的振動有較好的隔振效果。而對于2 Hz以下的振動，則多采用空氣彈簧，它是利用氣體壓縮的非線性恢復(fù)力和阻尼力來緩沖沖擊和振動[2]?？諝鈴椈筛粽衿鞯膭偠群妥枘峥蛇M(jìn)行調(diào)節(jié)與控制。然而主動振動控制的缺點就是成本較高，且需要時刻保證外加電源或氣源[3]。

被動振動控制由于其結(jié)構(gòu)簡單，經(jīng)濟(jì)性好，可靠性高，不附加能量仍然具有較寬廣的適用性[4]。如何對現(xiàn)有的被動隔振裝置進(jìn)行改進(jìn)而使其具有低頻甚至超低頻隔振的特性，是許多學(xué)者的關(guān)注與研究的熱點。 為解決低頻隔振，一類方法是利用正負(fù)剛度并聯(lián)使系統(tǒng)獲得動態(tài)零剛度。Carrella等[5]利用四根傾斜彈簧和一根豎直彈簧構(gòu)成了正負(fù)剛度并聯(lián)的機(jī)構(gòu)，理論和實驗驗證了其具有零剛度的特性。2011年，Le等[6]將這一正負(fù)剛度聯(lián)合機(jī)構(gòu)設(shè)計到了汽車座椅的支撐結(jié)構(gòu)中去，有效地提高了系統(tǒng)的隔振效率。劉興天等[7]設(shè)計了類似的正負(fù)剛度并聯(lián)的機(jī)構(gòu)，其中負(fù)剛度特性由屈曲歐拉梁產(chǎn)生。2008年，Mizuno等[8]曾提出過利用相互吸引的永磁鐵來給系統(tǒng)提供負(fù)剛度，在此基礎(chǔ)上，Carrella等[9]設(shè)計了將這一負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與提供正剛度的機(jī)械彈簧聯(lián)合使用的機(jī)構(gòu)。

第二類方法是增加被動隔振系統(tǒng)的慣性值，2002年，Smith[10]提出了慣容器的概念，可以為被動隔振系統(tǒng)提供高于自身質(zhì)量幾十倍的視在質(zhì)量，從而有效地降低系統(tǒng)的固有頻率，達(dá)到低頻隔振的效果。現(xiàn)有的慣容器有多種形式，包括齒輪齒條式，滾珠絲杠式,液壓式慣容器[11-13]。慣容器會產(chǎn)生一個與兩個端點相對加速度成正比的力，這一比例系數(shù)又稱為慣容器的慣容值。國內(nèi)Xu等[14-16]嘗試將其應(yīng)用在汽車懸架上，從而提高汽車懸架的減振特性。

本文提出了一種將慣容器與擬零剛度特性結(jié)合的復(fù)合式低頻隔振器，并且利用了形狀記憶合金彈簧(SMA(Shape Memory Alloy) spring)的超彈性[17]。對復(fù)合式低頻隔振器的動力學(xué)性能進(jìn)行了建模，分析了隔振器的隔振效果，并分析了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對于系統(tǒng)諧振頻率的影響。為低頻隔振器的設(shè)計提供了理論支持。

1 復(fù)合式低頻隔振器的工作原理

本文所提出的復(fù)合式低頻隔振器結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。該復(fù)合式低頻隔振器由上部慣容器和底部的液壓緩沖與支撐裝置構(gòu)成。液壓緩沖部分的頂壁有一部分是由彈性膜與其他部分相連的，SMA彈簧通過這一活動部分與內(nèi)部油壓平衡。

靜止?fàn)顟B(tài)下，由于液壓油的初始油壓P0作用于活塞桿底部而支撐物體，使得系統(tǒng)具有給定的靜態(tài)剛度。慣容器中置有上下兩個很軟的對中彈簧。當(dāng)振源產(chǎn)生低頻振動時，由于與振源相連的慣容器會會產(chǎn)生一個較大的視在質(zhì)量，同時系統(tǒng)的振動通過活塞桿傳入下方的液壓緩沖與支撐裝置中，形成了系統(tǒng)的動態(tài)低剛度。兩者相結(jié)合使系統(tǒng)獲得很低的固有頻率，從而達(dá)到低頻隔振的目的。

圖1 復(fù)合式低頻隔振器結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structural diagram of hybrid isolator

圖1中：活塞桿的面積為A1；活動薄膜的作用面積為A2。

2 復(fù)合式低頻隔振器的動態(tài)模型

如圖1所示，假設(shè)振動位移為x，慣容器中設(shè)有對中彈簧，總剛度為k1，慣容器的慣容值為b，液壓油預(yù)置壓力為P0。記振動質(zhì)量為m。當(dāng)振源無振動時，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，整個機(jī)構(gòu)保持靜態(tài)平衡，可得

P0A1=mg

(1a)

P0A2=f(y0)

(1b)

式中，f(y0)為SMA彈簧的預(yù)壓力?？梢酝ㄟ^調(diào)整螺釘來調(diào)節(jié)彈簧的預(yù)壓力。

當(dāng)外界輸入振動F0eiωt時，機(jī)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生變化，整體保持動態(tài)平衡，系統(tǒng)中的慣容器在系統(tǒng)的動態(tài)過程中會產(chǎn)生與上下油口速度差成正比的力，這一比例系數(shù)即為慣容值b，系統(tǒng)的動態(tài)平衡方程為

(2)

式中：ΔP為液壓油體積變化引起的壓力變化值；b為慣容器的慣容值；ε為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。

設(shè)SMA彈簧位移變化為y，慣容器中的活塞桿向下運動時，深入油液的長度變化為x，所對應(yīng)的油液體積變化為ΔV1=A1x，形狀記憶合金彈簧壓縮量變化對應(yīng)的油液體積變化為ΔV2=A2y，總的體積變化為ΔV=A1x-A2y。

ΔP與ΔV的關(guān)系可由液壓基礎(chǔ)知識得[18]

(3)

ΔP=C(A1x-A2y)

(4)

記SMA彈簧的動態(tài)剛度為κ，彈簧力的變化與油液壓力的變化平衡，也可以記為動態(tài)剛度和位移y的乘積

ΔF=A2ΔP=κy

(5)

將式(4)代入式(5)，可以得到x和y的關(guān)系，如下式所示

(6)

將式(6)代入式(5)，即可得到壓力ΔP變化x的關(guān)系式，如式(7)所示

(7)

將式(7)代入式(2)，即可得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程

(8)

將式(8)進(jìn)行無量綱化處理后得

(9)

3 系統(tǒng)的固有頻率分析

由振動理論可知，系統(tǒng)的固有頻率與外界的輸入無關(guān)，為了分析系統(tǒng)的固有頻率，得到系統(tǒng)的間諧運動的微分方程

(10)

式中：ξ為系統(tǒng)的阻尼比；ωn為系統(tǒng)的固有頻率，其值為

(11)

由線性振動理論可知，線性振動系統(tǒng)的固有頻率為

(12)

對比兩者不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度不再是原有的m和k，而變成了m′和k′，分別為

m′ =m+b;

(13)

為了獲得很低的系統(tǒng)固有頻率，增加系統(tǒng)的等效質(zhì)量和獲得擬零剛度就成了兩個最主要的方法。由式(13)看出，慣容器的存在增加了系統(tǒng)的等效質(zhì)量。同時通過設(shè)計，使得等效剛度接近于零，這樣就可以達(dá)到最終的低頻隔振的效果。

式(13)中，κ為SMA彈簧的動態(tài)剛度，不同于普通的機(jī)械彈簧，由于SMA彈簧中超彈性的存在，彈簧的力-位移曲線不再是線性曲線，而是呈現(xiàn)非線性的滯回曲線，本文選用文獻(xiàn)[19]中的SMA彈簧，力-位移曲線如圖2所示。

圖2 SMA彈簧的力-位移曲線Fig.2 Force-displacement curve of SMA spring

根據(jù)SMA彈簧的力-位移關(guān)系，為了讓SMA彈簧工作在超彈性區(qū)域，可以通過調(diào)整螺釘調(diào)整SMA彈簧的壓縮量使其工作在A點附近，此時SMA彈簧的動態(tài)剛度最小，κ=10 N/mm。

A1，A2的選取和初始條件有關(guān)。A1的選取與隔振目標(biāo)的重量及初始壓力有關(guān)，由式(1a)選定A1的面積。通過調(diào)節(jié)油壓可以為不同振源質(zhì)量的物體提供系統(tǒng)靜態(tài)剛度。根據(jù)圖2,將SMA彈簧的預(yù)壓力設(shè)為50 N。根據(jù)式(1b)，同時可以確定薄膜的面積A2。

由于系統(tǒng)中提供靜態(tài)剛度的不再是彈簧，因此對中彈簧的剛度系數(shù)可以設(shè)為小值。此處對中彈簧的作用是當(dāng)系統(tǒng)處于振動平衡狀態(tài)時，將活塞恢復(fù)至原位。只需克服活塞運動的靜摩擦力即可。

本文中設(shè)定振源質(zhì)量為50 kg,選定活塞桿的面積A1=50 mm2,初始油壓調(diào)至1 MPa。當(dāng)振源質(zhì)量有改變時，可以通過調(diào)節(jié)油壓來支撐不同的振源質(zhì)量。SMA彈簧工作在超彈性區(qū)間,調(diào)整其輸出力為50 N，選定薄膜面積A2=300 mm2。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 復(fù)合式隔振器的初始參數(shù)Tab.1 Initial parameter of hybrid isolator

選定系統(tǒng)的慣容值為100 kg。

將慣容器與擬零剛度結(jié)合在一起，從增加系統(tǒng)視在質(zhì)量與降低系統(tǒng)等效剛度兩個方面降低系統(tǒng)的固有頻率。 隔振系統(tǒng)的性能，可以通過傳遞到基礎(chǔ)的力和輸入力之比與輸入頻率之間的關(guān)系，即求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞到基礎(chǔ)的力為

(14)

式中，F(xiàn)(s)和FT(s)分別為輸入力和傳遞力的拉式變換，通過聯(lián)立式(8)，式(14)，可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(15)

從幅頻曲線可以看出，系統(tǒng)的諧振頻率已經(jīng)降到0.04 Hz，慣容器和擬零剛度原理的結(jié)合增加了系統(tǒng)的隔振頻寬，可以實現(xiàn)真正的低頻隔振，提高隔振性能，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency curve of system transfer function

4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對響應(yīng)頻率的影響

4.1k1，b值

從系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以看出，對中彈簧的剛度k1與系統(tǒng)的等效動態(tài)剛度有關(guān)，k1越小，系統(tǒng)的等效剛度就越小，進(jìn)而就會降低系統(tǒng)的固有頻率。由于整個系統(tǒng)處于漂浮狀態(tài)，對中彈簧的作用就是要讓活塞回到平衡位置，因此在保證彈簧的恢復(fù)力大于活塞的摩擦力的情況下，k1值越小，系統(tǒng)的諧振頻率就越低，隔振效果就越好。

同理，增加系統(tǒng)的慣容值可以增加系統(tǒng)的視在質(zhì)量，從而降低系統(tǒng)的諧振頻率增加系統(tǒng)的隔振頻寬，達(dá)到良好的低頻隔振效果。常見的慣容器的慣容值都可以達(dá)到自身質(zhì)量的幾十倍甚至數(shù)百倍，但無限制的提高慣容值必定會帶來對慣容器外加負(fù)載的要求，因此選擇適當(dāng)?shù)膽T容器就已經(jīng)可以達(dá)到超低頻隔振的效果，無需單一的追求極大的慣容值。

4.2不同A1/A2值的影響

由式(13)的第二項可以看出設(shè)計參數(shù)中A1/A2的值對系統(tǒng)的等效剛度有著很大的影響，由于A1的選定與隔振物體重量和油壓的壓力范圍有關(guān)系，下面選定不同的A2值，作出系統(tǒng)的伯德圖，分析A1/A2的值對系統(tǒng)諧振頻率的影響。

圖4 不同A1/A2下系統(tǒng)的伯德圖Fig.4 Bode diagrams of different ratios of A1/A2

由圖4可以看出，增加活動薄膜的面積A2，即使得A1/A2的比值越小，系統(tǒng)的等效動態(tài)剛度就越小，從而可以獲得更寬的隔振頻寬，提高隔振性能。這一點很容易從物理上解釋，因為這一比值越小，說明由于系統(tǒng)振動引起的液壓緩沖裝置中的體積變化和壓力變化越小，從而使得等效的動態(tài)剛度越小。

5 結(jié) 論

本文提出了一種將慣容器與擬零剛度原理相結(jié)合起的復(fù)合式低頻隔振器，可以隔離低頻甚至超低頻的振動。通過分析，得到了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，分析了系統(tǒng)的固有頻率的影響因素，結(jié)果表明慣容器和擬零剛度原理的結(jié)合可以有效降低系統(tǒng)的諧振頻率，從而獲得超低頻的隔振性能。

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Designandperformanceanalysisofacompositelow-frequencyvibrationisolator

WU Ting1, WANG Linxiang2

(1. The State Key Lab for Fluid Power Transmission and Control, Zhejiang University, Hangzhou 310027，China)

In current papers, a hybrid vibration isolator was proposed by combining the quasi-zero-stiffness isolator with an inerter. The inerter is employed to increase the effective mass of the isolator while the quasi-zero-stiffness part is to decrease the dynamic stiffness of the restoring elements. A superelastic shape memory alloy spring was integrated into the device. The low-frequency vibration isolation mechanism was specified. The force transmission ratio was analyzed and simulated. It is shown by simulation that the proposed vibration isolator could have a resonant frequency lower than 1 Hz. The influences of parameters on the system responses were discussed.

quasi-zero-stiffness; inerter; superelasticity; low-frequency vibration

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.035

國家自然科學(xué)基金資助項目(51575478;61571007)

2016-04-26 修改稿收到日期：2016-08-08

吳庭 男，碩士生，1992年10月生

王林翔 男，博士，教授，1971年1月生