新型激光模型實現SPP增益補償的數學分析

褚麗娜, 仲秀英

(1.重慶科創職業學院,重慶 402100； 2.重慶師范大學 數學科學學院,重慶 400047)

新型激光模型實現SPP增益補償的數學分析

褚麗娜1, 仲秀英2

(1.重慶科創職業學院,重慶 402100； 2.重慶師范大學 數學科學學院,重慶 400047)

設計了有機染料分子的球形波導結構，采用最內層金屬金(Au)、外層Si介質的多層球形結構，在環形介質中植入有機染料分子作為增益耦合介質。理論上分析了模型的的受激輻射磁場能量、輻射譜以及有機染料分子增益效果。特性分析結果表明：光波在有機染料分子增益區能夠與內層金屬實現耦合，發生了多層電場局域化現象，增益對金屬-介質間的表面等離子有一定的補償效果，從增益的高折射區與低折射率區間發生了全反射，實行了表面等離子傳播的增益補償效果。能夠通過調節波導參數實現損耗-補償控制，高折射區能夠實現SPP補償，有機染料分子距離核區越近補償效果更好，損耗更小。

表面等離子激光器； 損耗-補償； 有機染料分子; 系統不穩定性

0 引 言

微納米領域的表面等離子學研究的是金屬粒子的表面等離激元(Surface Plasmon Polariton，SPP)電磁模式，其模式特性主要是由粒子尺度、組成及其周圍的介電常數決定，納米等離子光學學科也因此而興起的[1-4]。SPP與增益的耦合產生自激振蕩成為表面等離子激光器(Surface Plasmon Amplification by the Stimulated Emission of Radiation,SPASER)光源研究機理的來源[5-9]。

金屬SPP與增益介質的耦合特性成為近年來研究熱點，然而盡管表面等離激光發現了散射增強的特性，但其系統的穩定性由于散射奇異點等問題遭到了質疑[10-13]。因而，Mark團隊提出了雙穩態實現fs信號放大特性，其成果成為了SPASER的研究基礎[14-17]，國內朱君團隊致力的MIM結構SPASER也成為了金屬SPP與增益耦合的又一種嘗試[18-19]。上述的研究盡管實現了增益甚至是信號的過度補償，但系統不穩定性依然未能克服[20-21]。基于上述背景，本文設計了一種新型的有機染料分子的球形波導結構，該結構基于諾基諾夫實驗結果與雙穩態模型，其對于提高SPASER系統的穩定性提供了一種新的參考模型。

1 模型設計與傳播分析

1.1模型設計

本文設計的有機染料分子的球形波導結構如圖1所示，采用的是最內層金屬金(Au)、外層Si介質的多層球形結構，在環形介質中植入有機染料分子作為增益耦合介質。波導結構表面等離子振動是由外部耦合到金屬的光子模型(局部表面等離子模型的輻射衰減形成的)，實現了每個單獨納米粒子構成的納米激光器。通過有機染料分子實現增益補償，其峰值對應的是縱向諧振腔模式，進而使得等離子體模式在反射納米線斷面間共振。

圖1 有機染料分子的球形波導結構

1.2設計模型的受激輻射分析

設計波導的有機分子增益采用經典的2能級系統進行表述，該2能級系統是指其場頻率能夠共振，而其余能級不會和場頻率共振，即此時只分析2能級。沒有外電場作用時得到：

(1)

(2)

這時波函數的薛定諤方程表述為:

(3)

設2能級，t=0,粒子處在u1態;0～t時刻，粒子處在u2態，這時躍遷的概率可以表示為：

(4)

躍遷概率是與時間相關的周期模型，當發生u1態和u2態的能級交換分布時，其頻率表示為:

Ω=dE0/?

(5)

Ω就是拉比頻率。

分析增益過程的系統量子化模型。采用本真模式的函數為φn(r)，其頻率和過程顯然需要滿足上述描述，這樣當表面等離子壽命比準靜態特征時間大時，可以利用以下關系實現量子化，其中磁場能量能夠表述為：

(6)

式中:T為Fourier變換的積分時間，有：

(7)

且存在以下關系：τn>>T>>1/ωn，而如果存在較小的馳譽條件，其結果顯然和積分時間T無關系。這樣得到本征模式的展開表達式：

(8)

進而采用費米法則，可以得到第n個SPP的方程表述為：

(9)

上面式子中，包含以下關系：

這樣就可以得到歸一化的輻射譜F(ω)。

1.3設計模型的有機染料分子增益分析

(13)

為了達到實現SPASER的粒子樹反轉水平，就應該存在2能級系統以外的第3能級，這時受激輻射就是由有機染料分子增益的相干激發實現，此時的表面等離子弛豫率γn能夠描述為：

(14)

式(14)就是SPP的增益動力學方程，顯然其為一個高非線性的方程。如果設在連續波的條件，SPP增益方程就會存在平凡的0解，而其非平凡解可以作為設計模型出射激光的過程表述，且解存在應該滿足以下條件：

(15)

進而可以得到實現SPASER激發的條件：

(16)

上述的激發條件意味著能夠實現反饋，且設計系統理論上能夠實現10 nm的量子點水平。

2 特性分析

2.1電磁場分析

首先采用FDTD軟件進行電磁場分析，對結構采用以下條件進行分析：Δx=5 nm，Δy=5 nm，Δz=6 nm，時間步長Δt采用1.7×10-17s，運行到4 500步進行模擬，邊界采用的是PML(完全匹配層)實現網格的劃分，入射光采用的是1 450 nm激發，如圖2所示。

(a) 1 200 nm

(b) 2 300 nm

(c) 2 600 nm

(d) 3 200 nm

由圖2可見，光波在增益區能夠與內層金屬實現耦合，不同區域間出現了多層電場局域化現象，這說明不僅在金屬-介質界面由入射光耦合實現了表面等離子波，且由于增益介質作用其在金屬與染料分子區也產生了共振增強的效果。綜合來看，在離金核區越近的情況下，增益產生的SPP局域明顯減弱，這說明增益對金屬-介質間的SPP有一定的補償效果，表面等離子波進行核心層，這為出射激光提高了強局域化及反饋的條件準備。分析上述距離變化導致的衰減過程可以得出SPP傳輸過程的色散以及損壞，從增益的高折射區與低折射率區發生了全反射，實行了SPP傳播的增益補償效果。上述結果驗證了設計的球狀波導結構能夠實現SPP激光的出射。

2.2SPP傳播特性分析

圖3所示對SPP傳播特性進行了分析，主要是針對理論分析的輻射譜和激發條件進行分析，采用了介質區厚度d1與金核區距離d3大小相同的情況，分別是180、200、220 nm，橫坐標是有機染料分子到金屬界面的距離d2。從圖3(a)可以看出,輻射譜的實部隨著距離增大有減小的趨勢，但變化率較小，說明有機染料分子距離的增加導致了輻射譜的傳播距離會減小，即損耗補償的效果有降低的趨勢。由圖3(b)可以看出,輻射譜的虛部也隨著距離增大有減小的趨勢，但變化率較大，這說明這一過程色散增大趨勢明顯，有機染料分子的補償效果受到了一定范圍的限制。由圖3(c)則可以看出,SPP激發過程中，損耗隨著距離增大有增大的趨勢，且損耗增大明顯，這一結果驗證了圖3(a)、(b)輻射譜的結果。綜合上述分析，設計的波導應該將有機染料分子設計的與金核層較近的區域，且由于輻射譜虛部變化率較小，這說明設計的結構如沒有補償效果也能實現SPP的激發。總的來說，設計的波導結構，SPP補償優勢明顯，具有顯著的優越性。

(a) 輻射譜F(ω)的實部分析

(b) 輻射譜F(ω)的虛部分析

(c) 激發過程中損耗分析

3 結 語

本文設計了一種新型的球狀SPP激光的出射結構，采用的有機染料分子實現了SPP損耗補償能夠較為理想的實現預計的效果。結果表明有機染料分子的高折射區能夠實現SPP補償，且距離越近補償效果越好，損耗更小，能夠通過調節波導參數實現損耗-補償控制。文中設計的結構能夠作為亞波長尺寸的局域應用，可以用來作為光子器件、光子計算機等應用的關鍵光源。

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(本刊編輯部)

AMathematicalAnalysisofSPPGainCompensationfortheNewLaserModel

CHULina1,ZHONGXiuying2

(1. Chongqing Creation Vocational College， Chongqing 402100, China； 2. School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University， Chongqing 400047, China)

In this paper, we design the spherical waveguide structure of organic dye molecules. It is a medium spherical structure, the innermost metal is gold (Au), the outer layers is Si, and is embedded by a circular medium organic dye molecules as gain coupling medium. The stimulated radiation of magnetic energy, organic dye molecules gain effect and the radiation spectrum feature are theoretically analyzed. Analysis results show that the light in the organic dye molecules gain can be implemented with the inner metal coupling, the localization phenomenon happens, multilayer electric field between the media and the gain of metal surface plasma has certain compensation effect, total reflection occurs between high refraction gain and low refractive ranges from the, it yields compensation effect. The waveguide loss compensation control can be achieved by adjusting the parameters, high refraction can realize SPP compensation. It shows that the shorter distance of the nuclear area and organic molecules will yield better compensation effect and less loss.

surface plasma laser; loss compensation; organic dye molecules; instability of system

TN 242

A

1006-7167(2017)09-0025-04

2016-12-10

教育部重點課題項目(DHA090180)

褚麗娜(1982-),女,重慶人,講師,在讀碩士生,研究方向:數學教育學。Tel.:15102314378;E-mail:rena_chu@126.com