太陽翼驅動機構擾振力矩的建模與仿真

陳江攀, 程 偉, 李 雪

(1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191； 2.航空裝備研究所，北京 100076)

太陽翼驅動機構擾振力矩的建模與仿真

陳江攀1, 程 偉1, 李 雪2

(1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191； 2.航空裝備研究所，北京 100076)

以某型號衛星的太陽翼驅動機構(Solar Array Drive Assembly，SADA)為研究對象，首先，通過線性化電磁力矩建立了SADA空載運行振動方程；其次，在SADA空載運行振動方程的基礎上，利用自由界面模態綜合法建立了SADA驅動太陽翼耦合系統的振動方程；再次，在耦合系統振動方程的基礎上，通過受力分析和空間力系簡化建立了SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的擾振力矩模型；最后，設計了一個模擬真實太陽翼的柔性負載，并對SADA驅動該柔性負載運行過程中所產生的擾振力矩進行了仿真與分析。結果表明：在考慮負載阻尼的情況下，SADA驅動柔性負載運行過程中所產生擾振力矩的擾振頻率主要由兩部分組成，即：①SADA與柔性負載耦合系統的低階扭轉固有頻率；②SADA電脈沖信號的輸入頻率及其倍頻。

太陽翼驅動機構；擾振力矩；自由界面模態綜合法；柔性負載；擾振頻率

衛星在軌運行過程中所產生的微振動會對其成像質量和指向精度等關鍵工作性能產生較大的影響。衛星上存在較多的擾振源，如動量輪、控制力矩陀螺、制冷機組件和SADA等[1-4]。高軌遙感衛星相對于低軌衛星，其曝光時間顯著延長，因此對低頻微振動更為敏感。而SADA驅動太陽翼在軌運行過程中所產生的擾振在低頻區具有分布密集和特性復雜的特點，且主要表現為擾振力矩[5]。綜上所述，隨著高軌遙感衛星的不斷發展，有必要研究SADA驅動太陽翼在軌運行過程中所產生的擾振力矩。

受限于三方面的原因，目前關于SADA驅動太陽翼運行過程中所產生擾振力矩的試驗測試研究仍處于初始階段。首先，太陽翼是一個典型的結構大、柔度大、質量/慣量大且阻尼較小的柔性裝置[6]，在重力環境下難以直接展開；其次，與衛星在軌工作環境不同，地面環境存在大氣阻尼，SADA驅動太陽翼在兩種工作環境下所產生的擾振力矩大相徑庭，地面測試結果無法有效地預測其在軌狀態；最后，目前國內外應用廣泛的壓電式微振動測試平臺低頻響應特性較差[7]，無法準確測試SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的低頻擾振。盡管如此，國內外學者仍在SADA擾振特性的理論研究和仿真分析等方面做了大量成果顯著的工作。文獻[8]揭示了SADA電磁振動的產生機理，并給出了降低電磁振動幅值的方法；文獻[9]給出了SADA電磁振動頻率的表達式；文獻[10]指出：SADA定子和轉子之間的電磁場可以等效成為一個電磁彈簧-黏性阻尼系統，并稱電磁彈簧的剛度為電磁剛度；文獻[11-12]建立了SADA的動力學模型，且在此基礎上，文獻[13]對SADA通過柔性軸驅動剛性負載運行過程中所產生的擾振力矩進行了仿真研究。近年來，國內外學者將研究重心逐漸轉移到了SADA與太陽翼耦合系統的動力學特性上面。朱仕堯研究了SADA驅動太陽翼運行過程中柔性負載剛體運動與柔性振動之間的相互耦合以及質心偏置導致的平動方向與扭轉方向的振動耦合等因素對SADA與太陽翼耦合系統動力學特性的影響；文獻[14]研究了SADA的額定力矩和齒槽數、傳動鏈的減速比和傳動效率、驅動速度以及電刷-滑環潤滑性能等因素對耦合系統動力學特性的影響；為了降低耦合系統的擾振影響，文獻[15]分別基于分解力矩法和假設運動軌跡法為SADA提出了兩種前饋輸入補償驅動方案，并進行了仿真研究。

然而，上述研究均未能建立一個既可以清晰描述SADA與太陽翼之間的耦合作用又可以預計SADA驅動太陽翼運行過程中所產生擾振力矩的綜合擾振模型。為此，本研究通過線性化電磁力矩并利用自由界面模態綜合法、受力分析和力系簡化建立了SADA空載運行振動方程、SADA驅動太陽翼耦合系統的振動方程以及運行過程中所產生的擾振力矩模型，且在該擾振力矩模型的基礎上，設計了一個模擬真實太陽翼的柔性負載，并對SADA驅動該柔性負載運行過程中所產生的擾振力矩進行了仿真與分析。本研究所得的結論為研究SADA驅動太陽翼在軌運行過程中所產生的擾振力矩提供了有力的幫助。

1 SADA空載運行振動方程

本研究所討論的SADA是一個兩相混合式步進電機。步進電機是將電脈沖信號轉化為轉子角位移的執行機構[16]，由于其定位精度高，無累計誤差，長期運行時平均速率穩定度高，且驅動線路簡單，易開環控制，因此在SADA中得到了廣泛地應用。

SADA空載運行的動力學模型為

(1)

式中：J0和θ0分別為SADA轉子的轉動慣量和角位移；C0為SADA內部的黏性阻尼系數；Te為電磁力矩。文獻[17]給出了SADA的驅動模型，即：

(2)

式中：Φ為磁鏈矢量；L為對稱的電感矩陣；I為電流矢量。I和L的表達式分別為

(3)

式中：IA和IB分別為A、B兩相繞組的電流；IC為轉子永磁體等效勵磁電流；LAA和LBB分別為A、B兩相繞組的自感；LAB=LBA為A、B兩相繞組的互感；LCC為電流IC勵磁建立磁場的自感；LAC=LCA和LBC=LCB分別為IC勵磁建立的磁場與A、B兩相繞組電流勵磁建立磁場的互感。忽略周期性磁導函數的2次及以上各次諧波分量，電感矩陣各元素的取值分別為

(4)

式中：z為SADA轉子齒數。將式(3)和式(4)代入式(2)并整理可得

Te=Km[IBcos(zθ0)-IAsin(zθ0)]-Kdsin(4zθ0)

(5)

式中：右端第1項為電磁力矩項，第2項為定位力矩項。Km=zICLm1和Kd=2zIC2Ln1分別稱為電磁力矩系數和定位力矩系數，且二者均為常數。由于定位力矩系數遠小于電磁力矩系數，因此定位力矩與電磁力矩相比可以忽略，式(5)可以簡化為

Te=Km[IBcos(zθ0)-IAsin(zθ0)]

(6)

為了提高SADA的定位精度和運行平滑性，通常使用細分電流作為其驅動電流。兩相繞組電流IA和IB細分后的表達式為[18]

IA=Icos(γi)，IB=Isin(γi)

(7)

式中：I為兩相繞組電流的幅值；γ為SADA細分后的電步距角；i=1,2,…為運行步數。γ的表達式為

(8)

式中：p和n分別為運行拍數和細分數。

將式(7)代入式(6)并整理可得

(9)

式中，δ的物理意義為：在第i個電脈沖信號作用完成且第(i+1)個電脈沖信號作用之前的時間段內，SADA轉子的理論平衡位置與實際位置之間的夾角。其中：γi/z為該時間段內轉子的理論平衡位置，θ0為該時間段內轉子的實際位置。為了保證SADA運行過程中轉子不失步，δ的取值范圍為

-σ≤δ≤σ

(10)

式中：σ為SADA細分后的機械步距角，其表達式為

(11)

由于本研究所討論SADA的運行拍數p和細分數n的分別為4和64，則可得：

(12)

由上式可知，zδ是一個小量，因此可將式(9)線性化為

Te=KmIzδ=KmIγi-KmIzθ0

(13)

將式(13)代入式(1)并整理可得

(14)

式(14)即為SADA空載運行振動方程。其中：K0=KmIz為電磁剛度；Tex=KmIγi為階梯激勵力矩。

2 SADA驅動太陽翼耦合系統振動方程

由于本研究所討論SADA驅動的太陽翼轉速很低(360°/24.035 h)，因此在SADA轉子和太陽翼之間安裝了兩級直齒輪減速裝置，總減速比為h=100，一級減速比為h1=5，二級減速比為h2=20。此時，在SADA空載運行振動方程的基礎上，可得SADA驅動太陽翼耦合系統的簡化模型如圖1所示。

圖1 SADA驅動太陽翼耦合系統簡化模型Fig. 1 Simplified model of SADA driving solar array

由于太陽翼是一個十分復雜的柔性結構，而本研究旨在討論SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的低頻擾振力矩，為了降低計算成本并提高計算效率，可利用自由界面模態綜合法建立圖1所示SADA驅動太陽翼耦合系統簡化模型的振動方程。

自由界面模態綜合法是一種處理復雜結構動力學特性的方法，它在大幅降低系統自由度的同時仍能保證動力學分析的精度，且易于與試驗結果相結合，因此被廣泛應用于工程實際[19-20]。其基本步驟為[21]：

(1)將復雜結構劃分成若干自由界面的子結構；

(2)完成各子結構的模態分析，提取各子結構的主模態信息，并針對各子結構選取適當的保留主模態；

(3)對于受約束和有剛體運動的子結構分別計算其剩余附著模態和剩余慣性釋放附著模態(簡稱剩余模態)；

(4)利用選取的保留主模態及計算獲得的剩余附著模態或剩余模態作為各子結構的假設模態參加模態綜合，建立復雜結構自由度縮減后的振動方程，并進行動力學分析。

2.1 劃分子結構

對于圖1所示的耦合系統，可將其劃分成SADA+減速裝置(子結構Ⅰ)以及太陽翼(子結構Ⅱ)兩個自由界面的子結構。

2.2 模態分析

子結構的無阻尼振動方程可寫為

(15)

式中：M和K分別為子結構的質量和剛度矩陣；X和f分別為子結構的位移和界面作用力向量。

按照非界面和界面自由度對上式進行分塊可得

(16)

式中：下標u和v分別表示非界面和界面自由度；fv為界面作用力。

2.2.1 子結構Ⅰ

(17)

MⅠ≈h2J0,CⅠ=h2C0,KⅠ=h2K0,FⅠ=hTex

(18)

(19)

2.2.2 子結構Ⅱ

對于子結構Ⅱ而言，由于其與子結構Ⅰ共享界面，因此子結構Ⅱ的界面也僅有1個繞Y軸的旋轉自由度(即子結構Ⅱ在自由界面狀態下有1階繞Y軸旋轉的剛體模態)。此時，可將子結構Ⅱ的位移向量XⅡ寫為

(20)

由式(16)可得自由界面狀態下子結構Ⅱ對應于XⅡ的質量矩陣MⅡ、剛度矩陣KⅡ以及界面力向量fⅡ分別為

(21)

假設子結構Ⅱ的阻尼為Rayleigh阻尼[22]，則對應的阻尼矩陣CⅡ可寫為

(22)

式中：α和β為比例系數。

子結構Ⅱ主模態φⅡ的計算公式為

(KⅡ-ω2MⅡ)φⅡ=0

(23)

(24)

將主模態φⅡ對質量矩陣MⅡ進行歸一化處理，則可得：

(25)

式中：ωe、ωk和ωs分別為子結構Ⅱ的完全彈性模態、保留彈性模態以及剩余彈性模態固有角頻率。

2.3 子結構Ⅱ剩余模態

對于子結構Ⅰ而言，由于其為受約束單自由度振動系統，無剩余附著模態。而對于子結構Ⅱ而言，由于其為有剛體運動的子結構，因此需計算其剩余模態。

(26)

式中：Gd和FⅡ分別為剩余柔度矩陣和界面單位作用力向量。二者的表達式分別為

(27)

(28)

式中：R和G分別為投影矩陣和專用柔度矩陣。投影矩陣R的表達式為

(29)

(30)

將式(30)代入式(29)可得

(31)

由上述可知，子結構Ⅱ在自由界面狀態下有1階剛體模態，其剛度矩陣KⅡ為1度奇異矩陣，為了獲得專用柔度矩陣，必須對子結構Ⅱ施加1個可以限制其剛體位移的附加約束。由于子結構Ⅱ沿Y軸方向結構對稱，因此在其對稱軸上任選一個非界面節點，并約束該節點繞Y軸的旋轉自由度即可限制子結構Ⅱ的剛體運動。假設附加約束所限制的自由度在剛度矩陣KⅡ中對應第j行和第j列，此時，引入轉換矩陣并通過矩陣運算刪去KⅡ的第j行和第j列則可消除剛度矩陣的奇異性，即：

(KⅡ)′=ATKⅡA

(32)

對上式兩端同時求逆可得

(33)

此時，引入轉換矩陣B并通過矩陣運算在G′中插入元素都為0的第j行和第j列，則可獲得子結構Ⅱ的專用柔度矩陣G，即：

G=BTG′B=BT(ATKⅡA)-1B

(34)

轉換矩陣A和B的表達式分別為

(35)

式中：I為單位矩陣；g為剛度矩陣KⅡ的階數。將式(34)代入式(27)可得

(36)

2.4 模態綜合

對于子結構Ⅰ而言，保留主模態就是其假設模態ψⅠ，即：

(37)

對于子結構Ⅱ而言，其假設模態ψⅡ則由保留主模態和剩余模態組成，即：

(38)

SADA驅動太陽翼耦合系統的位移向量X為

(39)

則相應的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣以及外作用力向量分別為

(40)

對耦合系統進行第一次坐標變換為

X=ψq

(41)

式中：ψ和q分別為坐標變換矩陣以及系統不獨立的模態坐標，二者的表達式分別為

(42)

(43)

引入兩個子結構界面連接約束條件

(44)

由式(41)～式(44)可得

(45)

對耦合系統進行第二次坐標變換為

q=Er

(46)

式中：E和r分別為坐標變換矩陣以及系統獨立的模態坐標，二者的表達式分別為

(47)

(48)

因此，經自由界面模態綜合法縮減自由度后的SADA驅動太陽翼耦合系統的振動方程可寫為

(49)

式中：Mr、Cr、Kr和Fr分別為耦合系統對應于獨立模態坐標r的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣以及外作用力向量。四者的表達式分別為

Mr=ETψTMψE,Cr=ETψTCψEKr=ETψTKψE,Fr=ETψTF

(50)

3 擾振力矩模型

對圖1所示SADA驅動太陽翼耦合系統簡化模型的各部分進行受力分析，結果如圖2所示。

F2(r1+r2+r3+r4)=

(51)

圖2 受力分析結果Fig. 2 Force analysis results

式中：r1～r4分別為齒輪1～齒輪4的半徑，且存在如下關系

(52)

此外，由圖2還可得轉子+齒輪1、齒輪2+齒輪3以及齒輪4的運動方程分別為

(53)

式中：θ1和θ2分別為齒輪2+齒輪3和齒輪4的角位移。

由減速齒輪的工作原理可知，θ0、θ1和θ2三者之間存在如下關系

θ0=hθ2=100θ2,θ1=h2θ2=20θ2

(54)

由式(52)和式(53)可得負載轉矩的表達式為

(55)

將式(53)～式(55)代入式(51)可得

(56)

上式即為SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的擾振力矩。且由該式可知，擾振力矩Trz中僅有齒輪4的角位移θ2為未知參數，然而由式(43)可知

(57)

(58)

由上式可知，本研究所建立的綜合擾振模型既可以清晰描述SADA與太陽翼之間的耦合作用又可以預計SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的擾振力矩。

4 仿真與分析

為了進一步研究SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的擾振力矩特性，設計了一個模擬真實太陽翼的柔性負載，并對SADA驅動該柔性負載運行過程中所產生的擾振力矩進行了仿真與分析。

4.1 柔性負載

柔性負載是由框架和支撐梁組成。其中，框架是由6根鋼梁組成，支撐梁為4根鋁梁，且10根梁的截面尺寸均為。柔性負載的結構尺寸示意圖參見圖3。

圖3 柔性負載結構尺寸示意圖(m)Fig. 3 Structural size of the flexible load(m)

為了進一步了解該柔性負載的振動特性，利用商用軟件ANSYS 13.0建立了其有限元模型并進行了模態計算。建模過程中在圖3所示柔性負載與SADA的連接點處布置一個節點，在進行模態計算時，邊界條件即為約束該節點的6個自由度。有限元模型的具體參數以及模態計算結果分別參見表1和表2。

表1 有限元模型參數Tab.1 Parameters of the finite element model

表2 模態計算結果Tab.2 Modal calculation results

由表2可知，該柔性負載在低頻區固有頻率分布密集，且前4階振型與真實太陽翼的前4階振型一致，因此可用來模擬真實太陽翼。

4.2 仿真結果與分析

表3給出了本研究所討論SADA的仿真參數。

表3 仿真參數Tab.3 Simulation parameters

(59)

式中：τ為運行時間。

圖4 兩相電流仿真結果Fig.4 Simulation result of the two-phase current

圖5 階梯激勵力矩仿真結果Fig.5 Simulation result of the exciting torque

圖6 齒輪4角位移仿真值與理想值對比結果Fig. 6 Comparison result between simulation value and ideal value of gear 4 angular displacement

由圖4可知，兩相繞組電流IA和IB分別為余/正弦階梯電流，且電流幅值為0.1 A。由圖5可知，SADA的激勵力矩Tex為階梯激勵。由式(59)可知，齒輪4角位移的理想值是一條直線，但是由圖6可知，齒輪4角位移的仿真值與其理想值雖然趨勢一致，但是仿真值并不是一條光滑的直線，而是在其理想值附近上下波動，這是由SADA與柔性負載耦合系統的結構扭轉振動導致的，仿真值與實際情況相符。此外，由于齒輪4角位移在其理想值附近的波動幅值是評判SADA驅動穩定性的重要參數，圖7給出了波動幅值θb的計算結果，其計算公式為

(60)

圖7 齒輪4角位移的波動幅值Fig. 7 Fluctuation amplitude of gear 4 angular displacement

圖8給出了SADA驅動柔性負載運行過程中所產生擾振力矩的仿真結果。

圖8 擾振力矩仿真結果Fig. 8 Simulation result of the disturbance torque

由圖8可知，在考慮負載阻尼的情況下，SADA驅動柔性負載運行過程中所產生的擾振力矩在0～50 Hz的頻帶內，其擾振頻率主要由兩部分組成，即：①SADA與柔性負載耦合系統的低階扭轉固有頻率，即2.3 Hz和7.2 Hz；②電脈沖信號的輸入頻率及其倍頻，即14.8 Hz(輸入頻率)，29.6 Hz(2倍頻)和44.4 Hz(3倍頻)。其中，電脈沖信號輸入頻率的計算公式為

(61)

5 結 論

本研究以某型號衛星的SADA為例，通過線性化電磁力矩和利用自由界面模態綜合法分別得到了SADA空載運行以及SADA驅動太陽翼耦合系統的振動方程，并通過受力分析和力系簡化得到了SADA驅動太陽翼運行過程中所產生的擾振力矩模型。在此基礎上，設計了一個模擬真實太陽翼的柔性負載，并對SADA驅動該柔性負載運行過程中所產生的擾振力矩進行了仿真和分析。結果表明：在考慮負載阻尼的情況下，SADA驅動柔性負載運行過程中所產生擾振力矩的擾振頻率主要由兩部分組成，即：

(1)SADA與柔性負載耦合系統的低階扭轉固有頻率。

(2)電脈沖信號的輸入頻率及其倍頻。本研究所得的結論為研究SADA驅動太陽翼在軌運行過程中所產生的擾振力矩提供了有力的幫助。

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Modelingandsimulationofthedisturbancetorquegeneratedbyasolararraydriveassembly

CHENJiangpan1，CHENGWei1，LIXue2

(1.SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100191,China; 2.TheAviationEquipmentResearchInstitution,Beijing100076,China)

Taking the SADA of a satellite as the research object, firstly, the vibration equation of SADA driving no load was established by simplifying and linearizing the electromagnetic torque; secondly, the coupling vibration equation of SADA driving solar array was modeled by using the free-interface modal synthesis method based on the vibration equation of SADA driving free of load; thirdly, on the basis of the coupling vibration equation modeled, the disturbance torque emitted by the SADA driving solar array was obtained via force analysis and the simplified force system. Finally, the disturbance torque produced by SADA driving a flexible load, designed to simulate solar array, was simulated and analyzed. The results show that: in the case of considering load damping, the disturbance frequency of the disturbance torque aroused by SADA driving a flexible load is mainly consisting of two parts: ①the low order torsional natural frequency of the coupling structure; ② the input frequency of the digital pulse signal and its harmonics.

solar array drive assembly; disturbance torque; free-interface modal synthesis method; flexible load; disturbance frequency

2016-05-18 修改稿收到日期： 2016-08-27

陳江攀 男，博士生，1988年生

程偉 男，博士，教授，1961年生

V414；TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.029