基于模態分析理論的結合部動剛度辨識

董冠華， 殷 勤， 劉 蘊， 殷國富

(四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

基于模態分析理論的結合部動剛度辨識

董冠華， 殷 勤， 劉 蘊， 殷國富

(四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

結合部動力學特性對機械系統動力學性能具有顯著影響，結合部動力學信息的準確辨識是組合結構動力學建模的重要前提。基于模態分析理論對結合部動剛度辨識方法進行了深入研究：首先，建立了包含結合部動力學信息的廣義動力學模型，從模態分析理論出發，討論了結合部動力學特性對組合結構固有頻率的影響，建立了兩者的映射關系；進而，采用質量單元與彈簧阻尼單元建立了理想的動力學有限元模型，通過模態分析所得的固有頻率對結合部剛度進行辨識，辨識值與理論值之間最大誤差為1.92%；最后，對螺栓連接組合結構進行了模態試驗，以所測得的法向及切向典型振型對應固有頻率為指標，通過搭建的MATLAB-ANSYS集成平臺對螺栓結合部剛度進行辨識，并將所辨識的結合部剛度錄入有限元模型，栓接結構固有頻率的有限元預測值與實測值之間最大誤差率為3.01%；數值模擬試驗與現場模態試驗的辨識效果均較為理想，驗證了方法的可行性。同時，以栓接結構典型振型對應固有頻率為指標辨識的結合部動力學剛度信息很好預測其他各階固有頻率的分布，表征和印證了栓接結構在較大預緊力作用下，螺栓結合部非線性動力學特性得到了抑制，滿足線性條件假設。

動力學；結合部；剛度；模態分析

復雜機械系統均是由不同零部件相互組合而成。總的來說，機械系統可以統分為三個子系統：由各自獨立零部件組成的子結構系統、由連接部件組成的結合部系統、子結構系統與結合部系統共同組成的組合結構系統。對確定的研究對象而言，子結構系統的動力學特性僅與結構尺寸、材料特性等設計因素相關，其動力學參數往往是已知或確定的；結合部系統在受迫振動中呈現出既有剛度又有阻尼的復雜動力學特性，其影響因素較多，一般無法直接通過解析計算或有限元仿真直接準確確定；組合結構動力學特性是由子結構動力學特性與結合部動力學特性共同決定，由于結合部動力學特性的未知性，也導致在設計階段無法有效預測其動態性能。因此，在結構動力學領域里，結合部動力學問題的研究具有重要意義，也成為動力學領域一直以來的研究熱點。

為進一步研究結合部動力學特性對組合結構動態性能的影響機制，首先建立了包含結合部的廣義動力學模型，從模態分析理論出發，討論了結合部動力學特性對組合結構固有頻率分布的影響，建立了兩者的映射關系；進而，采用質量單元與彈簧阻尼單元建立了理想的動力學有限元模型，通過數值分析所得的固有頻率對結合部剛度進行辨識，討論了通過模態分析結果對已知動力學模型中結合部剛度辨識的可行性；最后，針對螺栓連接結構進行模態測試，以模態測試的首階固有頻率為指標，通過所搭建的MATLAB-ANSYS集成平臺對螺栓結合部的剛度進行辨識，并將之錄入有限元模型，良好預測了組合結構其他各階固有頻率的分布，驗證了方法對線性系統動力學特性的通用性；同時，試驗結果也表明螺栓結合部在大預緊載荷作用下非線性特性得到了有效抑制，其動力學特性滿足線性條件假設。

1 組合結構的模態分析

結構振動的動力學通用方程為

(1)

忽略阻尼影響，組合結構系統自由振動的模態分析基本方程可表示為

(2)

式中： [M]為組合結構系統的質量矩陣，僅由各子結構系統的質量屬性、裝配關系、空間位置等因素決定； [K]=[KS]+[KJ]，為考慮了結合部剛度的組合結構系統剛度矩陣， [KS]為各子結構系統的剛度屬性所決定的剛度矩陣， [KJ]為結合部系統的剛度屬性所決定的剛度矩陣，“+”代表子結構系統與結合部系統之間的相互作用關系。

令{x}={A}ejωnt，并將之代入式(2)可得：

(3)

整理式(3)，可得：

(4)

廣義組合結構系統的固有頻率是必然存在的，即式(4)的物理意義決定其必然具有非零解，則必須滿足：

(5)

求解式(5)，即可求得廣義動力學模型的固有頻率。

至此，可有效建立結合部動力學特性到結構固有頻率的映射關系：

ωn=Function(KSMKJ)

(6)

對確定的組合結構系統或復雜機械系統而言：組合結構廣義剛度矩陣，僅與各子結構材料屬性、幾何尺寸等設計因素有關，對于指定的研究對象(如機床整機)而言，廣義剛度矩陣是確定的；ωn為組合結構固有頻率，可通過模態試驗進行測定；由此可知，在各邊界條件確定的前提下，結合部系統的動力學剛度信息是影響組合結構固有頻率分布的唯一不確定因素。

同理，也可得到固有頻率到結合部動力學特性的映射關系如下：

(7)

2 數值試驗

為驗證通過模態分析辨識結合部動力學參數的可行性，設計了二自由度動力學有限元模型進行數值模擬試驗。數值試驗中假定組合結構系統中結合部動力學信息為未知，其余各子結構的質量、剛度均為已知，組合結構固有頻率由模態分析獲得，以此模擬通過系統固有頻率辨識結合部動力學剛度信息的過程。試驗通過APDL命令，建立了包含結合部信息的彈簧-質量線性動力學模型，其原理圖及有限元模型圖，如圖1所示。

圖1 簡化動力學模型Fig.1 Simplified dynamical model

模型中，m1、m2為各子結構的質量信息，k1、k3為各子結構剛度信息，組合結構中質量、剛度信息均由子結構系統直接決定，為確定值；k2為結合部剛度信息(無法直接獲得)，表征振動發生時子結構1與子結構2之間的相互作用關系。

結合式(5)中各動力學信息矩陣具體如下：

由各子結構決定的組合結構質量矩陣

由各子結構決定的組合結構的剛度矩陣

由結合部決定的組合結構的剛度矩陣

將各動力學矩陣代入式(5)，可得：

(8)

進而可得：

(9)

給定一系列子結構及結合部動力學信息，并通過模態分析獲得組合結構的對應固有頻率，進而通過所推導式(9)對結合部剛度進行辨識，其結果如下：

現給定所建立廣義動力學系統的初值，如表1所示。

表1 數值模擬試驗配置及辨識結果Tab.1 Setup of numerical experimentation andidentification result

3 螺栓結合部剛度的試驗辨識

在實際工程問題中，所研究對象往往具有復雜的幾何形狀、空間結構等屬性，因此子結構的剛度、質量矩陣等動力學特性往往僅是存在且確定的，但無法直接獲得，增加了通過模態測試辨識結合部動力學特性的難度。論文建立了結合部動力學特性與組合結構系統固有頻率之間的映射關系，論證了結合部動剛度對組合結構固有頻率分布具有顯著影響。基于以上考慮，為解決實際研究中結合部動力學參數辨識問題，搭建了Matlab-ANSYS的聯合調用平臺，以所測得的法向及切向典型振型對應固有頻率為指標，通過ANSYS對組合結構系統進行模態分析，采用MATLAB進行二次計算和控制，以此對結合部系統法向及切向動剛度依次進行優化辨識。

現場試驗以螺栓結合部為研究對象，其中：子結構A與子結構B通過螺栓(M14×20)結合部連接組成組合結構，螺栓采用60 Nm預緊；子結構A、B分別采用結構鋼與鑄鐵材料，以模擬導軌與床身之間的材料邊界；試驗以m+p振動噪聲測試系統為采集前端，采用移動力錘法進行錘擊模態的數據采集，所采集數據傳輸至PC機通過smart office進行進一步運算處理；8號測點為三向加速度傳感器安放位置；數據采集過程中，結構通過橡膠繩懸掛，模擬結構的自由邊界。

試驗配置及測點分布示意圖，如圖2所示。

(a) 試驗配置

(b) 測點分布圖2 模態試驗示意圖Fig.2 Diagram of modal testing experiment

模態測試現場，如圖3所示。

圖3 現場測試圖片Fig.3 Picture of field test

模態試驗中所測量的原點加速度頻響，如圖4所示。

圖4 法向及切向的加速度頻響Fig.4 FRF of original point in normal and tangential direction

MATLAB-ANSYS集成平臺的辨識過程如下：

步驟1程序初始化(Parameter_initialization.m)：用以清空系統內存、參數初始化、指定參數存儲空間等；指定了結合部優化辨識的剛度信息初始值。

步驟2定義目標向量(Define_Target_vector.m)：輸入組合結構模態試驗所辨識的固有頻率分布向量，作為后續評判的指標。

步驟3調用ANSYS(Compute_by_ANSYS.m)：通過System命令調用ANSYS讀取指定命令流文件進行有限元計算。

步驟4誤差率計算(Compute_error.m)：在MATLAB環境中計算當次迭代所獲得組合結構系統固有頻率與模態試驗辨識的實際固有頻率之間的誤差率。

步驟5評判準則(Continue_or_break.m)：判斷誤差率是否達到中斷標準，如果判斷結果為YES，則運行步驟6)，否則運行步驟7)；此處為研究辨識過程中的收斂特性，該準則為關閉狀態。

步驟6更新剛度信息(Update_stiffness.m)：更新結合部剛度信息，并將程序運行至步驟3)。

步驟7輸出辨識剛度信息(Output_stiffness.m)：達到中斷標準后，對程序運行break命令，跳出迭代循環，輸出辨識剛度。

MATLAB-ANSYS集成平臺信息流向示意圖，如圖5所示。

圖5 MATLAB-ANSYS集成平臺信息流向示意圖Fig.5 Computational process of information in the MATLAB-ANSYS integration platform

螺栓結合部法向剛度及切向剛度的辨識過程，如圖6和圖7所示。

圖6 法向剛度辨識過程Fig.6 Identification process of normal dynamic stiffness

圖7 切向剛度辨識過程Fig.7 Identification process of tangential dynamic stiffness

分別經過71步與103步迭代之后，得到最優辨識結果：

法向剛度： 1.24×108N/m

切向剛度： 6.38×109N/m

將剛度信息以COMBIN14單元(均勻分布)錄入有限元模型，最終對組合結構各階固有頻率進行預測，有限元模型及預測效果，如圖8和表2所示。

圖8 組合結構有限元模型Fig.8 Finite element model of assembly structure表2 前六階固有頻率分布的預測結果Tab.2 Prediction of the first six natural frequencies

模態階數實測固頻/Hz預測固頻/Hz振型誤差率/%模態197.9898.15法向一階彎曲0.17模態2285.78293.40法向二階彎曲3.01模態3290.39290.45切向一階彎曲0.02模態4535.17532.84法向三階彎曲0.44模態5859.36876.72切向二階彎曲2.02模態6917.57932.60法向四階彎曲1.64

前六階振型的實測與預測對比情況，如圖9～圖14所示。

(a) 實測振型

(b) 預測振型圖9 法向一彎模態結果對比Fig.9 The first-order bending mode of vibration in normal direction

(a) 實測振型

(b) 預測振型圖10 法向二彎模態結果對比Fig.10 The second-order bending mode of vibration in normal direction

(a) 實測振型

(b) 預測振型圖11 切向一彎模態結果對比Fig.11 The first-order bending mode of vibration in tangential direction

(a) 實測振型

(b) 預測振型圖12 法向三彎模態結果對比Fig.12 The third-order bending mode of vibration in normal direction

(a) 實測振型

(b) 預測振型圖13 切向二彎模態分析結果對比Fig.13 The second-order bending mode of vibration in tangential direction

(a) 實測振型

(b) 預測振型圖14 法向四彎模態結果對比Fig.14 The fourth-order bending mode of vibration in normal direction

結果顯示：實測振型與預測振型具有良好的一致性，證明了方法的正確性。

通常而言，結合部由于結合面之間的接觸邊界而呈現出非線性力學屬性。在動力學所研究領域內，如果結合部動力學的非線性屬性是不可忽略的，則會直接導致基于不同階固有頻率所辨識的結合部動剛度是不一致的；換言之，通過單階固有頻率的辨識結果將無法準確預測其他各階固有頻率的分布情況；而以上情況與本文的結果是相悖的。因此，表征和印證了：螺栓結合部在大預緊載荷的作用下，其非線性動力學特性得到了抑制。預緊載荷對螺栓結合部動力學特性的影響機制會在后續論文中展開討論。

4 結 論

(1) 結合部動力學特性對機械系統的動態性能具有顯著影響，結合部動力學參數的準確辨識及合理建模方式是整機動力學建模的重要前提。

(2) 建立了包含結合部的廣義動力學模型，從模態分析理論出發，通過固有頻率建立了結合部動力學性能與組合結構系統固有頻率的映射關系。

(3) 分別進行了數值試驗與現場模態試驗，均取得了良好的試驗效果，驗證了通過模態分析結果辨識結合部動力學參數的方法正確性。

(4) 螺栓結合部在大預緊載荷作用下，其非線性動力學特性得到抑制，滿足線性條件假設。

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Astudyontheidentificationofjointsdynamicstiffnessbasedonmodalanalysis

DONG Guanhua, YIN Qin, LIU Yun, YIN Guofu

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Accurate identification of the dynamic information is an important prerequisite for the combination of structural dynamics modeling. In this paper, the method of the dynamic stiffness identification was studied based on the theory of modal analysis. Firstly, we constructed a generalized dynamics model containing the dynamic information, discussed the characteristics of the joint dynamics from the theory of modal analysis influencing between the natural frequency and the combination structure and established the relationship between them. Furthermore, we built an ideal finite element model by the mass and spring-damper and identified the joint stiffness by the natural frequency obtained by numerical analysis. The maximum error between the identification and the theoretical value was 1.92%. At last, we applied modal test on bolt joints, the measured natural frequency of the typical mode of vibration in normal and tangential direction as the index, through the MATLAB-ANSYS integration platform to identify the bolt joint stiffness. Moreover, the obtained results were input to the finite element model. The maximum error between the predicted value and measured value was 3.01%. The numerical value and the test value were all ideal, demonstrating the feasibility of the method. At the same time, the dynamic stiffness identified by the measured natural frequency of the typical mode of vibration was a very good predictor of other order natural frequency distribution of the bolt connection structure, demonstrating that the bolt in a larger pretightening force; dynamic characteristics met the linear assumption.

dynamic; joints; stiffness; modal analysis

國家科技支撐計劃項目(2015BAF27B01)；四川省科技計劃項目(2014GZ0125)

2016-05-19 修改稿收到日期： 2016-08-30

董冠華 男，博士，工程師，1989年生

殷勤 女，博士生，1990年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.020