任意邊界條件下中心開口矩形板自由振動(dòng)特性分析

邱永康， 李天勻，2，3， 朱 翔，2， 郭文杰， 毛藝達(dá)

(1. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

任意邊界條件下中心開口矩形板自由振動(dòng)特性分析

邱永康1， 李天勻1，2，3， 朱 翔1，2， 郭文杰1， 毛藝達(dá)1

(1. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

針對(duì)任意邊界條件下中心開口矩形板的自由振動(dòng)特性研究問題，引入改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式表示開口矩形板的位移容許函數(shù)，該級(jí)數(shù)形式具有收斂性好、精度高等特點(diǎn)，采用沿邊界均勻分布的線性彈簧模擬任意邊界條件，并結(jié)合位移連續(xù)條件和Rayleigh-Ritz能量泛函變分法，對(duì)未知傅里葉展開系數(shù)求極值將問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值方程問題，通過求解方程可得到中心開口矩形板的固有頻率及其對(duì)應(yīng)振型；對(duì)不同邊界組合不需重新推導(dǎo)公式，只需改變模擬彈簧剛度值即可，提高了效率，最后通過數(shù)值算例與有限元方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析以驗(yàn)證文中方法的有效性和精確性。

開口矩形板；改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)；能量法；任意邊界

含開口的矩形板結(jié)構(gòu)廣泛存在于各個(gè)行業(yè)中，例如航空航天，船舶，土木建筑等，在原有板結(jié)構(gòu)上開方口或矩形口會(huì)影響其原有振動(dòng)特性，開口板的振動(dòng)不僅對(duì)能量傳輸起著重要作用，而且還與向周圍環(huán)境的輻射噪聲存在直接關(guān)系。因此，開口矩形板動(dòng)態(tài)性能的研究非常重要。

關(guān)于板結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能分析，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做出了大量的研究， Leissa[1]對(duì)不同邊界條件下板的經(jīng)典Voigt解進(jìn)行了研究分析，最終得出其自由振動(dòng)的固有頻率，為開口板的動(dòng)態(tài)特性研究奠定了重要的理論基礎(chǔ)。但對(duì)于開口板結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)學(xué)者相關(guān)動(dòng)態(tài)性能研究較少，Lam等[2]對(duì)含有開口或裂紋的矩形板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)性能進(jìn)行研究分析，對(duì)開口板進(jìn)行分區(qū)處理，以正交多項(xiàng)式模擬板位移函數(shù)得出中心開口矩形板的振動(dòng)頻率，其對(duì)板分區(qū)處理思想為研究開口板問題提供新的思路；Paramasivam[3]通過拓展網(wǎng)絡(luò)框架模型研究不同邊界條件下開口對(duì)板固有頻率的影響，Ali等[4]基于Rayleigh原則提出一種計(jì)算開口板結(jié)構(gòu)固有頻率的簡(jiǎn)化算法，Reddy等[5]根據(jù)Reissner-Mindlin型剪切變形理論和非線性的von Kármán應(yīng)變-位移關(guān)系理論對(duì)開口板大振幅彎曲振動(dòng)進(jìn)行研究，Rajamani等[6]將開口的大小、形狀和位置作為外載荷以研究開口對(duì)內(nèi)外固支邊界開口結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響，Hegarty等[7]通過最小二乘配點(diǎn)法對(duì)中心開圓孔的矩形板自由振動(dòng)問題進(jìn)行研究，最后得出板自由振動(dòng)頻率與開口尺寸之間的關(guān)系曲線，Aksu等[8]結(jié)合有限差分技術(shù)的變分原理對(duì)含有一個(gè)和兩個(gè)開口矩形板的固有頻率進(jìn)行預(yù)測(cè)，Sivasubramonian等[9]研究了開口大小對(duì)曲面板固有頻率的影響，Takahashi[10]基于Ritz法對(duì)中心開圓孔的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。

上述文獻(xiàn)中大部分研究工作僅限于開口板在經(jīng)典邊界組合下的動(dòng)態(tài)特性分析，而對(duì)一般彈性邊界下其振動(dòng)問題研究較少。Lam等以正交多項(xiàng)式形式表示開口板的位移容許函數(shù)，這就使得最后得出結(jié)果的精度完全依賴于所選取板的假定振型與實(shí)際情況的吻合程度，影響計(jì)算效率。

Li[11]提出任意支撐梁振動(dòng)分析的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，并隨后被拓展應(yīng)用到矩形板[12]和圓柱殼[13]等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析之中，文獻(xiàn)[12]表明任意邊界條件下板的假定振型函數(shù)可以不變的用一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)形式表示。針對(duì)上述問題，本文引入改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法建立任意邊界條件下中心開口矩形板的振動(dòng)分析模型，將其位移容許函數(shù)表示為包含正弦三角級(jí)數(shù)的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式，采用沿邊界均勻分布的位移約束彈簧和轉(zhuǎn)角約束彈簧模擬板的邊界條件，然后運(yùn)用能量泛函變分方法對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題進(jìn)行求解，并與有限元仿真運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析以說明文中方法的準(zhǔn)確有效性。

1 理論分析

1.1 中心開口矩形板模型描述

文中研究對(duì)象如圖1所示，開口矩形板的長(zhǎng)度為a，寬度為b，矩形開口位于板的中心，開口的長(zhǎng)度為a1，寬度為b1，板厚為h，開口板的邊界條件關(guān)于其中心對(duì)稱，根據(jù)開口矩形板幾何對(duì)稱及邊界對(duì)稱性，考慮其對(duì)稱性包括正對(duì)稱性和反對(duì)稱性，可以得到更加全面準(zhǔn)確的模態(tài)振型，僅研究開口板1/4區(qū)域，在開口處沿開口的延長(zhǎng)線將把開口矩形板分割成3個(gè)區(qū)域，如圖1所示。

圖1 開口矩形板示意圖Fig.1 Rectangular plate with square opening

在圖1中，①～⑩邊界采用兩種沿邊界均勻分布的線性彈簧模擬，兩類彈簧分別為位移約束彈簧(k)和旋轉(zhuǎn)約束彈簧(K)，通過設(shè)置這兩類彈簧的剛度來模擬開口板任意邊界，例如，當(dāng)兩種彈簧剛度都設(shè)為0時(shí)，則模擬自由邊界，當(dāng)兩種彈簧剛度都設(shè)為∞時(shí)，則模擬固支邊界，當(dāng)其取0～∞時(shí)可模擬任意彈性邊界等。①和④邊界為正對(duì)稱或反對(duì)稱邊界，⑨和⑩邊界為連接邊界，其余邊界為經(jīng)典邊界，設(shè)置剛度與其對(duì)應(yīng)模擬邊界如表1所示。

表1 剛度設(shè)置與其模擬邊界的對(duì)應(yīng)關(guān)系表Tab.1 The corresponding relation table ofstiffness settings and boundary

當(dāng)剛度設(shè)置為∞時(shí)，本文取值為1×1010，經(jīng)后文算例驗(yàn)證，當(dāng)剛度取值為1×1010，一般彈性邊界可完全退化為經(jīng)典邊界。根據(jù)以上彈簧模擬方法可得到開口板物理模型，如圖2所示。

圖2 開口板物理模型描述圖Fig.2 Physical model of rectangular plate with opening

1.2 位移容許函數(shù)

對(duì)于3個(gè)區(qū)域每個(gè)區(qū)域可以視為獨(dú)立的板進(jìn)行分析研究，每個(gè)矩形板選取合適的位移容許函數(shù)非常重要，文中引入改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法可以滿足任意邊界條件，改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法可使板的位移容許函數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且四階導(dǎo)數(shù)各點(diǎn)均存在，可以有效克服邊界處可能出現(xiàn)的不連續(xù)現(xiàn)象。矩形板的位移容許函數(shù)可表示為

(1)

式中：Amn為其未知傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)； 簡(jiǎn)諧時(shí)間因子eiωt表示矩形板在不同時(shí)刻的位移函數(shù)；j取1,2,3分別代表三塊板的位移函數(shù)；M，N為截?cái)囗?xiàng)取值；φm(x)為x方向的特性梁容許函數(shù)，ψn(y)為y方向的特性梁容許函數(shù)，其表達(dá)式分別為

(2)

(3)

式中：x*，y*為無因次坐標(biāo)，m=1,2,3，…，M,n=1,2,3，…，N。

1.3Rayleigh-Ritz能量泛函變分法

通過能量法對(duì)開口矩形板結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理，結(jié)合Rayleigh-Ritz方法確定其未知系數(shù)，對(duì)于3塊區(qū)域板，僅考慮彎曲變形，其彎曲應(yīng)變能為

(4)

儲(chǔ)存在邊界約束彈簧中的彈性勢(shì)能為

(5)

式中，ki和Ki分別表示圖1中開口板第i個(gè)邊界的位移約束彈簧剛度和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度。

在任意邊界條件下，3塊區(qū)域板的動(dòng)能分別可表示為

(6)

式中：ρ為開口板的密度；ω為圓頻率；j=1,2,3。

在無外激勵(lì)下，開口板的能量泛函可表示為

(7)

對(duì)3塊區(qū)域板的總能量泛函進(jìn)行變分求極值可得：

(8)

將式(4)～式(6)代入式(8)中可寫成矩陣形式如下：

([K]-ω2[M]){A}=0

(9)

式中： 矩陣[K]表示3個(gè)區(qū)域板的總勢(shì)能剛度矩陣，包括板的彎曲應(yīng)變能剛度和儲(chǔ)存在邊界中的彈簧勢(shì)能剛度； [M]表示其質(zhì)量矩陣。

(10)

(11)

式中，i=1,2,3。

由式(9)可以可出，最終將開口板結(jié)構(gòu)問題退化為求解式(9)標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，可以很簡(jiǎn)單的得到開口矩形板的自由振動(dòng)頻率及其對(duì)應(yīng)的特征向量，即可提取出相應(yīng)的模態(tài)振型。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

本文對(duì)不同邊界和不同幾何尺寸的開口矩形板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算，并與有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析以說明本文方法的有效性和精確性，以下給出算例中開口矩形板的材料參數(shù)取值都取為：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=2.1×1011Pa。

2.1 收斂性分析

從表2中對(duì)比分析可知：隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)M，N不斷增加，文中方法所求得的開口板固有頻率逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)M=N=13時(shí)，固有頻率已不再發(fā)生變化，即認(rèn)為文中方法已收斂，從而證明了改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法在計(jì)算開口板振動(dòng)特性的收斂性和穩(wěn)定性。后面計(jì)算中均取截?cái)囗?xiàng)M=N=13。

文中方法計(jì)算所得開口板固有頻率值與有限元仿真分析(ANSYS)計(jì)算結(jié)果吻合良好，圖3給出其前4階模態(tài)對(duì)應(yīng)振型圖，可以看出改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法計(jì)算所得頻率與振型與有限元方法所得結(jié)果具有很高的吻合度，從而證明了文中方法的正確性和精確性。

(a) 開口板第1階振型對(duì)比圖

(b) 開口板第2階振型對(duì)比圖

(c) 開口板第3階振型對(duì)比圖

(d) 開口板第4階振型對(duì)比圖圖3 開口板前4階振型對(duì)比圖Fig.3 The first four order comparison mode of rectangular plate with square opening

2.2 不同開口尺寸和邊界的開口板動(dòng)態(tài)特性分析

為驗(yàn)證本文方法對(duì)于求解不同開口尺寸和不同邊界條件的開口板振動(dòng)性能的普遍適用性，下文將對(duì)在不同邊界條件下，不同內(nèi)孔邊和外邊的長(zhǎng)度比ξ進(jìn)行討論分析。

首先在F-F邊界下，即內(nèi)孔邊界為自由邊界，外邊界也是自由邊界，外邊長(zhǎng)度a=8 m，寬度b=6 m，內(nèi)孔邊與外邊的長(zhǎng)度比ξ=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9，表3給出文中方法所求前6階固有頻率值，由于缺乏文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，與有限元仿真分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出隨著開口的增大，開口矩形板的各階頻率值不斷減小，而且本文方法與有限元結(jié)果非常吻合。

表3 F-F邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.3 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in F-F boundary Hz

表4～表6分別給出在C-F邊界(外邊固支，內(nèi)邊自由)，SS-SS邊界(內(nèi)外均簡(jiǎn)支)，SS-F邊界(外邊簡(jiǎn)支，內(nèi)邊自由)三種不同經(jīng)典邊界組合下開口矩形板的固有頻率，開口板其余幾何參數(shù)和物理參數(shù)均與上例相同，同時(shí)將開口矩形板的固有頻率值與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

表4 C-F邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.4 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in C-F boundary Hz

表5 SS-SS邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.5 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in SS-SS boundary Hz

表6 SS-F邊界下不同開口尺寸的開口板固有頻率Tab.6 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in SS-F boundary Hz

對(duì)不同經(jīng)典邊界組合的開口矩形板的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，從表4～表6可以看出，文中方法所得結(jié)果與有限元方法計(jì)算結(jié)果吻合良好，充分證明了文中方法對(duì)處理不同經(jīng)典邊界的開口矩形板振動(dòng)問題具有普遍適用性和較高的精確度。文中方法不僅可以處理任意邊界問題，還可以應(yīng)用于不同開口尺寸的中心開口矩形板。在C-F邊界和SS-SS邊界下，隨著內(nèi)孔邊與外邊長(zhǎng)度比ξ的增大，開口板固有頻率逐漸增大。

為體現(xiàn)文中方法對(duì)處理一般彈性邊界的開口矩形板振動(dòng)問題的普遍適用性，最后給出一般彈性邊界條件算例，開口板外邊長(zhǎng)度a=5 m，寬度b=5 m，內(nèi)孔邊與外邊的長(zhǎng)度比ξ=0.5，內(nèi)邊為自由邊界，外邊位移約束彈簧剛度為K′，轉(zhuǎn)角約束彈簧剛度為0，文中方法計(jì)算該開口矩形板的固有頻率，并與ANSYS有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，表7給出前六階固有頻率結(jié)果對(duì)比。

表7 不同位移約束彈簧剛度K′的開口板固有頻率Tab.7 Natural frequencies of rectangular platewith square opening in different K′ Hz

從表7中數(shù)據(jù)對(duì)比不難看出，位移約束彈簧剛度增大到1×1010N/m時(shí)，開口板的外邊邊界條件完全退化為簡(jiǎn)支(SS)邊界。文中方法計(jì)算一般彈性邊界開口矩形板固有頻率與有限元方法吻合性良好，證明了其對(duì)處理一般彈性邊界的開口矩形板振動(dòng)問題的有效性。

文中大量的算例充分說明了文中方法不僅可以處理不同開口尺寸開口矩形板自由振動(dòng)問題，而且適用于任意邊界(包括經(jīng)典邊界和一般彈性邊界)開口矩形板的振動(dòng)分析。

3 結(jié) 論

本文基于改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法，對(duì)中心開口矩形板進(jìn)行了自由振動(dòng)特性分析。充分利用中心開口板的對(duì)稱性(包括正對(duì)稱和反對(duì)稱)，僅對(duì)1/4塊板進(jìn)行研究，并將這1/4塊板劃分為三個(gè)區(qū)域板，結(jié)合Rayleigh-Ritz能量泛函變分法將開口板自由振動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。通過數(shù)值算例與有限元方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析以驗(yàn)證本文方法的有效性和精確性，并得出以下結(jié)論。

(1) 文中方法隨著傅里葉級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)的增加，計(jì)算結(jié)果收斂性良好，且數(shù)值穩(wěn)定性很好。

(2) 對(duì)于任意邊界組合的中心開口矩形板，只需改變位移約束彈簧和轉(zhuǎn)角約束彈簧剛度值就可模擬，不需重新推導(dǎo)公式，提高效率，這是文中方法解決開口板問題的顯著優(yōu)點(diǎn)。

(3) 文中方法對(duì)于不同開口尺寸和縱橫比的中心開口矩形板的自由振動(dòng)問題具有普遍適用性。

[1] LEISSA A W. The free vibration of rectangular plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 31(3): 257-293.

[2] LAM K Y, HUNG K C. Vibration study on plates with stiffened openings using orthogonal polynomials and partitioning method[J]. Computers & Structures, 1990, 37(3): 295-301.

[3] PARAMASIVAM P. Free vibration of square plates with square openings[J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 30(2): 173-178.

[4] ALI R, ATWAL S J. Prediction of natural frequencies of vibration of rectangular plates with rectangular cutouts[J]. Computers & Structures, 1980, 12(6): 819-823.

[5] REDDY J N. Large amplitude flexural vibration of layered composite plates with cutouts[J]. Journal of Sound and Vibration, 1982, 83(1): 1-10.

[6] RAJAMANI A, PRABHAKARAN R. Dynamic response of composite plates with cut-outs, part II: Clamped-clamped plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 1977, 54(4): 565-576.

[7] HEGARTY R F, ARIMAN T. Elasto-dynamic analysis of rectangular plates with circular holes[J]. International Journal of Solids and Structures, 1975, 11(7): 895-906.

[8] AKSU G, ALI R. Determination of dynamic characteristics of rectangular plates with cutouts using a finite difference formulation[J]. Journal of Sound and Vibration, 1976, 44(1): 147-158.

[9] SIVASUBRAMONIAN B, KULKARNI A M, RAO G V, et al. Free vibration of curved panels with cutouts[J]. Journal of Sound and Vibration, 1997, 200(2): 227-234.

[10] TAKAHASHI S. Vibration of rectangular plates with circular holes[J]. Bulletin of JSME, 1958, 1(4): 380-385.

[11] LI W L. Free vibrations of beams with general boundary conditions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 237(4): 709-725.

[12] LI W L. Vibration analysis of rectangular plates with general elastic boundary supports[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 273(3): 619-635.

[13] DAI L, YANG T, DU J, et al. An exact series solution for the vibration analysis of cylindrical shells with arbitrary boundary conditions[J]. Applied Acoustics, 2013, 74(3): 440-449.

Thefreevibrationcharacteristicsanalysisofarectangularplatewithcentralopeningusinginarbitraryboundaryconditions

QIU Yongkang1, LI Tianyun1,2,3, ZHU Xiang1,2, GUO Wenjie1, MAO Yida1

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;2. Hubei Provincial Key Laboratory of Ship and Marine Hydrodynamics, Wuhan 430074,China;3. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240,China)

This paper is based on the improved Fourier series method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of a rectangular plate with a central opening. When considering the opening, only a quarter of the plate was studied by using the symmetry of the rectangular plate with central opening，which was divided into three regions. The admissible function displacement of each region was expressed by the improved Fourier series. By using the linear spring, which was uniform distribution along the border, arbitrary boundary conditions were simulated. And through the continuous conditions of displacements, the relationship of each regional plate was determined. According to the Rayleigh-Ritz energy functional and the variational method, the overall energy function can be obtained. The generalized eigenvalue matrix equation can be obtained by studying the extremum of the unknown improved Fourier series expansion coefficients. Solving the equation can lead to the natural frequencies and the corresponding vibration modes of the rectangular plate with central opening. Finally, according to the calculation of numerical examples, the results were compared with the finite element method to verify the accuracy and effectiveness of the method in this paper.

rectangular plate with opening; improved Fourier series method; energy variational method; arbitrary boundary conditions

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51379083；51579109)

2016-03-04 修改稿收到日期： 2016-08-23

邱永康 男，碩士，1992年生

李天勻 男，博士，教授，1969年生

E-mail:ltyz801@hust.edu.cn

TB532

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.018