地下圓形襯砌動載等效簡易模型及內力極值解

郭 璇， 孫文波， 張曉新， 岳煥闖， 馬思遠

(1. 北京交通大學 城市地下工程教育部重點實驗室，北京 100044； 2. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；3. 中國中建設計集團有限公司 專業設計一院，北京 100037)

地下圓形襯砌動載等效簡易模型及內力極值解

郭 璇1,2， 孫文波2， 張曉新3， 岳煥闖2， 馬思遠2

(1. 北京交通大學 城市地下工程教育部重點實驗室，北京 100044； 2. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；3. 中國中建設計集團有限公司 專業設計一院，北京 100037)

基于能量守恒討論動荷載的不同等效靜力形式，給出地下圓形襯砌動載作用下的擬靜力等效簡易力學模型，基于自由變形法推導給出瞬間動載的模型內力極值理論解。對比既有地下結構襯砌頂爆及側爆沖載的試驗結果、初步考察建議模型的適用性及參數效應。對比發現，各種爆沖荷載的等效形式中，三角形荷載的等效選型結果對模型試驗結果的適應性較好，初步滿足解析解與數值模擬值的對比驗證。模型參數效應明確，內力極值解方便工程應用。

地下圓形襯砌；動載；等效簡易模型；內力極值解

近年來，人流密集的地鐵或深部隧道等地下空間在動載(如爆破拆除、循環氣動、活塞風等)作用下襯砌結構破裂損壞的案例增多，嚴重的情況直接影響運營、導致巨大的經濟損失，甚至危及人員傷亡。地鐵空間狹小且人流密集，是公共安全維護的焦點所在，而主要的安全隱患和危險因素即來源于動載，其對隧道襯砌產生的內力響應評價是非常重要的理論難題，并對結構設計及安全運營直接產生深遠影響。地表建筑物爆破拆除、恐怖主義化學武器爆炸、淺層含氣地層氣壓突出釋放等情況均可能導致襯砌結構承受動載，并導致公眾安全事故，2005年“7.7”倫敦地鐵爆炸事件，倫敦6個地鐵站發生連續劇烈爆炸，導致13條地鐵線全部停運，56人死亡，700多人受傷。因此，襯砌結構的沖載穩定性是地鐵長期安全運營的基礎保障，其理論研究具有重要的理論意義和實用價值。

目前，動載對封閉空間地下圓形襯砌的內力響應尚屬理論難題，因力學響應分析及穩定性求解復雜且受邊界條件的影響顯著[1-6]，其在襯砌結構安全評價中的作用日益重要。沖擊釋放、卸載導致襯砌承受瞬間巨大動載，模擬方法也趨于多樣化[7-8]；動載下襯砌的穩定性研究多集中于爆破荷載或瓦斯突出，廣義動載作用考慮能量的瞬間時效作用，如根據炸藥量和爆壓確定爆破動載或根據釋放氣壓力大小確定氣壓動載；爆破地震波衰減可等效瓦斯突出對襯砌的動載影響等。提出方便工程應用的等效簡易分析模型非常重要和必要。

本文以地下結構自由變形法為理論基礎，推導給出地下圓形襯砌動載的等效擬靜載簡易模型及抗沖擊瞬時最大內力。通過理論分析、試驗研究、數值模擬對比驗證爆炸動載下隧道結構應力應變的動力響應及破壞機制。

1 動載地下圓形襯砌內力式推導

基于能量守恒原理尋找結構擬靜載等效應力以平衡動載最大應力，考察參數效應。地中結構服從廣義Hook定律的前提下，考慮地下襯砌結構上方覆土對動載及波動的顯著衰減作用，認為動載的主要衰減在地層傳播中已完成，忽略半空間應力波傳播產生的多次過程附加應力，假定襯砌在地表強動載下承受瞬間單一動載。應用動載所致瞬間最大內力的靜載等效原則，通過確定襯砌上作用的動載，如選擇對靜載乘以一個動荷載因數逼近襯砌結構產生應力和變形以估算動載，繼而等效得到襯砌響應的瞬時最大內力。基于以上思想，應用自由變形法給出地下圓形襯砌動載的等效簡易擬靜力模型及內力推導。

1.1 動載等效簡易模型

首先討論動載的不同等效形式。文獻[9]給出既有地下圓形洞室左側出現爆破荷載，襯砌受力模型與圍巖動應力集中系數分布圖，既有地下圓形洞室上側出現爆破荷載時，襯砌圍巖土體最大加速度分布見圖1。

當既有地下圓形洞室襯砌某側出現動載，為計算方便，假定襯砌瞬間受力符合下述規律：選定動載出現一側的最大荷載為此側0°角位置；越往兩側分布的襯砌荷載越小，最大受力區集中分布在動載兩側±15°角的范圍內；遠離動載的一側，襯砌兩端的受力明顯高于襯砌中間的受力。側爆和上爆兩種模式得到的動應力集中系數和最大加速度分布均在動載作用側呈現較典型的蝴蝶擬對稱分布形態。

推導動載作用在中心任意角度襯砌最大附加內力計算式。首先考慮動載作用在上側的特例，任意角度動載可通過旋轉角表示，動載作用下襯砌附加受力分為三部分：①動載等效荷載，即動載對襯砌的施加荷載；②動載等效反力，為平衡動載影響，襯砌-地層提供的反力，其大小與動載等效荷載等效；③兩側地層抗力，在動載等效荷載與反力作用下，由地下圓形洞室襯砌在地層中的變形引起的地層抗力，設為三角形抗力分布。

考慮動載襯砌受力的兩個主要影響因素：荷載形式與荷載大小，圖2(a)給出上部動載情況下地下圓形洞室襯砌的受力模型圖，圖2(b)為爆破動載附加荷載的力學模型圖。

(a) 上側爆破動載模型圖

(b) 上側爆破動載附加荷載力學模型圖q為地層均布荷載；q0為等效分布動載的最大值，θ為其分布半角； R是圓形洞室襯砌計算半徑； e1，e2分別是側向水平均布和三角形分布的主動地層壓力； K為地基反力； K0為由動載產生的地基反力最大值；PK0為側向地基反力最大值，α為其分布半角圖2 荷載模型圖Fig.2 Load model

模擬爆破對巖體作用動載的通常加載方式：一按炸藥爆轟理論計算爆炸產生的小孔壓力將爆炸荷載直接作用于孔壁上；二使用經驗公式計算動荷載峰值，如按三角形脈沖波形式施加于開挖邊界。前者需引入炸藥爆轟狀態方程和巖體狀態方程，常見于單孔爆破或集中裝藥爆破；多孔爆破動載因爆源分布區域較大，按當量炸藥量模擬加載。

討論動載的不同等效形式，將氣體突出、地震波與爆破衰減等對襯砌產生的爆沖作用形式等效，假定沖載導致等效附加荷載包括三部分：上部荷載、兩側反力和下部反力，討論三部分荷載不同的分布形式對襯砌內力產生的影響。荷載假定形式分布如圖3所示。

圖3 荷載形式Fig.3 Load form

假設動載產生總等效值F相同，圖3(ⅰ)中四種上部荷載形式的集中程度為?

1.2 動載附加荷載下襯砌內力公式推導

推導各形式等效荷載襯砌內力的計算式，推導等效力F為動載的總荷載值。各荷載內力計算式的推導思想相同，以曲線荷載為例給出詳細的推導過程，其余情況僅列出推導結果。

上部動載等效荷載正弦分布，最大值為q0，ξ角處正弦荷載值為q0cosξ，取-θ～θ范圍內的荷載作為計算等效荷載。

當0≤φ≤θ時， 荷載圖如圖4， dξ處對φ的彎矩值為q0cosξRcosξdξ(Rsinφ-Rsinξ)， 其中q0cosξ為dξ處的荷載大小，Rcosξdξ為作用范圍， (Rsinφ-Rsinξ)為作用距離。

圖4 曲線荷載圖Fig.4 Load diagram of curve

當0<φ≤θ時

(1)

當θ<φ≤π時，荷載圖如圖4，其中

(2)

得到Mf的計算式后即可計算Δ1P,Δ2P

(3)

(4)

可得：

(5)

(6)

將x1和x2的值代入Mqφ=x1-x2Rcosφ+Mq可得：

當0≤φ≤θ時，

(7)

當θ<φ≤π時，

(8)

q0與爆破等效動載F的關系：

F=(θ+sinθcosθ)q0R

軸力計算式為：當0≤φ≤θ時，

(9)

當θ<φ≤π時，

(10)

將x1和x2的值代入Nqφ=x2cosφ+Nq可得

當0≤φ≤θ時，

(11)

當θ<φ≤π時，

(12)

剪力計算式：當0≤φ≤θ時，

(13)

當θ<φ≤π時，

(14)

將x1和x2代入Qqφ=x2sinφ+Qq可得

當0≤φ≤θ時，

(15)

當θ<φ≤π時，

(16)

將爆破荷載瞬間值Fmax代入以上各式即可得到瞬時襯砌最大內力。

爆破荷載等效值的最大爆炸壓力表達式(Brown,1956)

Pb=0.45ρV2/(1.0+0.000 8ρ)

(17)

1971年Sassa給出表達式

Pb=0.42ρV2(1-0.543ρ+0.193ρ2)

(18)

巖體中傳播爆轟波與巖體接觸界面上產生的最大壓力Pmax與巖體特性相關，巖體最大壓力與最大爆炸壓力的關系可近似表達成

(19)

式中：ρ為巖石密度；Cp為巖石中傳播的縱波波速；V為炸藥爆速；ρ0為炸藥密度。

取最大等效作用荷載為

(20)

爆破荷載峰值大小與距離的衰減關系可表示為

(21)

式中：Pmax為爆破荷載峰值；r為計算點離爆孔的距離；D為接觸面直徑，m。

使用Statfield有關時程的動壓力：

(22)

其中B=163.38 kPa是荷載常量，每1 kg裝藥量的動壓力。

由式(17)～式(22)可得，作用在襯砌上等效荷載值的總大小隨時間的函數關系為

(23)

式中：Fmax是作用在接觸面上爆破荷載最大值。

以上基于自由變形法推導給出瞬間動載模型的內力極值理論解，得到的各種等效荷載內力形式匯總見附錄圖。

2 模型及試驗驗證

為驗證地下圓形襯砌動載擬靜力等效力學模型及內力極值解的正確性，進行實驗和模擬對比。

2.1 爆破模型試驗對比

與地下圓形洞室頂部微振離心模型試驗結果計算對比考察動載作用下地下圓形洞室襯砌瞬時最大內力理論計算式的適用性。

頂部微振模型試驗的示意圖如圖5所示。

襯砌上部施加動載模型試驗的參數如表1所示[10]。試驗結果對比如下。

表1 試驗參數Tab.1 Test parameters

圖5 微振試驗示意圖Fig.5 Diagram of micro vibration test

換算模型試驗(cm)微應變結果得到動載結構承受彎矩大小，模型試驗顯示砂-石膏材料配合比為石膏∶砂∶水=1∶0.8∶0.5，彈性模量E=2.8 GPa，為原型C20混凝土折減后的彈性模量，對比7.5 mm和12.5 mm兩種厚度，鋁合金模型彈性模量Em=70 Gpa，厚度為3.8 mm。

離心試驗模型的彎曲變形相似準則：

(24)

(25)

式中：n為離心加速度數；μm為模型波松比；μp為原型波松比;Em為模型楊氏模量;Ep為原型楊氏模量；hm為模型襯砌厚度；hp為原型襯砌厚度。

由式(24)、式(25)可得：

(26)

表2 測點彎矩換算值Tab.2 Moment conversion value of measuring point

以第三組試驗為例進行等效爆破荷載值的計算，試驗參數如表3。計算模型試驗襯砌最大內力理論解。

表3 試驗參數Tab.3 Test parameters

Pb=0.45ρV2/(1.0+0.000 8ρ)=140.5 Mpa

(27)

(28)

(29)

(30)

即第三組試驗作用在襯砌上等效爆破荷載合力778 kN，考慮模型試驗的尺寸效應導致誤差，計算荷載選擇范圍在600 kN～800 kN。

進行如圖3荷載組合條件下地下圓形洞室襯砌瞬間最大動載的內力計算，對比上部動載的等效形式分別取均布荷載、曲線荷載、三角形荷載和集中荷載，集中荷載代表動載未經過地層衰減直接作用在襯砌的極端最值情況，對比不同荷載形式，討論結構內力響應產生的影響。

分別選擇圖3頂部與下部不同荷載形式組合計算，對比結果如表4～表9所示， 取θ=15°,α=45°，散點圖對比如圖6所示。

表4 第3組計算對比Tab.4 Calculation comparison of group 3

表5 第4組計算對比Tab.5 Calculation comparison of group 4

表6 第5組計算對比Tab.6 Calculation comparison of group 5

表7 第6組計算對比Tab.7 Calculation comparison of group6

表8 第31組計算對比Tab.8 Calculation comparison of group 31

表9 第34組計算對比Tab.9 Calculation comparison of group 34

圖6 試驗值及模型解的散點對比圖Fig.6 Comparison of the experimental results and the model solution

對比a①、b①、c①、d①可知：

(1) 上部荷載形式對測點1(上端)的彎矩影響明顯，離散范圍為50%～100%；因此荷載分布形式的對比非常必要。

(2) 各組結果特點表現出趨同性，測點1彎矩值a①

(3) 對比各組a①、b①組合各測點數據可知，當上部荷載形式由均布荷載轉換到曲線荷載形式時，各測點處的彎矩值均發生了很大變化，其規律是測點1、測點3(襯砌上下測點)彎矩值加大而測點2、測點4(襯砌兩側測點)彎矩值減小。

(4) 對比各組b①、c①、d①組合的測點2、測點3、測點4的數據可知，當上部荷載集中到一定程度之后，集中程度繼續加大對襯砌兩側和下部測點的影響很微弱(在1%以內)。

對比b①、b②可知：(1)下部荷載形式對測點1(下端)的彎矩影響很明顯，其差異為50%～90%；(2)對測點1、測點2、測點4，b①、b②差距均較大(10%～50%)，這說明下部地反力集中程度繼續加大只會明顯影響其作用范圍內的彎矩值，而對結構范圍外的其他點彎矩值影響較小。

在四組計算對比數據中，b②組合即上部三角形荷載下部外三角反力模型與試驗值既有較好符合度，又有一定安全儲備，比較而言此荷載組合下的模型最合理。將各組試驗中上部三角形荷載下部外三角反力模型的內力計算結果(彎矩、剪力、軸力)的對比見圖7。

圖7 彎矩、剪力、軸力結果對比示意圖Fig.7 Comparison of the results of bending moment, shear force and axial force

初步驗證第三組試驗中襯砌安全性的理論計算結果，選取三角形等效荷載的計算結果進行驗證，計算彎矩最大值為367.2 kN·m，位置為S1測點，此處軸力為247.8 kN。

根據偏心受壓構件最大壓應力

(31)

將試驗參數與計算結果代入可得

(32)

未超過混凝土彈性極限壓應變0.002，可認為襯砌結構處于安全狀態。

試驗結果壓應變為

ε=(0.000 706+0.000 05)×1.4=0.001 06<0.002，認為結構處于安全狀態。

2.2 氣壓動載的模型試驗對比

考慮氣壓動載的模擬，試驗模型箱設計如圖8(a)所示[11]，氣管位于模型的左、下、右三個方向，將氣壓等效成三角形荷載，則氣壓和其導致的附加荷載如圖8(b)所示。上部均布荷載是為平衡下部氣壓地層所提供的反力。

(a) 試驗模型

(b) 氣壓等效荷載圖8 氣壓荷載圖Fig.8 Pressure load diagram

試驗氣壓釋放與回聚情況下氣壓荷載單獨作用導致結構附加彎矩與理論計算結果對比，如表10所示。

對比承受動載氣壓作用下地下圓形洞室襯砌附加彎矩的試驗值與計算值發現兩者符合度較高，精度在15%以內的點有四個，符合度最高的點精度達到95%。

對比結果發現動載下襯砌彎矩理論計算結果能較好符合試驗值，方法可為動載作用下的地下結構彎矩計算提供理論參考。

表10 氣壓動載結構的彎矩結果對比Tab.10 Bending moment comparison underthe impact load kN·m

2.3 微振試驗的數值模擬對比

使用MIDAS GTS對微振模型試驗的參數進行模擬驗證，計算出模型特征后進一步使用時程分析進行爆破荷載襯砌結構的響應模擬。

地層參數考慮爆沖荷載下結構響應的一般影響：地層密度直接影響動載在地層中的傳遞和衰減，密度越低土層越柔軟，動載衰減越顯著；爆沖位置距離襯砌結構的距離影響與土層密度類似，距離越遠沖載衰減速率越快。給出材料參數如表11和表12。

表11 黏性地層參數Tab.11 Parameters of cohesive soil layer

表12 炸藥參數Tab.12 Parameters of explosive

手動輸入爆破荷載函數進行MIDAS GTS動載的數值模擬。1.25 g炸藥的動壓力時程函數結果如圖9所示，2.5 g炸藥的取值翻倍。爆破荷載以面壓力形式施加在作用面上。

圖9 動壓力函數Fig.9 Dynamic pressure function

表13顯示爆破荷載下地下圓形洞室襯砌最大微應變模擬值與試驗值符合度很好，大部分測點差距在30%以內。數值模擬不僅對試驗結果做出驗證，同時為理論計算結果的正確性提供部分對比依據。動載地下圓形洞室襯砌的瞬間最大內力理論式計算結果與數值模擬結果具有較好適用性。

表13 測點彎曲微應變值對比Tab.13 Bending micro strain comparison ofthe measured point %

用地彈簧約束襯砌進行GTS等效靜載模擬驗證。理論式，模擬及試驗結果的對比如表14所示。三者對比發現符合度較好，大部分點差距在20%以內。進一步驗證了理論式計算結果的適用性。

表14 彎矩結果對比Tab.14 Comparison of bending moment kN·m

3 結 論

本文給出不同動載的等效荷載形式，以經典地下結構自由變形法為理論基礎，推導得到地下圓形襯砌動載等效簡易模型及內力極值解，給出一種地下圓形洞室襯砌結構承受動載的內力計算方法。通過多組模型試驗結果與數值模擬對比對襯砌結構動載下的最大內力及參數效應進行初步考察，得出如下結論：

(1) 動載的等效形式對計算結果影響較為顯著，可直接體現在其作用范圍內襯砌結構各點內力形態的分布特征上；對比曲線形和三角形兩種等效動載分布的作用形式可知，以模型試驗結果的符合度為標準，簡化三角形分布荷載形式更簡便可行，方便工程和設計應用。

(2) 動載導致地層附加荷載主要考慮地層反力和側向變形抗力兩部分，對比外三角形分布和均布兩種地層反力的等效作用方式發現：單側沖載情況外三角形分布方式從地層動應力集中度及與試驗結果的符合程度上都明顯高于均布荷載分布形式；側向變形抗力部分可參照日本三角形抗力法計算得到。

(3) 地下圓形襯砌動載等效簡易模型可給出各動載等效荷載的內力響應關系。同一非線性地層傳播條件下，沖載大小及地層參數直接影響襯砌內力響應，與實測結果的對比部分反證了模擬參數的正確性。

從理論公式推導、動載數值模擬及與微振試驗結果的三者對比發現，大部分應力測點的離散程度在20%以內，最大微應變模擬值與試驗值的離散度在30%以內；對比氣壓動載模型試驗結果與理論式發現，最接近測點的誤差可控制在2.3%。模型理論式、試驗數據及數值模擬可初步相互驗證。

綜上，對地下圓形襯砌動載等效簡易模型及內力極值解的應用效果進行了初步對比和考察。

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附錄A

Apseudo-staticequivalentmodelofimpactdynamicloadofundergroundcircularlininganditsinternalforceextremevaluesolution

GUO Xuan1,2, SUN Wenbo2, ZHANG Xiaoxin3, YUE Huanchuang2, MA Siyuan2

(1. Key Laboratory of Urban Underground Engineering of Ministry of Education, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China； 2. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China;3. China Construction Engineering Design Group Corporation Limited, Beijing 100037, China)

The theoretical formula of a pseudo-static equivalent model for impact dynamic load of underground circular lining and its internal force extreme value solution was given based on the conservation of energy in this paper. The equivalent load forms of different impact were discussed. The theoretical solution of the extreme value of the internal force of the model under transient impact load was derived based on the free deformation method. The internal force calculation formula under different equivalent forms of impact loads was obtained and calculation results were compared with results of the existing top blasting model test of circular tunnels. Preliminary validation of internal force and parameter efforts for circular lining under the blasting impact at the top of existing underground structure lining was compared with the model test results. It was found that the equivalent model of triangular load is the nearest style with the model test in the equivalent form of all kinds of blasting load. The conclusion is that the theoretical results agree with experimental values very well and the equivalent impact loads form of triangular is the most realistic in all equivalent forms. The proposed equivalent model of load and the extreme value of internal force formula are easy to be applied in engineering and design.

underground circular lining; impact dynamic load; pseudo-static equivalent method; maximum solution of internal force analysis

國家自然科學基金(51378051；51678038)；北京交通大學基本科研業務費(2017JBM083)；霍英東教育基金會(122009)；中國國家留學基金(201707095041)

2016-09-23 修改稿收到日期： 2017-01-11

郭璇 女，博士，副教授，博士生導師

E-mail: xguo@bjtu.edu.cn

TV554；U231

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.015

圖1 模型各等效動載-彎矩關系Fig.1 Model moment formula of impact equivalent force-moment

圖2 模型各等效動載-軸力關系Fig.2 Model moment formula of Impact equivalent force-axial force

圖3 模型各等效動載-剪力關系Fig.3 Model moment formula of Impact equivalent force-shear force