一道不定積分的解法與教學探討

劉國祥，劉 眾

（1.赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000；2.松山區職教中心，內蒙古 赤峰 024009）

一道不定積分的解法與教學探討

劉國祥1，劉 眾2

（1.赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000；2.松山區職教中心，內蒙古 赤峰 024009）

本文給出不定積分dx(a＞0）的幾種換元解法.并探討在教學中如何培養思維定式與創新意識.

不定積分；分部積分法；換元積分法；創新意識

1 積分的幾種換元解法

1.1 常規第二換元法

這是一種流行的常規解法，一般的文獻上都給出，例如礦爺[1]指出：

其中第二個積分中，我們設t=tanu,有

看似簡單的題目，運用常規（基本）方法，運算非常復雜.其中中間一部也可以這樣處理：設t=tanu.

1.2 先分母有理化，再三角換元法

這是一種典型的積分形式，運用三角變換：x=asint.

1.3 先分子有理化，再三角換元法

運用三角變換：x=asint.

以下與方法2完全一樣.

1.4 直接三角換元法

根據被積函數形式特點，嘗試直接換元，設x=acos2t.

1.5 湊微分法（第一換元法）

2 教學探討

綜觀給出的五種解法，都屬于換元積分法，其中有第一類換元法，也有第二類換元法.自然想到能不能用分部積分法？試一試.

沒有變簡單反而更復雜了，看來不用換元法行不通.

上邊給出的五種方法，第一種是多數教材和文獻上提供的常規解法，可以說是一種“定式”，按照陳文燈[2]的說法，“不管三七二十一”，這類題目都首先想到這種解法.我們也看到，這個方法運算最繁瑣.第二、第三解法其實是同一種，只有不同的是有理化分母與分子的區別.中學用到多的是分母有理化，而大學中更多的是分子有理化.轉化為被積函數含有式子的積分形式，采用變換x=asint,或者x=cost也成為常規.第四種換元方法是針對被積函數的特殊形式采取的，不具有一般性.被積函數式子稍有變化，可能就行不通.第五種方法最簡潔，直接用積分公式.幾種方法的結果形式不完全一樣，從容易看出2、3、5與4一致.至于1，通過求導數或者三角變換可以推得.

在課外輔導和考研輔導時，經常有學生問，這么多方法，那種是最好的.我對學生的回答是：對你來說，你想到的那種，你會使用的那種，就是最好的.學生很難把幾種方法都掌握，當然也沒有必要.但是對于這類常規的、經典的題型，至少要熟練一種解法.掌握那種呢？第一，你喜歡的；第二，常規的.不要過分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟才能生巧，不熟，“巧”，你也記不住.

作為教師，是不是每種方法都講解呢，當然不是.有的題目，人為地也不一定能夠羅列出多種解法，即使有，也不一定非得都講.但是，對于個別的典型的題目，偶爾不妨多種解法全講，精講.一是讓學生欣賞數學的美妙，提高興趣感到數學可愛，學習數學是一種享受；二是擴展學生眼界，“見多”才能“識廣”；三是讓學生進行比較選擇.無論怎么講授，常規解法一定要介紹.那么，問題來了，解法一是常規的，也是最復雜的，或許是學生最不喜歡的.其實，除方法四之外，上述每個解法都是常規的，經典的，只是教材上沒有提及.這體現了教師的水平與經驗，教師的價值和作用也就體現在這里.你講授的與教材上完全一樣，學生自學吧，用教師干啥.

現在最時髦的話是創新，解題方法有沒有創新呢，怎么創新呢？我們說，只有精通一門學問，充分認識了它的方法與規律，也就是說只有基本功扎實，才會有創新，創新從傳統知識與經驗積累中來.創新與創業最怕的是失敗，甚至有時我們失敗不起.解題創新從試驗中來（這里我更喜歡用《概率論與數理統計》中意思相同的的“試驗”一詞），數學創新不怕失敗，可以說失敗是損失最小的，只是一支筆一張紙.好多學生數學學不好的主要原因是解題少，動筆少.讓看書可以，就是不動筆.不動筆讀數學書，我至今也不會.

養成習慣，看到一個題目，書上的解法算一算，其它方法試一試，或許就有創新，就有新的收獲.

例如不定積分 ∫xarcsinxdx，一般的文獻上都強調，這是一種“定式”，先分部積分.解題過程發現還需要用第二類換元法.

其中用到換元x=sint.

試驗一下，能不能先換元呢？最難處理的是arcsinx，我們：

設 arctanx=t，則 x=sint

換元以后，成為常規的分部積分的“定式”.

這兩種解法，一般教材上介紹第一種，沒有提到第二種，學生得到，就是一個創新.

聯想：不定積分 ∫xlnxdx，“定式”解法是分部積分法，能不能先換元呢？試一試：

設 lnx=t，那么，x=e'，dx=e'dt則

由此，我們可以猜測，典型的幾類用分部積分的題型，都可以用換元積分法解決.如：被積函數是Pn(x)arcsinx,Pn(x)arccosx,Pn(x)arctanx,Pn(x)lnx等.

〔1〕蘇德礦，李錚，鐵軍.考研數學強化復習全書[M].北京:北京理工大學出版社，2016.91.

〔2〕陳文燈.考研數學復習指南[M].北京：世界圖書出版公司，2017.123-126.

〔3〕同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2011.8.

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