一類廣義螺旋解析函數的某些性質

周海燕，何 濤

（1.赤峰學院 數學與統計學院；2.赤峰學院 應用數學研究所，內蒙古 赤峰 024000）

一類廣義螺旋解析函數的某些性質

周海燕，何 濤

（1.赤峰學院 數學與統計學院；2.赤峰學院 應用數學研究所，內蒙古 赤峰 024000）

本文利用從屬關系定義了一類負系數的廣義螺旋解析函數P（β，A，B)，討論了該類中函數的系數估計,偏差定理,積分算子保持性和封閉定理等性質.

廣義螺旋解析函數；從屬關系；系數估計；偏差定理；封閉定理

1 引言

設C為復數集,D={z:|z|＜1}表示單位圓盤,令

A={f(z):f(z)在D內解析},

設f(z),g(z)在D內解析,如果存在D內解析函數ω(z),滿足 ω(0)=0,|ω(z)|＜1,使得 f(z)=g(ω(z))(z∈D),則稱 f(z)從屬于g(z),記為 f(z)?g(z)[1].

利用上述從屬關系,我們定義如下螺旋解析函數類:

則稱 f(z)∈P(β,A,B).

由定義1和從屬關系可知,f(z)∈P(β,A,B)當且僅當存在D內的解析函數w(z),滿足w(0)=0,|w(z)|＜1,使得

而由（2）式,我們不難得到

或

特別地，有P(0,A,B)=P(A,B)，P(0,1,-1)=S*（星象函數類）.

本文中,我們主要討論上述廣義螺旋解析函數類P(β,A,B)的系數估計、偏差定理、積分算子保持性、封閉定理等性質.

2 主要結果及其證明

證明 先證充分性.令|z|=1,則

而由（4）式,我們可得

于是,由最大模原理知,f(z)∈P(β,A,B).

其次,證明必要性.令

因為|Rez|≤|z|,對所有的z成立.所以我們有

消去上式分母,并令z→1-,即得

如果取函數

則能達到精確值.證畢.

推論 1 設-1≤B＜A≤1,-1≤B≤0,則函數f(z)∈P(A,B)當且僅當

定理 2 若 f(z)∈P(β,A,B),則對于 |z|=r(0≤r＜1),有

因此

綜上,有（5）式成立.

如果取函數

則能達到精確值.證畢.

推論 2 設 f(z)∈P(A,B),則對于 |z|=r(0≤r＜1)，有

知

而

再利用定理 1,即得 g(z)∈P(β,A,B).證畢.

定理 4 設c是實數且c＞-1,f(z)∈P(β,A,B)，則函數

因為 f(z)∈P(β,A,B)，所以

于是由定理 1,F(z)∈P(β,A,B).證畢.

推論 4 設c是實數且c＞-1,f(z)∈P(β,A,B),則函數

證明 設

則

因此由定理1可知,f(z)∈P(β,A,B).

另一方面,設 f(z)∈P(β,A,B),則由定理 1,有

令

證畢.

〔1〕湯獲,李書海,周海燕.線性算子與微分從屬和微分超從屬[M].科學出版社,2016.

O174.55

A

1673-260X（2017）10-0001-03

2017-08-13

國家自然科學基金項目(11561001)；內蒙古自然科學基金項目(2014MS0101)