海綿邊界的有效性驗證

■徐 偉 廖子謙

(同濟大學土木工程學院，上海 200092)

海綿邊界的有效性驗證

■徐 偉 廖子謙

(同濟大學土木工程學院，上海 200092)

動力時程分析能夠綜合考慮土體和結構幾何和非線性特性，是地下結構抗震研究中一種重要方法，人工邊界是動力時程分析需要重點考慮的問題之一。利用有限元對海綿邊界的有效性進行了驗證性分析，結果表明地震波在模型與海綿邊界的界面會發生反射，影響海綿邊界的有效性。對人工邊界的合理使用給出了建議。

海綿邊界 動力時程

1 引言

2014年，我國頒布了《城市軌道交通結構抗震設計規范》[1]，體現了國家對地下結構抗震設防的日益重視。地下結構抗震研究方法主要包括理論解析、數值模擬和振動臺試驗等，其中數值模擬能夠綜合考慮土體和結構幾何和非線性特性，是當前研究的主要方法之一。動力模擬與靜力分析最大的區別在于需要設置人工邊界，以避免地震波在邊界的反射對分析區域產生干擾。

Varun[2]在沉井動力計算時發現將土體計算范圍取10D(D為沉井平面最大尺寸)時，才能將邊界截斷誤差降到5%以下，為減小數值分析計算規模，提出了海綿邊界(Sponge Boundary)的人工邊界處理方法。海綿邊界的主要思想是通過提高截斷模型邊界一定范圍內土體的阻尼，來避免截斷邊界反射波對分析主體產生影響，文獻[2]采用了這一方法。有類似思想的模擬可見[3-5]。本文通過在截斷模型邊界取部分模型不同程度提高阻尼比，與標準模型結果對比，驗證海綿邊界的有效性，討論人工邊界的合理使用問題。

2 有限元分析模型

為簡化模型，取單層土模型計算，深度取70m。隧道截面尺寸內徑5.5m，外徑6.2m，埋深20m，計算參數見表1。土體阻尼比取0.05，采用Rayleigh阻尼，取土體前兩階頻率計算阻尼參數，土體計算參數見表2。

表1 襯砌計算參數

表2 土層計算參數

土體采用四節點平面應變單元，襯砌采用梁單元。采用海綿邊界的模型側面土體寬度取5D，即30m，模型尺寸為60m×70m，見圖1。三種計算工況分別為：不改變阻尼比，即仍采用5%的阻尼比；將邊界1D范圍內的阻尼比設為10%和15%，即Rayleigh阻尼系數為α=0.461086，β=0.021683 和 α=0.922172，β=0.043367。 標準模型側面土體寬度取約15D，即100m，模型尺寸為200m×70m，見圖2。

圖1 海綿邊界計算模型

圖2 標準計算模型

地震動記錄選用EI Centro波，時程及頻譜如圖3所示，截取前10s。加速度時程在70m深處輸入，只考慮水平向。

圖3 輸入地震動記錄

模擬荷載步包括地應力平衡和動力分析兩步，動力分析步約束模型側邊和底部豎向位移，水平向地震動記錄加速度時程由模型底部輸入。最大單元尺寸取1m，滿足最大單元尺寸=3m要求，計算時步取0.01s，滿足最大時步=0.01s要求。

3 有限元分析結果

3.1 內力結果

選取標準計算模型，輸出隧道襯砌的軸力、剪力和彎矩包絡圖如圖4～6所示，可以明顯看出與其他分析結果形狀相似[6]，驗證了本文標準模型的正確性。

圖4 襯砌軸力包絡圖

圖5 襯砌剪力包絡圖

圖6 襯砌彎矩包絡圖

3.2 加速度時程對比

對比隧道左側和底部土體節點加速度時程結果如圖7～8所示。由圖可以看出，當不增加邊界阻尼，即邊界1D范圍內土體阻尼比仍取5%(與標準模型相同)時，參考點處加速度時程與標準解相同。當增大邊界1D范圍內土體阻尼比時，誤差反而隨著阻尼比增大而增大，與設置海綿邊界的初衷背道而馳。

4 分析與討論

本文分析結果與文獻[1]結果相反，并不是海綿邊界的方法有錯，而是合理的邊界阻尼比才能起到海綿邊界的效果。本文側邊界阻尼比設置過大，與中間土體性質相差太大，使得地震波在土體與邊界的界面發生反射，相比于不設置海綿邊界，反而增大了模型截斷誤差。

圖7 隧道左側土體不同邊界模型結果對比

圖8 隧道底部土體不同邊界模型結果對比

側邊土體截斷寬度取15D和5D結果相同，說明計算模型中土體設置一定阻尼后，能夠有效降低對截斷邊界范圍的要求。合理推測，土體阻尼比越大，側邊土體截斷寬度要求更小。實際土體阻尼比選取應結合Shake91或參照采用土體精細本構模型的模擬結果確定。

通常而言，側邊土體截斷寬度取10D以上才能有效降低邊界截斷誤差，帶來的計算量龐大，人工邊界是有效降低計算規模的方法。海綿邊界是一種有效的人工邊界形式，相比于常用的粘彈性邊界和無限元邊界，既避免了粘彈性邊界逐個節點設置阻尼和彈簧的繁瑣，又避免了無限元邊界不能耗散平行邊界入射地震波的不足。結合本文分析結果，海綿邊界的使用應注意兩點：①應該以一定側邊土體寬度為前提，避免海綿邊界與土體界面的反射波對分析主體產生影響；②海綿邊界應該漸次梯度設置，避免界面兩側土體性質差別太大，產生明顯反射波，影響分析主要區域。合理的設置方案應針對具體的分析模型進行對比優化確定。

[1]中華人民民共和國住房和城鄉建設部.城市軌道交通結構抗震設計規范[M].中國計劃出版社，2014.

[2]Varun，AssimakiD，Gazetas G.A simplified modelfor lateral response of large diameter caisson foundations—Linearelastic formulation[J].Soil Dynamics&Earthquake Engineering.2009，29(2)：268-291.

[3]Zhuang H，Hu Z，Wang X，et al.Seismic responses of a large underground structure in liquefied soils by FEM numerical modelling[J].Bulletin of Earthquake Engineering.2015，13(12)：3645-3668.

[4]谷音，劉晶波，杜義欣.三維一致粘彈性人工邊界及等效粘彈性邊界單元[J].工程力學，2007(12)：31-37.

[5]劉晶波，谷音，杜義欣.一致粘彈性人工邊界及粘彈性邊界單元[J].巖土工程學報，2006(09)：1070-1075.

[6]Sedarat H，Kozak A，Hashash Y M A，et al.Contact interface in seismic analysis of circular tunnels[J].Tunnelling and Underground Space Technology.2009，24(4)：482-490.