基于多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合的龍泉青瓷作品性態(tài)分析
——以作品《有容乃大》為例

洪濤清，盧曉忠

（麗水學(xué)院 工學(xué)院，浙江麗水 323000）

基于多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合的龍泉青瓷作品性態(tài)分析
——以作品《有容乃大》為例

洪濤清，盧曉忠

（麗水學(xué)院 工學(xué)院，浙江麗水 323000）

基于數(shù)學(xué)與藝術(shù)相結(jié)合的理念，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對(duì)青瓷作品《有容乃大》的造型設(shè)計(jì)進(jìn)行理性分析。首先，運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件對(duì)作品進(jìn)行數(shù)據(jù)提取；然后，通過(guò)曲線(xiàn)擬合給出曲線(xiàn)的多項(xiàng)式高次方程；最后，進(jìn)行曲線(xiàn)的性態(tài)分析。擬以此來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)美在藝術(shù)設(shè)計(jì)中的重要應(yīng)用。

龍泉青瓷；《有容乃大》；曲線(xiàn)擬合；性態(tài)分析

將藝術(shù)創(chuàng)作與科學(xué)理性分析相結(jié)合是近年藝術(shù)研究和工業(yè)生產(chǎn)的新方向。數(shù)學(xué)與藝術(shù)的最大關(guān)聯(lián)，在于它們都需要人類(lèi)的思維靈感和豐富的想象力[1]。藝術(shù)詮釋了數(shù)學(xué)內(nèi)涵，使數(shù)學(xué)變得通俗易懂；數(shù)學(xué)開(kāi)拓了藝術(shù)蘊(yùn)涵，開(kāi)創(chuàng)了藝術(shù)的新方法，使藝術(shù)變得豐富多彩且意味深長(zhǎng)。數(shù)學(xué)元素與龍泉青瓷協(xié)同創(chuàng)新研究就是試圖將數(shù)學(xué)方法廣泛應(yīng)用于龍泉青瓷產(chǎn)品的藝術(shù)設(shè)計(jì)分析與研究。

《有容乃大》青瓷作品（如圖1）是麗水學(xué)院張建平教授2016年的傾力之作，是麗水學(xué)院服務(wù)地方促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的成功范例，也是浙江省龍泉青瓷協(xié)同創(chuàng)新中心的標(biāo)志性成果。我們選取《有容乃大》作為數(shù)學(xué)元素分析的案例，進(jìn)行曲線(xiàn)化數(shù)據(jù)提取并用多項(xiàng)式擬合出方程。最后對(duì)曲線(xiàn)方程進(jìn)行性態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美在藝術(shù)設(shè)計(jì)中的重要應(yīng)用。

圖1 《有容乃大》照片

圖2 《有容乃大》數(shù)字結(jié)構(gòu)圖

1 數(shù)據(jù)的提取

《有容乃大》首批上市交易作品共120件，申購(gòu)當(dāng)天入金13億人民幣。在上市之前，我們從中挑選了目測(cè)最為完美的一件，先利用三維掃描技術(shù)做出瓶體的數(shù)字結(jié)構(gòu)圖，如圖2。然后，進(jìn)一步提取出輪廓線(xiàn)（瓶體的生成曲線(xiàn)）的相關(guān)尺寸，表1給出了擬合曲線(xiàn)取點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，我們將對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。

表1擬合曲線(xiàn)取點(diǎn)坐標(biāo)表

利用上述數(shù)據(jù)，我們進(jìn)行了共計(jì)26種函數(shù)類(lèi)型的擬合。我們?cè)噲D對(duì)整條曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)在瓶子頸部這里誤差較大，故對(duì)曲線(xiàn)采取了分段擬合的策略。為便于在坐標(biāo)系中處理，我們將數(shù)據(jù)縮小為原來(lái)的1/3并進(jìn)行了轉(zhuǎn)置處理，如圖3所示。

圖3 擬合曲線(xiàn)取點(diǎn)圖

擬合情況比較理想的方法有多項(xiàng)式擬合、Hoerl擬合等[2]，圖4給出了最為理想的多項(xiàng)式擬合曲線(xiàn)的情況。我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系里繪出掃描結(jié)構(gòu)圖和上面擬合出的函數(shù)圖像，曲線(xiàn)V2AE為8階多項(xiàng)式圖像，曲線(xiàn)EBV1為4階多項(xiàng)式圖像。

圖4 擬合后的曲線(xiàn)圖

可以直觀地看出，擬合曲線(xiàn)和原瓶的輪廓線(xiàn)幾乎完美吻合，分段曲線(xiàn)擬合比采用單一曲線(xiàn)擬合更為精確。表2給出上述擬合結(jié)果的多項(xiàng)式解析表達(dá)式。

表2 分段曲線(xiàn)的多項(xiàng)式擬合解析表達(dá)式

2 數(shù)據(jù)的分析

藝術(shù)的美往往來(lái)自于一種直覺(jué)，而通過(guò)數(shù)據(jù)分析可以讓我們進(jìn)一步明白這種美緣于何處。下面，我們對(duì)《有容乃大》青瓷作品的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

經(jīng)計(jì)算，曲線(xiàn)V2AE的方程為f（x）=a+bx+cx2+dx3+…+ix8，曲線(xiàn)EBV1方程為g（x）=a0+b0x+c0x2+d0x3+e0x4，函數(shù)解析式中各系數(shù)參看表2。利用導(dǎo)數(shù)工具，易求得腰部最高點(diǎn)A和頸部最低點(diǎn)B（曲線(xiàn)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)）的位置分別在xA=7.125 22和xB=14.828 28，瓶身和瓶頸的分界點(diǎn)E（曲線(xiàn)拐點(diǎn)）在xE=13.652 90。

2.1 曲線(xiàn)性態(tài)分析

2.1.1 連續(xù)性與光滑性分析

由于分段曲線(xiàn)都是多項(xiàng)式，而且在分界點(diǎn)E處有

所以，瓶體的生成曲線(xiàn)處處連續(xù)。其次，還有

可見(jiàn)，瓶體的生成曲線(xiàn)處處光滑。龍泉青瓷以其溫潤(rùn)如玉的釉色而聞名天下[3]，光滑曲線(xiàn)與光滑曲面是這一特色的前提保障。

2.1.2 單調(diào)性與凹凸性分析

由f'（x）=0，g'（x）=0得極值點(diǎn)xA=7.125 22和xB=14.928 28，加之分段曲線(xiàn)分界點(diǎn)xE=13.652 90。通過(guò)計(jì)算，得

當(dāng)x≤xA或x≥xB時(shí)，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，曲線(xiàn)單調(diào)遞增；

當(dāng)xA≤xB≤xE或xE≤x≤xB時(shí)，有f'（x）＜0，g'（x）＜0，曲線(xiàn)單調(diào)遞減；

當(dāng) x≤xE時(shí)，f"（x）＜0曲線(xiàn)呈現(xiàn)凸性；當(dāng) x≥xE時(shí)，g"（x）＜0 曲線(xiàn)呈現(xiàn)凹性。

顯然，xE=13.652 90為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。正是因?yàn)榍€(xiàn)的單調(diào)性與凹凸性形成了《有容乃大》青瓷作品婀娜多姿的完美造型。

2.2 比例關(guān)系

另外，易求得下列比例關(guān)系：

腰最胖點(diǎn)近似于瓶體的黃金分割點(diǎn)附近，而黃金分割是美學(xué)中非常重要的一條原則。腰最胖點(diǎn)近似位于瓶身的中點(diǎn)，具有一種對(duì)稱(chēng)美。

理性的數(shù)據(jù)分析，讓我們看到了《有容乃大》瓶身主體部分“大”得有理，美得自然。極大值點(diǎn)體現(xiàn)了容量大的特點(diǎn)，黃金分割點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)性都體現(xiàn)了自然之美。通過(guò)數(shù)據(jù)分析，我們很好地誆釋了《有容乃大》的文化特點(diǎn)。

2.3 曲率圖像

我們進(jìn)一步算出兩條曲線(xiàn)的曲率函數(shù)，并繪制出其函數(shù)圖像，如圖5所示。不難看出，曲線(xiàn)V2AE的曲率變化非常小，近似為一水平直線(xiàn)，基本符合圓弧的特點(diǎn)，而曲線(xiàn)EBV1的曲率明顯具有對(duì)稱(chēng)變化這一特點(diǎn)，基本符合拋物線(xiàn)的形態(tài)。圓弧線(xiàn)與拋物線(xiàn)成為了藝術(shù)家眼中所青睞的常用曲線(xiàn)。

圖5 擬合曲線(xiàn)的曲率圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用數(shù)學(xué)工具對(duì)龍泉青瓷作品《有容乃大》進(jìn)行數(shù)據(jù)分析并發(fā)現(xiàn)美的初步研究，著重點(diǎn)在于曲線(xiàn)分析。后期將從曲面角度進(jìn)一步分析，提出一些改進(jìn)措施。根據(jù)改進(jìn)的數(shù)據(jù)，我們擬利用3D打印技術(shù)來(lái)制作《新有容乃大》作品。

［1］袁震東，林磊.數(shù)學(xué)與藝術(shù)：無(wú)窮的碎片［M］.上海:上海教育出版社，2006：8.

［2］盧曉忠，洪濤清，吳新偉.從“玉壺春”看科學(xué)數(shù)據(jù)與藝術(shù)設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)陶瓷（藝術(shù)版），2016（4）：149.

［3］張建平，李巖.近年來(lái)古代龍泉青瓷研究綜述［J］.古陶瓷研究，2010（8）：74.

An Analysis on Curves of Works of Longquan Celadon Art Using Polynomial Curve Fitting Based on The Case of Yourongnaida

HONGTaoqing，LUXiaozhong
（FacultyofEngineering，Lishui University，Lishui 323000，Zhejiang）

Based on the principle of bounding mathematics and arts，this paper analyzes a work of Longquan celadon named Yourongnaida.First，we extract data through the computer software.Then we find out the higher order polynomial by curve fitting.Finally，we analyze its properties that illustrate the important applications of mathematical beauty in art design.

Longquan celadon；Yourongnaida；curve fitting；property analysis

10.3969/j.issn.2095-3801.2017.05.006

O182

A

2095-3801（2017）05-0036-06

2017-03-23；

2017-05-17

龍泉青瓷協(xié)同創(chuàng)新中心項(xiàng)目“數(shù)學(xué)元素與龍泉青瓷協(xié)同創(chuàng)新研究”（PY2016QCXT04）

洪濤清，女，浙江縉云人，副教授，碩士。