RN上一類擬線性橢圓方程解的存在性

李桃桃，沈自飛

（浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華321004）

RN上一類擬線性橢圓方程解的存在性

李桃桃，沈自飛

（浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華321004）

研究一類擬線性橢圓方程

擬線性橢圓方程；擾動法；山路引理；正負解

0 引言

近年來，許多學者一直專注研究擬線性橢圓方程各種解的存在性問題，關于這類問題已經建立了一系列理論，如變量替換法、極小化約束法、Nehari流形法、擾動法，詳細內容可參見文獻［1-6］及其所附的參考文獻。

在文［5］中，劉嘉荃等應用擾動法研究了方程

解的存在性問題，并證明了當f及ai，j滿足適當的條件時，方程（1）存在正解、負解及一列變號解。其中，任意的φ∈C∞0（Ω），Ω是RN中具有光滑邊界的有界區域，f：RN×R→R是超線性的且關于u次臨界增長。

本文將考慮下列方程

方程（2）中函數 f和 ai，j滿足下列條件：

由于沒有一個合適的空間使得方程（2）對應的泛函I既有光滑性又滿足一定的緊性，為了克服這個困難，我們采用文［6］的方法，解決了泛函在無界區域上緊性的缺失。取 μ∈（0，1]，＜s＜min｛ 4，N ｝，我們考慮擾動問題通過尋找u∈X：=W1，（sRN）IH1V（RN）使得

1 引理

2 定理1的證明

其中 u±=max（±u，0）。類似于引理 3，我們也可以證明 Iμ+也滿足（PS）條件。由（f1）有

由山路引理可知，存在 0≤uμ∈X 使得 I+μ（uμ）=cμ。再由強極值原理可知 uμ是 Iμ的正臨界點。從而有：

引理 4 存在常數 m1和 m2及 Iμ的正臨界點 uμ使得 m1≤Iμ（un）≤m2。

定理1的證明 由引理4可知，存在常數m1和m2及Iμ的正臨界點uμ使得m1≤Iμ（un）≤m2。由引理2 可知，存在 un→0 及 I的臨界點 u∈H1（RN）I L∞（RN）使得 uμn→u 在 H1（RN）中，uμnuμn→uu 在 L2（RN）中，且 Iμ（n（Iu）。因此，u是I的臨界點，即u是I的正解。類似地，我們可以證明方程（2）存在一個負解。

［1］COLINM，JEANJEANL.Solutions for a quasilinear Schr dinger Equation：a dual approach［J］.Nonlinear Anal，2004，56（2）：213.

［2］ZOUWM.Variant fountain and their applications［J］.Manuscripta Math，2001，104（3）：343.

［3］LIUJ Q，LIUYQ，WANGZQ.Quasilinear elliptic equations via perturbation method［J］.Proc Amer Math Soc，2013，141（1）：253.

［4］LIUJ Q，LIUYQ，WANGZQ.WANG，Quasilinear elliptic equations with critical growth via perturbation method［J］.J Differ-etial Equations，2013，254（1）：102.

［5］LIU J Q，LIU X Q，WANG Z Q.Multiple sing-changing solutions for quasilinear elliptic equations via perturbation method［J］.CommPartial Differential Equation，2014，39（12）：2216.

［6］LIU J Q，LIU X Q，WANG Z Q.Multiple solutions for quasilinear elliptic equations with a finite potential well［J］.J Differential Equation，2014，257（8）：2874.

The Existence of Solutions to a Quasi-liner Elliptic Equation in RN

LI Taotao，SHENZifei
（College ofMathematics，Physics and Information Engineering，ZhejiangNormal University，Jinhua 321004，Zhejiang）

In this paper，we consider the following quasi-liner elliptic equation whereN≥3has subcritical growth with respect to u.We prove the existence of positive solutions and negative solutions to the equation by using perturbation method and mountain pass theorem.

quasi-liner elliptic equation；perturbation method；mountain pass theorem；positive solution and negative solution

10.3969/j.issn.2095-3801.2017.05.003

O175.25

A

2095-3801（2017）05-0016-07

2017-03-06；

2017-05-02

國家自然科學基金資助項目“幾類非典型薛定諤方程的變分方法研究”（11671364）

李桃桃，女，安徽安慶人，碩士生。