灌溉輸配水系統明滿流的全隱式耦合模擬及驗證

劉錦濤，章少輝，許 迪，白美健，劉群昌

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灌溉輸配水系統明滿流的全隱式耦合模擬及驗證

劉錦濤1,2，章少輝1※，許 迪1，白美健1，劉群昌1

（1. 中國水利水電科學研究院流域水循環模擬與調控國家重點實驗室，北京 100038； 2. 中國農業大學水利與土木工程學院，北京100083）

準確合理地模擬具有自由表面的渠/管道明流和具有壓力的管道滿流運動過程，是設計、評價和管理灌區輸配水系統的基礎。為此，該文基于Preissmann窄縫法的概念，采用Saint-Venant方程組描述灌溉輸配水系統的明滿流過程，在交錯空間離散單元格上，建立了基于全隱式標量耗散有限體積法的明滿流耦合模擬模型。借助標準的室內物理模型觀測數據和石家莊冶河灌區山尹村試驗站野外原型觀測數據，對模型的模擬效果進行了驗證。結果表明，與基于顯式向量耗散有限體積法建立的模型相比，該文建立的明滿流耦合模擬模型具有類似的模擬精度，但水量平衡誤差在室內和野外試驗條件下僅為前者的13%和1.2%，且計算效率提高了約5.2倍；與基于四點偏心有限差分法建立的模型相比，模擬精度顯著提高，水量平衡誤差在室內和野外試驗條件下僅為前者的7.6%和0.6%，且效率提高了1.3倍，故該文建立的模型有效克服了已有模型無法統一模擬精度和效率的缺陷，更適于實際工程問題，為灌區輸配水系統的設計優化和管理評價提供了數值模擬方法。

灌溉；輸水系統; 有限差分法；明滿流；全隱式；耦合；模擬

0 前 言

灌溉輸配水系統由渠道和管道構成，準確合理地模擬該系統中的水流運動過程，是設計、評價和管理灌區輸配水過程的基礎[1-4]。在該系統中，渠道水流呈現出具有自由表面的無壓流，管道水流則同時呈現出具有自由表面的無壓流和滿管的有壓流，這種有壓-無壓交替變化的明滿流運動過程[5-7]，導致數值模擬困難，是輸配水系統水動力學模擬的難題[8-18]。

為了采用Saint-Venant方程組統一地描述輸配水系統中的明滿流過程，Preissmann提出了窄縫法（稱之為Preissmann窄縫法）[5-6]。在此基礎上，構建了四點偏心有限差分法，在輸配水系統的明滿流過程模擬中獲得了極為廣泛的應用[18-24]。然而，無壓流中的重力擴散波和有壓流中的管道彈性波傳播速度巨大的差異，導致2種不同流態的穩定性條件對時間步長限制的顯著不同，致使明滿流的耦合模擬過程復雜且效率較低[5,13]。另外四點偏心有限差分法的質量守恒性較差[25]，而基于差分和插值概念的特征線法，在明滿流耦合模擬過程中表現出了類似的缺陷[13]。為此，學者們把在地表淺水流模擬中已被廣泛應用的顯式向量耗散有限體積法推廣至明滿流的耦合模擬中[13]，表現出了極高的精度，但其顯式和向量耗散特征導致效率極低[25-28]，成為阻礙其推廣至工程實際應用的主要障礙。

本文基于Preissmann窄縫法原理，采用Saint-Venant方程組描述灌溉輸配水系統的明滿流過程，在交錯空間離散單元格上，建立基于全隱式標量耗散有限體積法的明滿流耦合模擬模型，以克服四點偏心有限差分法精度較低和顯式向量耗散有限體積法效率低的缺陷，達到明滿流耦合模擬同時具備高精度和高效率的目的。借助標準的室內物理模型觀測數據和石家莊冶河灌區山尹村試驗站野外原型觀測數據，通過與顯式向量耗散有限體積法及四點偏心有限差分法的模擬結果進行對比，驗證基于全隱式標量耗散有限體積法的明滿流耦合模擬模型的模擬效果。

1 控制方程

渠道中的水流是具有自由表面的無壓流，常采用Saint-Venant方程組描述[5]。管道中的水流則呈現出無壓流和滿管的有壓流交替變化的狀態，而有壓流需考慮管材及水流的可壓縮性[6]。為此，Preissmann提出了窄縫法（簡稱Preissmann窄縫法）[7]，以統一描述無壓和有壓流（圖1）。

注：B是管道頂端水面寬度，m。下同。

由圖1可直觀地看出，Preissmann窄縫法把有壓和無壓流看作一種具有特殊橫斷面的渠道水流運動過程。故可采用守恒型Saint-Venant方程組統一地描述明滿流運動過程，包括質量守恒方程式（1）和動量守恒方程式（2）[7]：

式中為時間坐標，s；為空間坐標，m；為過流斷面面積，m2；為通過任意斷面的過流量，m3/s；為通過任意斷面的流速，m/s；=z+為渠/管道內的水位（自由水位或測壓管水頭）相對高程，且z為渠/管底相對高程，為渠/管內的水深，m；為重力加速度，m/s2；為水力半徑，m；為曼寧糙率系數，s/m1/3。

如圖1所示，管道水流處于滿管狀態時，假設管道上端存在一個極窄的水面寬度，以此模擬有壓流動。為模擬不同管徑與管材下的有壓流，圖1b中的按下式計算：

式中為管道彈性波速，m/s。

2 渠/管道橫斷面幾何參數

數值求解式（1）和式（2）之前，需首先給定渠/管道的橫斷面幾何參數。由于本文的驗證部分僅涉及矩形和圓形斷面，故僅給出這2種橫斷面幾何參數，其他諸如U型和梯形等橫斷面幾何參數，可在相關著作中找到[29]。

2.1 矩形橫斷面

圖2給出了矩形橫斷面示意圖及其參數表達。依據該圖，可獲得過流斷面面積、濕周和之間的關系式表達如下：

式中為濕周，m。

注：h為管道水深，m。下同。

2.2 圓形橫斷面

圖3給出了圓形斷面的幾何參數，依據該圖，可直接把、和之間的關系表達為[30]：

當<時，

當<2時，

基于上述矩形和圓形各水力關系式，可直接依據公式=/計算出水力半徑。

注：R為管道半徑m；a為水面線相對于管道橫斷面圓心的夾角，(°)。

3 數值解法

在空間離散單元格中心處，定義過流斷面面積和與其相關的變量（、、）；在空間離散單元格邊界上，定義流量和流速，此即交錯空間離散單元格的概念。若涉及任意空間離散單元格中心處的流速，按照(u-1/2+u+1/2)/2計算，若涉及任意空間離散單元格邊界（+1/2）上的過流斷面面積A+1/2，則按照(A+A+1)/2計算，其他變量的獲取方式以此類推。

基于此，在空間離散單元格及其邊界上，采用標量耗散有限體積法分別對式（1）和式（2）各項進行空間離散，并利用全隱時間格式對控制方程式（1）和式（2）的空間離散表達式進行時間離散，在實現無條件穩定數值求解的基礎上，達到對輸配水系統中有壓和無壓流（明滿流）過程耦合模擬的目的。

3.1 空間離散

借助流量與過流斷面面積之間的關系式=×，基于有限體積法的基本概念，在任意空間單元格和單元格邊界（+1/2）上，分別對式（1）和式（2）進行空間積分平均如下[25]：

式中Dx=x+1/2-x-1/2，m；Dx+1/2=x+1-x，m。

式（15）中的第1項被空間離散如下：

式（15）中的第2項被空間離散如下：

采用標量耗散有限體積法對式（18）中的(×)+1/2進行空間離散如下：

式中c+1/2=(×A+1/2/B+1/2)1/2是單元格邊界處非滿管無壓流的重力波速或滿管有壓流的管道彈性波速，m/s；Fr+1/2=u+1/2/c+1/2是單元格邊界(+1/2)處的傅汝德數。

式（19）中的c+1/2和Fr+1/2被定義如下[31]：

式中和+1是傅汝德數分裂函數，被定義如下：

通過把式（19）中的下標(+1/2)變換成(-1/2)，可獲得(×)-1/2的空間離散表達式。把這2個表達式及式（17）代入式（15），經過合并同類項后，即可獲得質量守恒方程式（1）的空間離散式：

式中、和分別是與單元格(+1)、和(-1)相關的系數，分別表達如下：

式（17）中的第1項被空間離散如下：

式（17）中的第2項被空間離散如下：

采用標量耗散有限體積法對式（29）中的(×)+1進行空間離散如下：

通過比較式（30）與式（19）可以看出，兩者的離散方式在形式上完全相同，差異僅在變量（和）及下標。故通過變化式（20）~式（23）的下標，即可獲得式（30）中c+1和Fr+1的定義式。同理可獲得式（29）中(×)-1的空間離散式。

式（16）中的第3項被空間離散如下：

式中A是由初始水深假設（詳見“穩定性條件和初始及邊界條件”）計算獲得初始過流斷面。

式（16）中的第4項被空間離散如下，

通過把以上各空間離散式代入式（16），即可獲得動量守恒方程式（2）的空間離散式如下：

式中+1/2、+1/2、+1/2和+1/2分別是與單元格邊界(+3/2)、(+1/2)和(-1/2)相關的系數，分別表達如下：

3.2 時間離散

采用全隱時間格式，對質量守恒方程和動量守恒方程的空間離散式（25）及式（34）分別離散如下：

式中n為真實時間迭代步；D為真實時間離散步長，s。

Saint-Venant方程組的雙曲型數學屬性，使其時空離散式（38）和式（39）難以無條件收斂[31]，為此，采用雙時間步法對這2個時空離散式進行處理如下[32-33]：

式中為虛擬時間迭代步；D為虛擬時間離散步長，s。

從式（40）和式（41）可以看出，若虛擬時間迭代步收斂，這2個表達式左側第1項都將趨于0，式（40）和式（41）即是標準的皮卡迭代式。然而恰恰是這2個虛擬時間項，使得式（40）和式（41）能以絕對收斂的形式達到無條件穩定模擬的目的，這是皮卡迭代方法不具備的優點。為明確這一點，通過對式（40）和式（41）進行合并同類項處理后，獲得如下2個待解式：

式中和+1/2分別是與單元格及其邊界（+1/2）相關的時空步長比值，=D/Dx，+1/2=D/Dx+1/2；是真實時間步長和虛擬時間步長的比值D/Dt。

3.3 數值求解

通過動態判斷渠/管道內的水流態并設置適當的Dt，獲得適宜的值，可使式（42）和式（43）始終保持對角占優而達到絕對快速收斂，從而獲得無條件穩定性模擬的目的，這即是皮卡迭代方法不具備的功能。由于式（42）和式（43）的系數矩陣在數值模擬中能始終保持對角占優，故采用高斯-賽德爾迭代法[34]，即可高效解算該方程組，其收斂條件如下：

式中是預先設定的誤差值，下文取值10-5。

3.4 穩定條件和初始與邊界條件

待解式（42）和式（43）形成的代數方程組的系數矩陣能始終保持對角占優[11]，故該方程組的求解過程可實現無條件穩定收斂，這意味著時間離散步長D可依據實際物理問題而取任意值。

渠/管道內初始無水的零水深，是Saint-Venant方程組的奇點，故需假設初始水深值0=10-10m[31]。邊界條件包括入流、出流和無流3種條件，而空間交錯單元格的另一個優點是[35]，僅需對質量守恒方程時空離散式（42）在邊界處給定流量（入流量、出流量和零流量）條件，而無需再對動量守恒方程時空離散式（43）設置邊界條件。這可有效保證渠/管道有壓與無壓流耦合模擬過程中的水量平衡性，提高模擬精度。

4 模擬驗證

采用室內物理模型試驗和野外原型觀測試驗數據，并選取基于顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法建立的明滿流耦合模擬模型作為對比模型，對上述建立的模型進行模擬效果對比驗證。在下文驗證過程中，水量平衡誤差計算如下[31]：

式中in、out和domain分別是在模擬時段內流入、流出和駐留在渠/管道內的水量，m3。

4.1 室內物理模型觀測試驗驗證

本實例是一個國際標準算例[13]，試驗裝置見圖4。該試驗裝置的主體管道是一長度為10 m的封閉管道，橫斷面為矩形，高度為0.148 m，寬為0.51 m。曼寧糙率= 0.012 s/m1/3。初始流量為0= 0，初始水頭為0= 0.128 m。圖5是實測獲得的上下游邊界處水深隨時間的變化過程。在距離上游閘門3.5 m處設置測點，用于觀測該點的水深-壓力變化過程。

圖4 室內物理模型試驗裝置示意圖

圖5 室內物理模型試驗上下游水深演變過程實測值

在數值模擬過程中，3種解法（本文解法、顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法）的空間離散步長均取0.01 m，全隱式標量耗散有限體積法的時間步長取0.01 s（由于該解法無條件穩定，即沒有穩定性條件限制，故還可取其他值，但必須能分辨出滿管條件下水擊波動的運動過程），顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法的時間步長，則需滿足CFL穩定性條件（以Courant、Friedrichs和Lewy 3人的名字命名的時間格式穩定性必要條件[25]），即CFL數小于1（明滿流條件下滿足該穩定性的時間步長值遠小于0.01 s）。另外，全隱式標量耗散有限體積法和顯式向量耗散有限體積法的管道彈性波速取值60 m/s[13]，四點偏心有限差分法的管道彈性波速取值10 m/s[13]。

依據參數及初始與邊界條件，圖6給出了模擬值與實測值之間的對比。可以直觀地看出，基于全隱式標量耗散有限體積法和顯式向量耗散有限體積法建立的模型的模擬結果，均與實測數據之間具有良好的擬合度，兩者的水量平衡誤差分別為0.16%和1.2%，所耗用的計算時間分別為3.2和19.8 s（CPU i7-6700，WIN7），全隱式標量耗散有限體積法的水量平衡誤差僅為顯式向量耗散有限體積法的13%，計算效率提高了約5.2倍。四點偏心有限差分法的水量平衡誤差為2.1%，隱式標量耗散有限體積法水量平衡誤差值在野外試驗條件下僅為四點偏心有限差分法的7.6%。四點偏心有限差分法模擬結果與實測值之間的差異則較大，這與該解法無法再取更大的管道彈性波速值（否則模擬結果即失穩）密切相關[15]。與此同時，四點偏心有限差分法的計算耗時為7.4 s，本文提出的模型的計算效率比之提高了1.3倍。故在室內物理模型條件下，本文建立的模型達到了同時提高模擬精度和效率的目的。

4.2 野外原型觀測試驗驗證

該算例位于河北省石家莊冶河灌區山尹村試驗站。觀測試驗于2013年4月5日進行。觀測渠/管段長為混凝土材質，水平向長度為1018 m，垂向剖面參數見圖7。其中矩形斷面為方形，寬和高都為1 m，圓形斷面的直徑為1 m。在距離下游200 m的位置處，設置觀測點，用于觀測該點處的水深/水壓變化過程。從上游開始進水計時，上游入流量為0.08 m3/s。在計時開始后的30 min時打開下游閥門，40 min時關閉下游閥門，打開和關閉閥門的時間為13和15 s，按照線性方式打開和關閉閥門。

注：e為水量平衡誤差。下同。

圖7 野外原型試驗裝置示意圖

在數值模擬過程中，空間離散步長均取1 m，全隱式標量耗散有限體積法的時間步長取1 s，顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法的時間步長，則需滿足CFL穩定性條件，即CFL數小于1（該條件下的時間步長值遠小于1 s）。另外，全隱式標量耗散有限體積法和標量耗散有限體積法的管道彈性波速取值60 m/s[13]，四點偏心有限差分法的管道彈性波速取值10 m/s[13]。

圖8給出了全隱式標量耗散有限體積法、顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法的模擬結果與實測值結果之間的對比情況。從中可以看出，全隱式標量耗散有限體積法和顯式向量耗散有限體積法的模擬精度顯著高于四點偏心有限差分法。四點偏心有限差分法模擬精度較低的原因，是其取的管道彈性波速值較低密切相關，但該解法無法再取更大的管道彈性波速值，否則模擬結果將失穩。另外，全隱式標量耗散有限體積法、顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法的水量平衡誤差分別為0.016%、1.35%和2.68%，計算耗用時間分別為16.6、103.8和38.2 s（CPU i7-6700，WIN7），即與顯式向量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法相比，全隱式標量耗散有限體積法的計算效率分別提高了約5.2倍和1.3倍。全隱式標量耗散有限體積法水量平衡誤差值在野外試驗條件下僅為四點偏心有限差分法的0.6%。這表明，在野外原型觀測試驗條件下，本文建立的模型達到了同時提高模擬精度和效率的目的。

圖8 3種方法模擬實例2的計算結果與實測值之間的比較

5 結 論

本文基于Preissmann窄縫法的概念，采用Saint- Venant方程組描述灌溉輸配水系統的明滿流過程，在交錯空間離散單元格上，構造了該方程組描述明滿流時的全隱式標量耗散有限體積法時空離散式，借助高斯-賽德爾迭代法解算該時空離散式，建立了高效和高精度模擬灌溉輸配水系統明滿流的數值模擬模型。

借助標準的室內物理模型觀測數據和石家莊冶河灌區山尹村試驗站野外原型觀測數據，以基于顯式標量耗散有限體積法和四點偏心有限差分法建立的模型作為對比模型，對本文建立的模型的模擬效果進行了驗證。結果表明，與基于顯式向量耗散有限體積法相比，本文建立的明滿流耦合模擬模型具有類似的模擬精度，但在室內和野外試驗條件下僅為前者的13%和1.2%，且計算效率提高了約5.2倍；與四點偏心有限差分法相比，模擬精度顯著提高，水量平衡誤差值在室內和野外試驗條件下僅為前者的7.6%和0.6%，故本文建立的模型有效克服了無法統一模擬精度和效率的缺陷，更適于實際工程問題，為灌區輸配水系統的設計優化和管理評價提供了數值模擬方法。

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Coupled simulation and validation with fully implicit time scheme for free-surface-pressurized water flow in pipe/channel

Liu Jintao1,2, Zhang Shaohui1※, Xu Di1, Bai Meijian1, Liu Qunchang1

(1., 100038;2.100083,)

In the irrigation water distribution system including pipe and cannel as well as control valve/gate, water flow presents both free surface and pressurized flows. Saint-Venant equations are often applied to discribe the free-surface-pressurized water flow in pipe/channel by means of Preissmann slot approach and then four-point implicit finite difference and vector-dissipation finite-volume approaches with explicit-time scheme are applied to simulation of unsteady flow in pipe/channel. However, it is very different for gravity diffusion wave in free-surface water flow and pipe elastic wave in pressure water flow, which induces different constraint on time step size, low computational efficiency and large water balance error in the modes based on these 2 numerical solutions. To solve these problems, Saint-Venant equations was applied to describe the free surface and pressure water flows in irrigation water distribution system, conjunctive with the Preissmann slot approach. Then a scalar-dissipation finite-volume scheme was developed to spatially discretize all terms of the governing equations. This scheme exhibited more simple expression and was more suitable to written computational code than the four-point implicit finite difference approach and vector-dissipation finite-volume approaches. On the basis of the spatial scheme, a fully implicit time scheme was implemented to temporally discretize all terms of the governing equations to result in a nonlinear algebraic equation system. To efficiently solve this nonlinear algebraic equation system, a dual time approach was introduced, which included real- and pseudo-time steps, to make a linearization. The advantage of the dual time approach was the existence of a ratio between real- and pseudo-time steps. The value of the ratio could be automatically adjusted according to the known pipe water flow conditions and then the coefficient matrix of the algebraic equation system could maintain diagonally dominant all the time. In such case, the absolute convergence could be achieved whether free surface or pressurized flow was in pipe according to numerical analysis theory. As a result, a fully coupled model of free-surface-pressure flow for irrigation water distribution system was proposed. A standard physical test, which strictly controlled the initial and boundary conditions under the indoor condition, was firstly applied to validate the performance of the proposed model. The validated results showed that the proposed model could well simulate the free surface and pressurized water flow processes, which was similar to vector-dissipation finite-volume approach and better than four-point implicit finite difference approach. Meanwhile, the water balance error of the proposed model was only 0.16%. By contrast, the error values of the models based on four-point implicit finite difference and vector-dissipation finite-volume approaches were 2.1% and 1.2%, respectively. The computational efficiency of the proposed model was 1.3 and 5.2 times higher than the existing 2 models. Furthermore, a field experiment was performed in Hebei Yehe irrigation area, April 5, 2013. On the basis of the field observed data, the proposed model still exhibited better performance than the 2 existing models. In details, the water balance error of the proposed model was only 0.016%, by contrast, 2.68% and 1.35% for the 2 existing models. The efficiency of the proposed model was still 1.3 and 5.2 times higher than the existing 2 models. Consequently, the proposed model overcomes the disadvantages of the existing models and is suitable to practical engineering, and provides a useful method for tool design, evaluation and management of water distribution system in irrigation area.

irrigation; water piping systems; finite difference method; free-surface-pressurized water flow; fully implicit time scheme; coupling; simulation

10.11975/j.issn.1002-6819.2017.19.016

S275; S11+.1

A

1002-6819(2017)-19-0124-07

2017-05-02

2017-08-10

國家科技支撐計劃課題（2015BAD24B01）

劉錦濤，山西沁源人，博士生，從事灌溉管網水動力學模擬與試驗分析研究。Email：ljtpenny@163.com

※通信作者：章少輝，河北石家莊人，高級工程師，博士，從事灌區水循環動力學耦合模擬與調控研究。Email：zhangsh@iwhr.com