STL三角形網格模型曲面特征邊的提取

汪俊輝 陳 興 鄧益民

(寧波大學機械工程與力學學院 浙江 寧波 315211)

STL三角形網格模型曲面特征邊的提取

汪俊輝 陳 興*鄧益民

(寧波大學機械工程與力學學院 浙江 寧波 315211)

針對STL網格模型曲面特征邊識別困難的問題，提出一種基于邊和面的特征邊提取方法。首先遍歷網格模型，自適應地獲取二面角閾值并根據該閾值識別顯性特征邊；然后利用最小二乘法估算曲面上頂點的平均曲率，由此計算出三角形面片的近似曲率，并利用相鄰三角形的曲率差值來判別其公共的隱性特征邊是否為特征邊，最后采用改進的斷點處特征邊提取算法形成完整的特征邊界。實驗結果表明該方法能夠有效地提取STL網格模型曲面網格的特征邊，具有很好的魯棒性。

STL模型 三角形網格 特征提取 二面角 平均曲率

0 引 言

特征邊能夠反映實體模型的輪廓特征，準確、高效地提取三角形網格模型的特征邊對文物碎片的匹配[1]、網格簡化[2]、曲面重構[3]以及網格分割[4]等具有重要意義。隨著CAD/CAM技術的快速發展，通過CAD軟件可輕易獲取具有表面三角形網格的STL實體模型，而STL模型運用于計算機輔助制造(CAM)、有限元分析、快速原型制造(RP)、注塑成型模流分析的首要前提條件是能夠準確地提取STL三角形網格模型的特征邊。因此，如何快速、準確地提取STL模型的特征邊是關鍵所在。

當今關于三角形網格特征邊的提取算法有很多，一般將其劃分為兩大類：1) 基于面的特征邊提取算法[5-8]，文獻[5]采用張量投票對三角形網格頂點進行分類，然后利用區域生長合并的遞歸算法實現特征線的提取，但對于三角形網格分布不均勻，尤其是含有較多狹長和面積近乎為零的三角形網格時，算法無法準確地識別特征點。文獻[6]在此基礎上提出了一種斷點連接的方法來保證頂點分類的正確性，能夠處理網格分布不均勻，以及含有狹長三角形的模型，但該算法僅對規則數據模型有效，無法識別位于過渡曲面處曲率漸變的特征點[7-8]。2) 基于邊的特征邊提取算法[9-22]。最初的方法是基于初等幾何的方法，如通過計算相鄰面的二面角閾值進行模型特征邊的提取，但該方法無法提取具有較小二面角的過渡曲面的特征邊[9]，文獻[10]給出了一種自適應獲取二面角閾值的方法，并結合相鄰三角形的周長比值來提取網格模型的特征邊，該算法僅適用于由簡單幾何體組合形成的復雜模型，對于自由曲面模型則易失效，尤其是含有過渡曲面的模型，會出現周長比值小于給定閾值的情形而導致這部分特征邊出現中斷現象。為了避免該現象發生，文獻[11]利用斷點處特征邊提取算法，較好地解決了特征邊中斷現象，但該算法僅適用于“環狀過渡邊界[12]”的提取，對于“帶狀過渡曲面邊界”提取易失效，并且由于文獻[10]并沒有給出判定冗余特征邊的算法，僅用二面角和周長比兩個判定條件并不能保證所有識別的邊均為特征邊。因此斷點處特征邊的提取效果的好壞取決于其特征邊提取的準確性。文獻[13]綜合利用二面角、邊角和頂點法向張量矩陣的特征向量等多個指標來識別特征點、特征邊和特征邊方向。文獻[14]在其基礎上，采用局部采樣追蹤算法，依據三角面-三角面的鄰接關系進行特征邊的檢測，但不能識別過渡曲面的特征邊。文獻[15] 則提出一種基于稀疏性優化的網格特征檢測算法，通過Laplacian光順前后的頂點距離作為度量來識別特征，能夠較好地識別過渡特征，但這種算法需要進行全局優化計算，效率較低。文獻[16]根據二面角以及相鄰三角形的面積比值來識別特征邊，該算法依賴于局部幾何特性，易識錯特征邊，需要進一步處理。近年來，一些學者發展了微分幾何方法，根據相鄰三角形的法矢夾角及采用二次曲面擬合得到的各網格頂點的主曲率，分兩次提取特征點，并利用三角頂點加權和均勻化等方法，減少狹長三角形對特征點提取的計算誤差影響，但該算法僅適用于一般的自由曲面，并且將無序的特征點連接成特征邊的過程中會產生中斷現象[17]。文獻[18]在此基礎上根據主成分分析法(PCA)識別出特征邊的主方向，從而實現了特征線的完整連接。文獻[19]利用網格頂點處的法向和曲率半徑等離散微分幾何工具給出了一個判別特征點的指標，但該判別指標僅適用于均勻的三角網格模型。文獻[20]在此基礎上改進了其特征點的識別指標，使其同樣適用于不均勻三角網格模型。而文獻[21]利用了二次曲面擬合得到的各網格頂點的平均曲率來提取特征點，然后采用追蹤投影法獲得了完整的特征線。文獻[22]則采用可展曲面擬合各個曲面網格，然后利用相鄰曲面的求交獲得了特征線，但該算法無法提取變半徑的過渡曲面的邊界線。

綜上所述，三角形網格特征邊的提取算法無論是基于邊的方法還是基于面的方法主要采用了二面角或者頂點處的曲率作為特征邊或特征點的判定條件，但都存在以下兩個問題：① 二面角閾值均為定值，雖能夠快速、準確地識別出某些簡單模型特征邊，不必采用耗時的曲率計算方法。但它無法識別平滑過渡邊界處的特征邊，并且二面角閾值的確定一般是憑借經驗，不夠精確，從而缺乏普適性；② 曲率極值法[23]的頂點處法矢量以及曲率計算均存在計算誤差且耗時，并且無法識別曲率變化較小的特征點，只適合于三角形網格分布較均勻的模型，但在網格分布不均勻的地方或存在狹長三角形網格時，該方法對特征點的識別不如二面角閾值準確。本文通過改進文獻[10]特征邊的提取算法以及文獻[11]斷點處提取特征邊算法的不足之處，提出了一種新的采用基于邊和面的特征邊二次提取算法。該算法結合基于邊和基于面的算法的各自優點，不僅能夠根據STL網格模型的精度進行自適應調整二面角閾值，還適用于分布不均勻的三角形網格的過渡曲面的特征邊提取，并且利用本文改進的斷點處的特征邊提取算法能夠形成完整的特征邊界，避免了特征邊的中斷。另外，在第二次基于面的特征邊提取過程中并不需要遍歷所有的三角形面片來得到各頂點的曲率，計算效率有所提高。

1 特征邊提取

本文提出一種基于STL網格模型的特征邊提取算法，該算法結合基于邊和面的各自優點，采取針對不同類型的三角形網格邊應用不同方法的思想，通過對顯性、隱性特征邊的提取，實現了所有特征邊的高效、完整地提取。具體的算法流程如圖1所示。

圖1 特征邊的二次提取算法流程示意圖

1.1 三角網格模型

三角網格模型通常由一對線性表表示，M={V，E}，V={Vi|Vi∈R3,2≤i≤n}為頂點V1周圍的所有頂點組成的集合，E={ei|ei=V1-Vi，2≤i≤n}為頂點V1周圍所有邊的集合集合，ei其中為向量。

圖2 頂點V1的一階鄰域

1.2 第一次邊界特征提取

定義1如圖2所示，含有公共邊ei+1的相鄰三角面片其中一個面片的面法矢量為ni，另一個面片的面法矢量為ni+1，它們之間法矢量形成的夾角φ就是三角面片公共邊ei+1的二面角。

相鄰三角形的二面角的計算式表示為：

cosφ=(ni·ni+1)/(‖ni‖·‖ni+1‖)

(1)

二面角的大小能夠反映出模型三角形網格邊的光滑程度，二面角越小，則表示兩個相鄰的三角形越平滑，當二面角為0°時，表示兩個三角形共面；反之，二面角越大，超過了某個二面角閾值時，則就會出現棱線，可視為特征邊。

1.2.1 三角形網格邊的分類

為了能夠識別對應二面角較小的特征邊，文獻[10]利用擾動零度以及特征線閾值將三角形的邊分為平面邊、非平面邊以及特征邊。文獻[20]利用兩個二面角閾值將三角形邊劃分為特征邊、次特征邊以及非特征邊。本文的算法也將需要用到兩個二面角閾值φ1和φ2，其中φ1是顯性特征邊閾值，φ2隱性特征邊閾值。根據這兩個二面角閾值可將三角形的邊劃分為三類：若三角形邊所對應的二面角位于[φ1，180°),則稱之為顯性特征邊；若該邊所對應的二面角位于(0，φ2]，則稱之為隱性特征邊；否則，稱之為非特征邊。

1.2.2 特征閾值的確定

CAD中STL網格模型的精度是由參數Facetres控制的，其取值為(1,10)，Facetres越大，STL網格模型的精度越高，對應的二面角越小。文獻[24]對STL網格模型的二面角進行了統計分析，發現二面角大于20°所對應的三角形網格邊比較能夠反映模型的特征。文獻[20]將20°作為特征邊的判定閾值，由于該特征邊閾值是在精度一定的情況下確定的，而CAD中STL網格模型的精度是隨產品發生變化的，因此常二面角閾值不具有普適性。文獻[10]在Facetres=5時，采用二面角大于10°的最小二面角的2倍作為特征邊閾值，該方法雖在同等精度下具有自適應性，但并不適用于其他的精度等級。本文在此基礎上確定了顯性特征邊閾值φ1：首先計算所有三角形網格邊所對應的二面角的平均值β，若β大于20°，則二面角閾值為20°+β(1+λ1)/4；否則二面角閾值為β+β(1-λ1)/4，具體計算式表示為：

(2)

式中，φ1—顯性特征邊閾值，β—STL網格模型中所有三角形網格邊所對應的二面角的平均值，其中權值λ1取值(0, 1)，與STL網格模型的精度成正比，在實際應用中Facetres≥5時，STL網格模型能夠有效地逼近實體表面，經過反復試驗確定λ1=log(Facetres)。

為了準確識別自由曲面以及過渡曲面邊界處的特征邊，文獻[10]利用擾動零度為0.1°作為隱性特征邊的判定閾值，該閾值雖然能準確地區分隱性特征邊與非特征邊，但在不同的STL網格模型精度下，擾動零度有可能使隱性特征邊的判定數量增加而降低特征邊的識別效率，不具有自適應性。本文引入了隱性特征邊閾值作為判定條件，以期對于不同精度下的STL網格模型具有自適應性。隱性特征邊閾值的確定方法如下：

(1) 篩選出二面角φ位于[0,λ2β)的網格邊，其中權值λ2取值(0, 1)，與STL網格模型的精度成反比，本文取值為λ2=1-λ1可滿足條件。

(2) 計算出符合(1)條件的二面角的平均值，將其作為隱性特征邊閾值φ2，φ2的計算式表示為：

(3)

式中，n—STL網格模型中所有二面角位于[0,λ2β)的三角形的邊數。

通過φ2，能夠快速、準確查找到位于過渡曲面邊界處對應的具有較小二面角的隱性特征邊。

本文將所有的顯性特征邊視為特征邊，而對于隱性特征邊是否為特征邊需要進一步地判定。

1.3 第二次邊界特征邊提取

通過上述1.2節第一次邊界特征邊的提取，識別并提取出所有的具有棱角分明的顯性特征邊以及位于過渡曲面處對應具有較小二面角的隱性特征邊。顯性特征邊一定是特征邊，但隱性特征邊不一定是特征邊，存在是特征邊的可能。利用單純的二面角無法準確判斷二面角較小的隱性特征邊是否為特征邊，本文通過計算相鄰三角形的近似平均曲率來判別。

由曲面論可知，零件的棱線、脊線和曲面交線等處曲面的曲率較大。為了計算每一頂點的曲率，可在頂點V1處建立曲面S(u，v)=(u，v，h(u，v))，其中h(u，v)=au2+buv+cv2。如圖3所示，原點是點V1，h軸為曲面在點V1處的法矢量N1的方向，u，v相互正交且在V的切平面內，局部坐標系(V1uvh)由絕對坐標系(Oxyz)經坐標變換得到，即O平移至V1，再旋轉使得z軸與h軸重合，此時u、v可取x、y軸。建立的曲面在V1點處存在無數條主法矢量和曲面的法矢量N1重合的曲線，該曲線族的曲率k是曲面的法曲率。法曲率中的極小值k1和極大值k2稱為主曲率，對應的曲線的切線方向分別為m1、m2，稱為主方向，兩者總是相互垂直。

圖3 點V1的局部坐標系

1.3.1 網格頂點法矢量的計算

為了獲得曲面在點V1的曲率，需要先估算每個三角形頂點的法矢量。本文采用基于頂點領域平面擬合的方法來估算網格頂點法矢量。

(4)

要使得頂點V1的鄰域三角形網格的投影面積最大，必須使每個三角形與投影平面π的法矢量夾角θi最小，也即是鄰域內的每個頂點V1到投影平面的距離di最小。因此，求解頂點鄰域三角形的投影面積最大的投影平面π轉化為求解每個三角形頂點V1到投影平面的距離di最小值問題，對頂點V1的鄰域頂點Vi(2≤i≤n)進行平面擬合。

對平面c0x+c1y+c2z+c3=0進行變換得到：

(5)

則：

z=a0x+a1y+a2

(6)

要使鄰域內的頂點Vi(xi，yi，zi)，2≤i≤n到平面π的距離的平方和最小，即滿足：

(7)

要使f(a0,a1,a2)→min，將式(9)對a0、a1、a2求偏導，并令偏導數為零，得到：

(8)

將式(8)構成線性方程：

Bx=D

(9)

解上述線性方程組，可得a0、a1、a2，進而得到投影平面π的參數c0、c1、c2、c3。

采用基于頂點領域平面擬合的方法來估算網格頂點法矢量，其估算精度與頂點V1的鄰域內的三角形頂點與投影平面的擬合精度有關，而與鄰域內三角形的幾何特性關系不大，降低了對其依賴性。這有別于從力學角度提出的單位法矢量加權[17-18,21]及以三角網格頂點一階鄰域三角形的形狀因子與頂點到三角形質心距進行綜合加權的方法[26]。

1.3.2 平均曲率的計算

求得各個頂點的法矢量后，在頂點V1處建立二次曲面S(u，v)=(u，v，h(u，v))，且V1點的一階鄰域頂點Vj(1≤j≤m)在局部坐標系下的坐標值為(xj，yj，zj)，由m個鄰域頂點得到的線性方程組為：

(10)

用最小二乘法[27]解上述方程組，可得到曲面S(u，v)。由此可得到該頂點處的主曲率和相應的主曲率方向計算式表示為：

(11)

曲面上的一點的平均曲率是該點主曲率的平均值，求得每個網格頂點的主曲率k1、k2后就能求得每個網格頂點的平均曲率H，由式(11)可得：

(12)

由于曲面的平均曲率能夠反映曲面的彎曲程度，利用平均曲率可識別隱性特征邊。

1.3.3 特征邊的判定指標

頂點的平均曲率的估算首先要確定頂點的鄰域，而頂點鄰域內三角形網格的稀疏、不均勻性都將影響頂點的局部二次曲面的擬合精度，特別是含有尖銳的顯性特征邊的頂點鄰域，會造成估算的曲率精度更低，如不適當處理，算法還不如二面角判斷準確。因此本文在選取三角形的各頂點的鄰域時，先查找到與三角形各頂點共點的三角形，然后剔除與該三角形所對應的二面角大于顯性特征邊閾值的所有三角形，得到了所需要的頂點鄰域。如圖4所示，圖中的細虛線表示顯性特征邊，f1與f2為兩個相鄰的三角形，兩個三角形的頂點(V1～V4)的鄰域三角形(圖中黑色線圈所包圍的與各頂點相連的三角形)不包含顯性特征邊，而三角形f3與f4中的頂點V6與V7的鄰域包含顯性特征邊，需要舍去與該三角形頂點鄰域中與該三角形所對應的二面角大于顯性特征邊閾值的所有三角形，剔除不符合條件的三角形后，頂點V6與V7的鄰域為圖中線圈所示。

圖4 相鄰三角形的各頂點鄰域

(13)

(14)

由式(13)和式(14)相減得：

(15)

由式(15)可知，兩個相鄰的三角形面片的近似平均曲率的差值轉換成了兩個三角形面片的頂點的平均曲率的差值估算，節省了識別特征邊的復雜度和時間度。

(16)

由式(16)可得：

|k2-k1|≥|k1·k2|λ1

(17)

2 特征邊界的生成

在上述STL網格特征邊判定的過程中并不是所有的特征邊都能完整地識別出來，有時也會出現斷邊現象。文獻[11]根據頂點的度的定義(與某個頂點相連的特征邊的條數稱為頂點的度)進行斷點處特征邊的連接，但該算法僅適合于環狀過渡邊界斷點處特征邊的提取，對于帶狀過渡曲面特征邊界則易失效。本文改進了文獻[11]的算法，提出一種特征邊界生成算法不僅適合于環狀過渡曲面特征邊界，還適合帶狀過渡曲面特征邊界的生成。具體如算法1所示：

算法1斷點處特征邊的提取算法。

Step1新建一個特征邊表E1從上述1.2節和1.3節所提取的特征邊集合U1中取出第一條邊作為初始特征邊，將該邊作為當前特征邊，轉到Step2。

Step2判斷U1是否為NULL，若為NULL，則停止操作；若不為NULL，則轉到Step3。

Step3在集合U1中查找出首結點坐標與當前特征邊的尾結點坐標相同的特征邊：1) 若存在，則判斷該邊的尾結點坐標是否與初始特征邊的首結點坐標相同：①若相同，說明特征邊形成了首尾相連的封閉特征邊界，將其從U1刪除加入E1中，轉到Step1；②若不相同，則將該邊作為當前特征邊，將其從U1刪除加入E1中并繼續尋找與當前特征邊的尾結點的坐標相同的特征邊，方法同上①類似，直到形成首尾相連的封閉特征邊界為止，轉到Step1。2) 若不存在，則在集合U1中查找出所有首結點坐標與當前特征邊尾結點坐標相同并且為隱性特征邊的三角形邊形成集合U2, 記U2中最大面積比為smax并從U2中查找到對應面積比值s(即兩相鄰三角形中面積大的三角形比上面積較小的三角形)滿足smax-s≤1的邊形成集合U3，最后選擇U3中與當前特征邊的夾角最小的邊作為特征邊加入到E1中，并將其作為當前特征邊，繼續尋找與當前特征邊的尾結點的坐標相同的特征邊，方法同上類似，直到形成首尾相連的封閉特征邊界為止，轉到Step1。

3 實例分析

采用Visual C++ 6.0編程及OpenGL圖形函數庫在SP3 1.60 GHz CPU和1.60 GB內存的PC上實現了本文的算法，還實現了文獻[10,14]的特征邊的提取算法，并將其與本文的算法進行比較，如圖5-圖8所示，同時在計算效率方面對3種算法進行了比較，如表1所示。在特征邊提取效果方面，從圖5中的所標記的黑色線圈的比較可以看出，文獻[10]的特征邊提取算法無法識別并提取對應周長比值小于閾值的隱性特征邊，文獻[14]無法提取過渡曲面的特征邊界。從圖6和圖7可以看出，文獻[10]的算法無法提取完整的特征邊，對過渡曲面邊界處的二面角較小的隱性特征邊的識別能力較弱。 從圖8中黑色線圈放可以看出，文獻[10,14]提取的特征邊不準確，存在冗余特征邊。而在計算效率方面，由表1可得出本文算法在計算效率方面有所提高，特別是在網格模型規模較大的時候。綜上所述，本文特征邊的提取算法彌補了文獻[10,14]的特征邊提取算法的不足之處，更具有健壯性，同時計算效率也有所提高。

圖5 模型1的3種特征邊提取算法的比較

圖6 模型2的3種特征邊提取算法的比較

圖7 模型3的3種特征邊提取算法的比較

圖8 模型4的3種特征邊提取算法的比較

模型三角面片數文獻[10]文獻[14]本文算法14960.1280.0320.02921080.0290.0140.013313360.4230.0760.06444955014.6743.7422.389

4 結 語

本文改進了文獻[10]基于二面角并結合周長比實現特征邊的提取算法以及文獻[11]斷點處特征邊的提取算法，提出了一種新的采用基于邊和基于面的特征邊二次提取算法。算法不僅能夠準確地識別二面角較小的過渡曲面邊界處的隱性特征邊，還能提取完整的特征邊界，彌補了文獻[10]無法提取過渡曲面邊界以及文獻[11]對于帶狀過渡曲面特征邊界斷點處提取特征邊易失效等算法的不足，具有很好的魯棒性。另外，在第二次基于面的特征邊提取過程中并不需要遍歷所有的三角形面片來得到各頂點的曲率，效率有所提高，程序復雜度降低。

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ANALGORITHMFOREXTRACTINGFEATUREEDGEOFSTLTRIANGULARMESHMODEL

Wang Junhui Chen Xing*Deng Yiming

(FacultyofMechanicalEngineeringandMechanics,NingboUniversity,Ningbo315211,Zhejiang,China)

As it is hard to recognize feature edges of the free-form surface from STL model, a method of extraction of feature edges is proposed. At first, using edge-based method, the threshold value of the dihedral angle was computed adaptively, and the explicit feature edge was identified accordingly. Secondly, using the least squares method, the approximate curvatures of triangles were obtained according to the computed average curvatures of vertexes. The feature edges were then determined in terms of the curvature difference of adjacent triangles with the implicit feature edge. Finally, a complete feature edges were generated by using an improved algorithm for extracting feature edges at the breakpoints. Experimental results demonstrate that the proposed method can effectively extract the feature edges of free-form surface from STL model, which has good robustness.

STL model Triangle mesh Feature extraction Dihedral angle Average curvature

TP391.41

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.10.050

2017-01-10。寧波大學研究生科研創新基金資助項目(G16069)。汪俊輝，碩士生，主研領域：材料成型CAD/CAE。陳興，副教授。鄧益民，教授。