數(shù)學概念課教學的原則、路徑及措施

張曉斌

概念是思維的細胞，是數(shù)學的出發(fā)點，數(shù)學概念是進行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想與方法的源泉。因此，數(shù)學概念教學在數(shù)學教學中有著十分重要的地位，是數(shù)學教學的核心內容。數(shù)學概念教學主要又是數(shù)學概念課的教學。本文就數(shù)學概念課教學的基本原則、路徑及實施措施，談一些不成熟的看法，供同行參考。

一、數(shù)學概念課教學的基本原則

1.遵循認知規(guī)律

科學是有規(guī)律的，數(shù)學科學知識是按照一定規(guī)律發(fā)展的，人們認識與把握數(shù)學知識也是遵循一定規(guī)律的，因此，在數(shù)學概念教學中必須堅持由淺入深、由特殊到一般、由形象到抽象、由具體到理性、由表及里等規(guī)律進行教學，必須符合學生的年齡特征、數(shù)學基礎和認識規(guī)律，必須把學生的認知基礎和規(guī)律與數(shù)學科學發(fā)展規(guī)律相匹配，具有邏輯連貫一致性。

例如“函數(shù)單調性”概念的教學，我們必須在學生初中學習的基礎上，首先給出3～4個具體的特殊函數(shù)圖象讓學生觀察，形象直觀發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的圖象在其函數(shù)的定義域內有些部分y隨x的增大而增大，有些部分y隨x的增大而減小；這種描述性語言敘述能否用來判斷或證明一個函數(shù)的增減性？這些圖象特征能否用數(shù)量關系來刻畫？能取一些特殊值來刻畫嗎？選擇幾個變量恰當呢？又用什么關系來刻畫？教師逐步引導學生發(fā)現(xiàn)選擇兩個變量x1，x2恰當，而且這兩個變量x1，x2是函數(shù)定義域的子區(qū)間內任意取值，同時滿足若x1f（x2）），這樣就可以抽象概括出函數(shù)單調性概念的定義。進而教師引導學生從定義中辨析出：函數(shù)單調性概念具有局部性、任意性和同區(qū)間性。

這一教學過程就是符號化、抽象化和一般化的關鍵過程，也是初中函數(shù)增減性與高中函數(shù)單調性的重要差異之處，如果處理好了就為學生深刻理解、掌握與運用函數(shù)的單調性概念奠定了堅實的基礎。

2.注重形成過程

“高中數(shù)學課程應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質。”[1]不同數(shù)學概念的產(chǎn)生與發(fā)展有不同的途徑，因此，數(shù)學概念教學中要特別注重概念的發(fā)生發(fā)展過程的教學，創(chuàng)設合適的問題情境，努力讓學生經(jīng)歷過程，從中獲得體驗并領悟數(shù)學思想與方法，去偽存真，提煉表達數(shù)學概念。例如上述“函數(shù)單調性”概念的教學，首先給出幾個具體的數(shù)學問題情境，讓學生經(jīng)歷從具體感知到抽象概括的過程，最后獲得函數(shù)單調性的定義。當然，有時還可以創(chuàng)設生活問題情境、歷史問題情境、學科問題情境和動手操作問題情境來引入數(shù)學概念，但一定要根據(jù)數(shù)學概念發(fā)生發(fā)展途徑的不同來創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境引入，這樣才有利于學生揭示數(shù)學概念的本質屬性。

3.突出數(shù)學本質

數(shù)學概念的定義方式是多種多樣的，一般中學數(shù)學概念常用的幾種定義方式有：屬概念加種差的定義方式；發(fā)生定義方式；揭示外延的定義方式；用描述語言下定義等。但不論哪種定義方式，我們都應該在數(shù)學教學中抓住數(shù)學概念的本質屬性，注意揭示數(shù)學概念的內涵和外延，突出數(shù)學概念本質的教學。由于原始概念有些是不下定義的，有些只是用揭示外延或用描述法給出定義，因此教學中常常通過大量具體例子讓學生從中體會感悟。除原始概念外，其他數(shù)學概念的教學，我們就要注重其數(shù)學本質屬性的挖掘與提煉。

4.培育核心素養(yǎng)

數(shù)學概念教學不但讓學生提出、理解、掌握和應用數(shù)學概念，更為重要的是能讓學生從中領悟數(shù)學思想與方法以及培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決問題的能力，特別是訓練與發(fā)展學生的思維能力，最終指向培育和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。因此，必須要讓學生經(jīng)歷數(shù)學概念教學的全過程，把數(shù)學概念納入數(shù)學概念發(fā)展的系統(tǒng)中，明確認識各數(shù)學概念間的關系，了解各個數(shù)學概念在抽象、推理、運算、證明和建模中的指導作用。

5.浸潤數(shù)學文化

數(shù)學概念教學不但要情境化、數(shù)學化，更為重要的是要從數(shù)學文化的角度審視數(shù)學概念教學，提升數(shù)學概念教學的品味，讓數(shù)學概念教學具有情境味、數(shù)學味、文化味和藝術味，最終實現(xiàn)數(shù)學育人的目標。

例如“隨機事件的概率”的教學，通過讓學生分組拋擲硬幣實驗，尋找硬幣正面向上的頻率的規(guī)律，由于課堂教學時間有限和人民幣硬幣質地不夠均勻，會導致硬幣正面向上的頻率的規(guī)律不明顯，學生不易觀察體驗頻率的變化規(guī)律，因此，我們必須通過計算機模擬拋擲硬幣實驗，讓學生親身發(fā)現(xiàn)并確信隨著實驗次數(shù)的不斷增加，硬幣正面向上的頻率會在某個常數(shù)附近擺動而逐漸穩(wěn)定，從而引出隨機事件概率的定義。同時，我們可以不失時機地向學生穿插介紹歷史上有許多大數(shù)學家們拋擲硬幣實驗的結果，讓學生不但確信隨著實驗次數(shù)的增多，可以通過頻率估計概率，而且讓學生受到歷史上數(shù)學家們求真務實的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神的熏陶與浸染。情感態(tài)度知時節(jié)，恰到此時乃發(fā)生，悄無聲息地對學生進行了第三維目標教育。

二、數(shù)學概念課教學的基本路徑和實施措施

數(shù)學概念課教學的一般教學流程（或環(huán)節(jié)）是：概念的引入→概念的抽象→概念的明確與表達→概念的辨析→概念的應用→概念的“精致”。[2]

1.概念的引入（或背景引入）

借助具體事例，從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念，引入方式主要有：（1）情境問題式；（2）以舊引新式；（3）認知沖突式；（4）直觀形象式。

（1）情境問題式。課堂教學中經(jīng)常給出一些具體現(xiàn)實問題情境讓學生來觀察，接著教師提出一個又一個由淺入深、由易到難的遞進式的問題串幫助學生深入思考來導入。

例如“函數(shù)”概念的教學：人教A版教材安排了三個實例。

[例1]“炮彈距離地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2，經(jīng)過26s落地。”[3]

對此實例，我們設計如下問題讓學生思考回答：

①時間t的變化范圍是什么？

②問題“100s時對應的高度是多少”有沒有意義？

③你認為如何描述才能真實反映炮彈發(fā)射過程？[4]

說明：①②問是引導學生關注自變量的取值范圍及其重要性；③問是引導學生說出兩個變量間的對應關系。

[例2]教材圖中曲線顯示了1979年至2001年南極上空臭氧層空洞的面積的變化情況。[3]

針對這一實例，教學中我們應該設計如下一些問題讓學生思考回答：

①時間的變化范圍是什么？空洞面積s的變化范圍是什么？

②從所給的圖中能回答“2002年對應的臭氧空洞面積是多少”嗎？

③s是t的函數(shù)嗎？為什么？

④這是一個函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個函數(shù)，你會怎么做？把這個圖搬出來嗎？——符號意識，s=f（t）呼之欲出。[4]

說明：①②問是引導學生關注兩個變量的取值范圍及其重要性；③問是引導學生體驗兩個變量間的對應過程，并能說出它們之間是怎樣的對應關系；④問是讓學生明白這兩個變量是函數(shù)關系，用什么方式來表達，從而抽象化、符號化。

[例3]教材用表格給出1991年至2001年我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況。[3]

對于此例，教師教學中類比例2，可以設計上述一些類似問題讓學生思考回答。

（2）以舊引新式。課堂教學中經(jīng)常根據(jù)新舊概念之間的聯(lián)系，找出它們之間具有某些相同或相似的性質，區(qū)分它們之間的不同之處，充分利用舊概念引出新概念，可以從種概念引入類概念，采用對比方法，利用逆反關系，運用概念的推廣或特例的聯(lián)系等引入新概念。如在棱柱概念的基礎上，可由增加內涵而直接引入直棱柱和正棱柱的概念；如對比等差數(shù)列的定義引出等比數(shù)列的定義；如利用逆反關系，由指數(shù)函數(shù)概念引出對數(shù)函數(shù)概念；如任意角三角函數(shù)的定義可由銳角三角函數(shù)的坐標定義推廣而來等。

（3）認知沖突式。課堂教學中常常基于學生已有的認知結構，創(chuàng)設問題情境，誘發(fā)學生思考那些與自己已經(jīng)具有的知識所不同的一些問題，形成學生認知上的沖突或矛盾或困惑，打破原有心理平衡，造成“憤”“悱”的心理狀態(tài)，過去已有知識解決不了，需要引入新的知識才能解決，自然而然地引出新概念。如“復數(shù)”概念的引入教學，就注意形成學生認知上的矛盾沖突，從而引出了復數(shù)的

定義。

（4）直觀形象式。數(shù)學概念一般來源于兩個方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關系和空間形式反映而得出的；另一方面是在抽象的數(shù)學理論基礎上經(jīng)過多級抽象而獲得的結論。中學生的抽象思維仍與直覺和感性經(jīng)驗相聯(lián)系。直觀的形象可使學生獲得十分豐富且合乎實際的感性材料，因此，在教學新概念時，教師一定要細致耐心，盡量用學生熟悉的直觀形象引入，這樣可以使學生獲得大量的與數(shù)學概念有關的感知和表象，然后再進行抽象概括，如此學生就更容易學習。如在教學“頻率和概率”這兩個概念時，一定要讓學生動手操作，多次拋擲硬幣、拋擲骰子等經(jīng)典實驗，親身體驗過程，從中感悟頻率的穩(wěn)定性，從而引出隨機事件的概率的

概念。

2.概念的抽象（共性歸納）

提供典型豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征。

如在函數(shù)概念引入的三個實例的基礎上，宜設計一些問題，引導學生逐步抽象揭示上述三個實例的共同屬性。

問題：上述三個實例有哪些共同的

特點？

都涉及兩個集合A，B，且都是非空數(shù)集；一個對應關系；對應關系的表示形式不同（解析式、圖、表等），但本質一樣：對于集合A中任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一一個數(shù)與之對應。

3.概念的明確與表達（下定義）

數(shù)學概念往往有多種表征方式，在不同的表征系統(tǒng)中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系統(tǒng)之間進行轉換訓練，可以強化學生對概念聯(lián)系性的認識。通過對幾個實例的不斷抽象，提出了它們的共同屬性。如何明確本質屬性呢？這就要給出準確的文字和符號的數(shù)學語言描述。在給概念下定義時要注意：寬窄適度，恰如其分；不允許循環(huán)；不得引用未被定義過的概念。

如在函數(shù)概念引入的三個實例的基礎上，宜再設計問題，讓學生怎樣簡捷地表示出來？

問題：如果把一種對應關系稱為對應法則f，數(shù)集A，B中的元素名稱分別記為x，y，那么上述三個例子的共同特點又可以如何來表達呢？

用符號化表達是數(shù)學的智慧，數(shù)學家是這么做的：f：A→B，即x→y=f（x），x∈A。這樣就概括得到了函數(shù)的定義表達。

4.概念的辨析

通過正例和反例深化概念理解。在揭示概念定義后，為進一步突出概念的本質特征，防止概念誤解，可以利用概念的正例或反例。以實例為載體分析關鍵詞的含義（恰當使用反例），不要過快地進入復雜的解題訓練。

運用變式訓練完善概念認識。變式是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化，通過變式，從不同角度研究概念并給出例子，可以全面認識概念。變式是變更對象的非本質屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。這樣通過數(shù)式變式、圖象變式等，可使學生更好地掌握概念的本質和規(guī)律。

“函數(shù)”概念教學辨析的重點是：對應關系相同但定義域不同，是兩個不同的函數(shù)；“函數(shù)概念”教學的難點是：定義域相同但對應關系不同，也是兩個不同的函數(shù)。怎么辨析？應該回到實際中去。如步行平均速度5km，買商品單價5元，與用什么符號表示無關，只看自變量對應到什么結果；函數(shù)y=│x│，x∈R和函數(shù)y=，x∈R表示的是同一個函數(shù)；但函數(shù)y=│x│，x∈R和函數(shù)y=log22x，x∈R表示的不是同一個函數(shù)。

5.概念的應用

通過適當?shù)木毩曌寣W生在解決問題的過程中理解掌握概念。用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。函數(shù)概念的應用除了給出緊扣函數(shù)三要素的練習外，還可以讓學生根據(jù)已知函數(shù)解析式構建實際問題或數(shù)學問題，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。

6.概念的“精致”

一定意義上，概念的精致可理解為概念濃縮，即抓住概念的精要所在；概念的精練表達和“組塊”占記憶空間少且易于提取。因此，概念教學要讓學生能抓住概念中簡單而本質的關鍵詞，對關鍵詞的理解就是概念本質屬性的理解，概念能起作用的是精致后的概念精要，把所學概念納入概念系統(tǒng)，建立與相關概念的聯(lián)系，形成功能良好的認知結構。學生只有把新概念納入一定的知識體系，才能對概念有較完整而深刻的理解，要教會學生整理知識，使知識系統(tǒng)化，進一步鞏固、發(fā)展、深化概念。如“函數(shù)”概念教學后，要不斷深化對函數(shù)本質屬性的認識與運用，因此，要把函數(shù)概念的本質和三要素納入函數(shù)的表示、函數(shù)性質、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內容的教學中，這樣不但加深了對函數(shù)概念本質的深刻理解，又對后續(xù)內容的學習掌握奠定了堅實的基礎。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建躍.中學數(shù)學課改的十個論題[J].中學數(shù)學教學參考，2010（3上）：2-5，11.

[3]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學A版（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4]章建躍.“第八屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動”大會報告[C].福州，2016（11）.

責任編輯：肖佳曉

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