疲勞荷載作用下的三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移

楊大鵬，潘海洋，劉邦先，張平萍，楊新華

(1.中鋼集團鄭州金屬制品研究院有限公司，河南 鄭州，450001；2.華中科技大學土木工程與力學學院，湖北 武漢，430074；3.鄭州職業技術學院機械工程系，河南 鄭州，450121；4.鄭州職業技術學院城市軌道交通系，河南 鄭州，450121)

疲勞荷載作用下的三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移

楊大鵬1,2,3，潘海洋4，劉邦先3，張平萍1，楊新華2

(1.中鋼集團鄭州金屬制品研究院有限公司，河南 鄭州，450001；2.華中科技大學土木工程與力學學院，湖北 武漢，430074；3.鄭州職業技術學院機械工程系，河南 鄭州，450121；4.鄭州職業技術學院城市軌道交通系，河南 鄭州，450121)

綜合考慮疲勞作用應力、三維塑性區域邊界上的交變正應力與交變剪應力，利用二階攝動方法建立了計算疲勞載荷作用下三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移的理論模型。用數值解法進行求解，并作圖分析了三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移的最大值和變化幅值與三維裂紋體幾何尺寸及外載荷之間的變化關系。結果表明，隨著裂紋體厚度的增大，三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移的最大值與變化幅值不斷減小；當裂紋體幾何尺寸相同時，彎曲裂紋尖端張開位移的最大值與變化幅值均隨外載荷的增加而逐漸增大。

三維裂紋體；彎曲裂紋；張開位移；疲勞荷載；二階攝動方法

目前關于彎曲裂紋擴展路徑的研究大多局限于二維線彈性斷裂和二維彈塑性斷裂問題[1-7]，而針對疲勞載荷作用下三維裂紋體彈塑性彎曲裂紋的路徑預測、三維裂紋體彈塑性彎曲裂紋尖端塑性區域交變應力場的計算、張開位移最大值與變化幅值的確定等問題的研究相對缺乏。在工程實際中，裂紋體材料的厚度通常是不可忽略的，而且往往比較大。因此，研究三維疲勞彈塑性彎曲裂紋的斷裂特性是非常有必要的。本文將運用二階攝動方法計算出疲勞載荷作用下三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移的最大值與變化幅值，從而更精確地服務于工程實際。

1 相關符號與說明

αZ、βZ、γZ為三維彎曲裂紋的形狀參數，kIZ、kIIZ、bIZ、bIIZ、TZ是與二維彎曲裂紋相對應的三維彎曲裂紋斷裂特性參量；HZ為三維彎曲裂紋以及塑性裂紋的直線部分的長度,RZ為三維彎曲裂紋尖端塑性區在裂紋直線部分延長線上的射影長度，RZ可以根據文獻[11-13]提供的思路、方法與力學模型求解，aZ為三維彎曲裂紋于裂紋直線部分延長線上的投影長度，令cZ=RZ+aZ，δZ為三維彎曲延伸裂紋尖端張開位移。彎曲裂紋尖端場的奇異性特征嚴重依賴于材料的本構類型，本文中的材料本構是理想塑性的。

2 三維疲勞彎曲裂紋尖端張開位移的確定

本文采用經過拓展的彎曲裂紋Dugdale模型計算三維疲勞彎曲裂紋尖端張開位移，這個拓展模型的合理性已經在文獻[13]中得到證明。根據文獻[11-13]，可得如下關系式：

exp[-B1(z/B)(r/B)B2(z/B)]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(11)～式(15)中：kI、kII為應力強度因子；bI、bII、T均為系數，取決于裂紋彎曲延伸擴展之前的邊界值問題的解。

同時，可以確定疲勞載荷作用下某一時刻三維彎曲裂紋尖端I型張開位移δ1Z、II型張開位移δ2Z的大小：

(16)

(17)

在疲勞荷載作用下，裂紋尖端塑性區的大小呈交替性變化，三維彎曲裂紋張開位移的周期變化是由于kIZ、kIIZ、bIZ、bIIZ、TZ、RZ等參量的循環增減而引起的，于是可用下列簡化函數式表達:

δ1Z=δ1Z(αZ,βZ,γZ,aZ,t2,σs,kIZ,

kIIZ,bIZ,bIIZ,TZ,RZ)

(18)

(δ1Z)max=δ1Z[αZ,βZ,γZ,aZ,t2,σs,(kIZ)max,

(kIIZ)max,(bIZ)max,(bIIZ)max,(TZ)max,(RZ)max]

(19)

(δ1Z)min=δ1Z[αZ,βZ,γZ,aZ,t2,σs,(kIZ)min,

(kIIZ)min,(bIZ)min,(bIIZ)min,(TZ)min,(RZ)min]

(20)

δ2Z=δ2Z(αZ,βZ,γZ,aZ,t2,σs,kIZ,

kIIZ,bIZ,bIIZ,TZ,RZ)

(21)

(δ2Z)max=δ2Z[αZ,βZ,γZ,aZ,t2,σs,(kIZ)max,

(kIIZ)max,(bIZ)max,(bIIZ)max,(TZ)max,(RZ)max]

(22)

(δ2Z)min=δ2Z[αZ,βZ,γZ,aZ,t2,σs,(kIZ)min,

(kIIZ)min,(bIZ)min,(bIIZ)min,(TZ)min,(RZ)min]

(23)

(24)

(25)

ΔδZ=(δZ)max-(δZ)min

(26)

3 三維疲勞彎曲裂紋尖端張開位移最大值與變化幅值的計算與分析

下面以碳鋼為例，根據上述公式用數值解法計算材料三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移，研究張開位移的最大值和變化幅值與三維裂紋體幾何尺寸及外載荷之間的變化關系。碳鋼的泊松比ν=0.25，屈服極限σs=1725 MPa, 彈性模量E=2.15×105MPa。

當垂直于初始直線裂紋方向的外應力σaZ=0.5σs、平行于初始裂紋方向的外應力σrZ=0.1σs、σZ=50 mm時，三維彎曲裂紋尖端張開位移的最大值隨裂紋形參αZ的變化關系如圖1所示。當σaZ=0.33σs、σrZ=0.03σs、aZ=50 mm時，三維彎曲裂紋尖端張開位移的變化幅值隨裂紋形參αZ的變化關系如圖2所示。

(a)B=10 mm (b)B=20 mm (c)B=30 mm

(d)B=50 mm (e)B=100 mm

圖1三維彎曲裂紋尖端張開位移的最大值隨裂紋形參αZ的變化(σaZ=0.5σs,σrZ=0.1σs，aZ=50mm)

Fig.1Variationofthemaximumof3DcurvedcracktipopeningdisplacementwiththecrackshapeparameterαZ(σaZ=0.5σs,σrZ=0.1σs，aZ=50mm)

從圖1、圖2可以看出，在同樣的外載荷作用下，相同的三維裂紋直線部分長度對應的彎曲裂紋尖端張開位移的最大值與變化幅值隨著三維裂紋形狀參數αZ的不斷增大而減小。另外，在外載荷、三維裂紋直線部分長度HZ和三維彎曲裂紋形狀參數αZ相同的條件下，當三維裂紋體厚度逐漸增加時，裂紋尖端張開位移的最大值與變化幅值均不斷減小。

三維彎曲裂紋尖端張開位移的最大值和變化幅值隨外載荷(用垂直于初始直線裂紋方向外應力的最大值(σaZ)max及其變化值ΔσaZ與屈服極限σs的比值來表征)的變化分別如圖3和圖4所示。

(a)B=10 mm (b)B=20 mm (c)B=30 mm

(d)B=50 mm (e)B=100 mm

圖2三維彎曲裂紋尖端張開位移的變化幅值隨裂紋形參αZ的變化(σaZ=0.33σs,σrZ=0.03σs，aZ=50mm)

Fig.2Variationoftheamplitudeof3DcurvedcracktipopeningdisplacementwiththecrackshapeparameterαZ(σaZ=0.33σs,σrZ=0.03σs，aZ=50mm)

(a)B=10 mm (b)B=20 mm

圖3三維彎曲裂紋尖端張開位移的最大值隨外載荷的變化(aZ=50mm,αZ=0.5°)

Fig.3Variationofthemaximumof3Dcurvedcracktipopeningdisplacementwiththeexternalload(aZ=50mm,αZ=0.5°)

(a)B=30 mm (b)B=50 mm (c)B=100 mm

圖4三維彎曲裂紋尖端張開位移的變化幅值隨外載荷的變化(aZ=50mm,αZ=0.5° )

Fig.4Variationoftheamplitudeof3Dcurvedcracktipopeningdisplacementwiththeexternalload(aZ=50mm,αZ=0.5° )

從圖3、圖4可以看出，當三維裂紋體厚度和裂紋直線部分長度相同時，三維彎曲裂紋尖端張開位移的最大值與疲勞載荷最大值正相關，其變化幅值與疲勞載荷變化幅值正相關。另外,隨著三維裂紋體厚度的增加，對于相同的裂紋直線部分長度和彎曲程度，三維彎曲裂紋尖端張開位移的最大值隨疲勞載荷最大值的提高而不斷增大的速度逐漸降低，其變化幅值隨疲勞載荷變化幅值的提高而不斷增大的速度也逐漸降低。

4 三維疲勞彈塑性彎曲裂紋擴展的判據

根據文獻[11-13]可以得到：

(1)疲勞載荷作用下，三維彎曲裂紋的擴展速率為

(27)

式中：R為應力比，即R=(σZ)min/(σZ)max；N為疲勞荷載的循環次數；C′、m′均為材料常數；δCZ為三維彎曲裂紋的斷裂韌性；ΔδthZ為三維彎曲裂紋張開位移變化幅度的門檻值。

(2)三維疲勞彈塑性彎曲裂紋在遠場交變應力作用下穩定存在的條件為

ΔδZ<ΔδthZ

(28)

(3)三維疲勞彈塑性彎曲裂紋在遠場交變應力作用下穩定擴展的條件為

ΔδZ≥ΔδthZ，且(δZ)max<δCZ

(29)

(4)三維疲勞彈塑性彎曲裂紋在遠場交變應力作用下失穩擴展的條件為

ΔδZ≥ΔδthZ，且(δZ)max≥δCZ

(30)

5 結語

本文運用二階攝動方法得出三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移的最大值與變化幅值計算公式，作圖分析了三維彈塑性彎曲裂紋尖端張開位移的最大值、變化幅值與三維裂紋體厚度、裂紋直線部分長度、裂紋形狀參數以及外載荷之間的關系，并進一步討論了三維疲勞彈塑性彎曲裂紋擴展的判據。由于三維疲勞彈塑性彎曲裂紋在土木建筑、航空航天、艦船潛艇等工程結構中普遍存在，因此本研究具有重要的理論意義和工程實用價值。

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Threedimensionalelastic-plasticcurvedcracktipopeningdisplacementunderfatigueload

YangDapeng1,2,3,PanHaiyang4,LiuBangxian3,ZhangPingping1,YangXinhua2

(1.Sinosteel Zhengzhou Research Institute of Steel Wire Products Co., Ltd., Zhengzhou 450001, China; 2.School of Civil Engineering and Mechanics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 3.Department of Mechanical Engineering, Zhengzhou Technical College, Zhengzhou 450121, China; 4.Urban Rail Transport Department, Zhengzhou Technical College, Zhengzhou 450121, China)

Taking the effects of fatigue stress, cyclic normal and shear stresses on the boundaries of three dimensional plastic area into consideration, this paper has built the theoretical models to calculate three dimensional elastic-plastic curved crack tip opening displacement (CCTOD) under fatigue loads by using second order perturbation method. Numerical solutions were made，and the relation curves between the maximum or amplitude of CCTOD and the crack body geometrical dimensions as well as the external loads were analyzed. The results show that the maximum and amplitude of CCTOD decline with the increase of crack body thickness. When crack bodies have the same size, the maximum and amplitude of CCTOD increase with increasing external loads.

three dimensional crack body; curved crack; opening displacement; fatigue load; second order perturbation method

2017-04-10

國家自然科學基金重大研究計劃項目(91016026)；河南省博士后科研資助項目(博士后編號：166053).

楊大鵬(1976-)，男，中鋼集團鄭州金屬制品研究院有限公司博士后工作站以及華中科技大學土木工程與力學學院力學系博士后流動站研究人員，鄭州職業技術學院副教授.E-mail: ydpzpysh@163.com

10.3969/j.issn.1674-3644.2017.05.014

TB301

A

1674-3644(2017)05-0395-06

[責任編輯尚晶]