圓域有理q-Bézier曲線

呂雁燕, 劉 植, 劉曉雁

(1.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009; 2.拉文大學 數學系,加利福利亞 拉文 91750)

圓域有理q-Bézier曲線

呂雁燕1, 劉 植1, 劉曉雁2

(1.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009; 2.拉文大學 數學系,加利福利亞 拉文 91750)

文章基于一類廣義Bernstein基函數定義了圓域有理q-Bézier曲線,通過改變參數q的取值,可以得到一類有理q-Bézier曲線簇,并研究了該類曲線的基本性質及De Casteljau型算法,用二次有理q-Bézier曲線可精確表示圓錐曲線。該方法比現有方法更加靈活,且表示范圍更大。數值實例表明,圓域有理q-Bézier曲線的研究具有一定的理論意義與應用價值。

圓域算術;圓域有理q-Bézier曲線;中心曲線;De Casteljau型算法;圓錐曲線

曲線和曲面的表示是CAD及CAM重要的研究方向之一。經典Bernstein多項式在函數逼近論、計算幾何以及概率論等領域均有著重要的應用。近20年來關于Bernstein多項式的推廣研究已取得豐富成果[1]。文獻[2]首次提出一類基于q-整數的廣義Bernstein多項式,它是經典Bernstein多項式的一種推廣形式。文獻[3]基于該多項式提出了一類新的多項式基函數,稱之為q-Bernstein基,進而得到新的參數多項式曲線——q-Bézier曲線。q-Bézier曲線包括了Bézier曲線,且具有與Bézier曲線類似的性質。參數q的引入賦予了q-Bézier曲線更加豐富的形狀控制能力。然而和經典Bézier曲線一樣,q-Bézier曲線也不能精確表示除拋物線外的圓錐曲線。文獻[4]基于De Casteljau算法研究了有理q-Bézier曲線,并在一定范圍內給出了圓錐曲線的有理q-Bézier表示，但其結果并不完整,文獻[4]中圓錐曲線的構造只對參數q進行討論,而忽略了權因子ω。

幾何造型中大量運算都是基于浮點運算環境[5],因此幾何體的表示不夠精確,幾何計算也是近似的。……