一類二階泛函微分方程初值問(wèn)題解的收斂性

王培光，付芳芳，鮑俊艷

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 保定 071002)

一類二階泛函微分方程初值問(wèn)題解的收斂性

王培光，付芳芳，鮑俊艷

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 保定 071002)

利用擬線性化方法，討論了Banach空間中一類二階泛函微分方程初值問(wèn)題解的收斂性，獲得了解的平方收斂性結(jié)果.

Banach空間；泛函微分方程；擬線性化方法；平方收斂

在實(shí)Banach空間中討論如下一類二階泛函微分方程初值問(wèn)題

(1)

這里φ∈C1=C([-r,0],E),f(t,xt,x′(t))∈C(J×C1×E,E),xt=x(t+τ),-r≤τ≤0.

擬線性化方法是研究各類微分方程解的收斂性的一種有力工具.與單調(diào)迭代方法相比較[1-2]，擬線性化方法可以得到解的平方收斂以及高階收斂結(jié)果.已有學(xué)者將擬線性化方法應(yīng)用到一階與二階泛函微分方程的討論[3-5].本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，利用擬線性化方法對(duì)二階泛函微分方程解的收斂性問(wèn)題做進(jìn)一步討論.

1 預(yù)備知識(shí)

為方便后面的敘述和證明，首先給出如下概念和定義[7-9].

定義1若P是實(shí)Banach空間E中的非空凸閉集，并且滿足1)x∈P，λ≥0?λx∈P；2)x∈P，-x∈P?x=θ，θ表示E中的零元素，則稱P是E中的一個(gè)錐.

設(shè)P為實(shí)Banach空間E中的錐，則可在E中的元素間引入半序：任意x、y∈E，若y-x∈P，則x≤y.

定義2設(shè){xn}單調(diào)遞增且有上界，即存在y∈E，使得x1≤x2≤…≤xn≤…≤y.若存在x*∈E，使得‖xn-x*‖→0(n→∞)，則稱錐P是正則的.

定義3設(shè)P是E中的正則錐，α(t)∈C*稱為方程 (1)的下解，當(dāng)且僅當(dāng)

成立.若β(t)∈C*使得上述不等式反向成立，則稱之為方程 (1)的上解.

引理1(Gronwall's不等式)假設(shè)u、α∈C[a,b]，非負(fù)函數(shù)β∈L1[a,b]，若

則

若進(jìn)一步假設(shè)α(t)非減，則有

2 主要結(jié)果

設(shè)α0(t)、β0(t)∈C*使得在J上有α0(t)≤β0(t).定義集合

ω={(t,xt,x):α0(0)≤φ≤β0(0),α0(t)≤x(t)≤β0(t),t∈J}.

對(duì)于給定函數(shù)φ(t,xt,x)、ψ(t,xt,x)∈C1(ω,E)，使得φ(t,xt,x)≤ψ(t,xt,x).在(ω,E)上定義函數(shù)

其中Ω={(t,xt,x′)∶(t,xt,x)∈ω,φ(t,xt,x)≤x′≤ψ(t,xt,x)}.

考慮如下方程

(2)

有如下結(jié)果：

定理1設(shè)P為E中的正則錐，并且

H1)給定函數(shù)φ(t,xt,x)，ψ(t,xt,x)∈C1(ω,E)，滿足φ(0,x0,x(0))≤x′(0)≤ψ(0,x0,x(0)).

H2)φ(t,xt,x),ψ(t,xt,x)的一階Frechet導(dǎo)數(shù)存在，在ω上有

φt(t,xt,x)+φu(t,xt,x)φ(t,xt,x)+φv(t,xt,x)φ(t,xt,x)≤f(t,xt,x),

ψt(t,xt,x)+ψu(yù)(t,xt,x)ψ(t,xt,x)+ψv(t,xt,x)ψ(t,xt,x)≥f(t,xt,x).

證明設(shè)x(t)∈C*是方程 (2)的任一解，并且φ(0,x0,x(0))≤x′(0)≤ψ(0,x0,x(0)).下面用反證法證明φ(t,xt,x)≤x′(t)≤ψ(t,xt,x).假設(shè)存在一個(gè)t0∈[0,1]，使得x′(t0)>ψ(t0,xt0,x(t0)).定義函數(shù)

(3)

對(duì)式 (3)關(guān)于t求導(dǎo)，整理可得

x″(t)-ψt(t,xt,x)-ψu(yù)(t,xt,x)x′(t+τ)-ψv(t,xt,x)x′(t)+ψu(yù)(t,xt,x)x′(t)+

ψv(t,xt,x)x′(t)-ψu(yù)(t,xt,x)ψ(t,xt,x)-ψv(t,xt,x)ψ(t,xt,x)≤

ψv(t,xt,x)ψ(t,xt,x)≤x″(t)-f(t,xt,ψ(t,xt,t))=θ.

因此有v′(t)≤θ.從而當(dāng)0≤t≤t0時(shí)，有v(t0)≤v(t).又由v(t0)=x′(t0)-ψ(t0,xt0,x)>θ， 則有v(t)>θ.根據(jù)式(3)中v(t)定義，有v(0)≤θ，與v(t)>θ式矛盾.因此,x′(t)≤ψ(t,xt,x).同理可證φ(t,xt,x)≤x′(t).

綜上可得φ(t,xt,x)≤x′(t)≤ψ(t,xt,x).定理證畢.

定理2設(shè)P為E中的正則錐，H3)成立，并且

H4)α0(t)、β0(t)∈C*分別為方程 (1)的下上解，并且α0(t)≤β0(t),t∈J.

H5)φ(t,γt,γ)≤γ′(t)≤ψ(t,γt,γ)，其中γ(t)=α0(t)或β0(t).對(duì)于α0(t)、β0(t)分別有

其中ψ(t,xt,x)關(guān)于xt、x是單調(diào)非增的.

H6)f(t,xt,x′)的一階Frechet導(dǎo)數(shù)滿足0

H7)f(t,xt,x′)的一階Frechet導(dǎo)數(shù)滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)Li,i=1,2,3,4 ，使得

|fu(t,xt,x′)-fu(t,yt,y′)|≤L1|xt-yt|+L2|x′-y′|，

|fv(t,xt,x′)-fv(t,yt,y′)|≤L3|xt-yt|+L4|x′-y′|.

則存在單調(diào)序列{αn(t)}、{βn(t)}一致且平方收斂于方程 (1)的解.

證明構(gòu)造單調(diào)序列{αn(t)}、{βn(t)}如下:

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

α0≤α1…≤αn≤βn≤…≤β1≤β0，t∈J,

首先證明

(5)

由條件 H5)可得

即p″(t)≤θ，由此得到p(t)≤p(0)≤θ.

由條件H5)可得

綜上所述，可得到式 (5).假設(shè)對(duì)于自然數(shù)n,有

(6)

即p″(t)≤θ，由此得到p(t)≤p(0)=θ.

其中f(t,xt,x′)≤N,N>0是常數(shù).故必存在與n無(wú)關(guān)的δ，使得只要|t2-t1|<δ，就有

下證單調(diào)序列{αn(t)}、{βn(t)}平方收斂于方程(1)的解.

令

(7)

令

(8)

定義函數(shù)

(9)

因此單調(diào)序列{αn(t)}、{βn(t)}平方收斂于方程 (1)的解.定理證畢.

[1] BHASKAR T G，LAKSHMIKANTHAM V，DEVI J V.Monotone iterative technique for functional differential equations with retardation and anticipation[J].Nonlinear Analysis，2007，66(10)：2237-2242．

[2] WANG P G，WU H X，WU Y H.A note on monotone iterative technique for functional differential systems with retardation and anticipation[J].International Journal of Pure and Applied Mathematics，2007，41(5)：749-754．

[3] 王培光，高瑋.集值微分方程初值問(wèn)題的擬線性化方法[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，31(1)：1-6.

WANG P G,GAO W.Quasilinearization of an initial value problem for set differential equations[J].Journal of Hebei University (Natural Science Edition)，2011，31(1)：1-6．

[4] JANKOWSKI T.Functional differential equations of second order[J].Bull Belg Math Soc，2003，10：291-298．

[5] 陳改平.具有滯后與超前的泛函微分方程的擬線性化方法[D].保定：河北大學(xué)，2011．

CHEN G P.Qvasilinearliation method for a class of funetional differential systems with retardation and anticijation[D].Baoding:Hebei university，2011.

[6] LE H H，LE T P N.Boundary and initial value problems for second-order neutral functional differential equations[J].Electronic Journal of Differential Equations，2006,62：1-19．

[7] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2015．

[8] LAKSHMIKANTHAM V，VATSALA A S.Generalized quasilinearization for nonlinear problems[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1998．

[9] 張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，2014．

(責(zé)任編輯：王蘭英)

Convergenceforaclassofsecond-orderfunctionaldifferentialequationswithinitialcondition

WANGPeiguang,FUFangfang,BAOJunyan

(College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China)

The quasilinearization method is applied to discuss the convergence of the solutions for a class of second-order functional differential equations with initial condition in Banach space.We obtain the solutions for quadratic convergence of the approximate solutions.

Banach space;functional differential equations;quasilinearization;quadratic convergence

O175

A

1000-1565(2017)05-0449-05

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.001