“嫌貧愛富”找思路

鄭新民++謝七生++魏均林++平功傳

“貧居鬧市無人問，富在深山有遠親”，《增廣賢文》里的這句至理名言，也是數學解題的高妙之舉，與“富翁”沾親帶故、建立聯系，以富帶窮，實現“共同富裕”，是解題的制勝策略之一。

例1：如圖，在△ABC中，高BE、CD交于H，D、E為垂足，若∠ACB=45°，AC=7，AE=3，試求BH的長。

分析：由AC=7，AE=3，知EC=4。

又∠ACB=45°，BE⊥AC，知BE=EC=4。

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，所以AB=5。

可見，△ABE為“富翁”，因此，應從尋找與△ABE相似的三角形入手，探索解題途徑。

顯然，△ABE∽△ACD，△ABE∽△HBD。從而有

例2：如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，若點P從點A沿AB向B以1cm/s的速度運動，點 Q從點B沿BC方向以2cm/s的速度運動，若P、Q兩點分別從A、B同時出發，問線段PQ與BD能否垂直？若能，求出此時AP的長度，若不能，說明理由。

分析：設經過x秒，PQ⊥BD，則AP= x，BQ=2x，從而PB=4-x，∵CD=AB=4cm，BC=6cm，從而BD=2。

∴△BCD為“富翁”，找與“富翁” △BCD相似的三角形，有△BCD∽△BMQ∽△PMB∽△PBQ。

即有三個三角形與△BCD相似，取誰與之搭配最佳呢？由于△PBQ的三邊皆可用x表示如下：

BQ = 2x，PB = 4-x， PQ=，

可見△PBQ為“富翁”，強強聯合，當然應利用△BCD∽△PBQ求解。

△BCD∽△PBQ 。

可見，線段PQ與BD能互相垂直，此時線段AP的長度為1cm。

例3：已知a，b是負整數，方程 x2+ax+b=0與x2-4x+3=0有一公共根，求a，b。

分析：方程x2+ax+b=0含待求系數a、b，而方程x2-4x+3=0系數全知（可謂“富翁”），因此，應從可求根的方程 出發，求a，b的值。

解：方程 x2-4x+3=0的根為x1 =1，x2 =3，若x=1為兩方程的公共根，則1+a+b=0。

∵a，b是負整數，

∴1+a+b≠0，故x=1不可能為兩方程的公共根。

若x=3為兩方程的公共根，則 9+3a+b=0，b=-（9+3a）

∵a，b是負整數，

∴a=-1或a=-2。

當a=-1時，b=-6；當a=-2時，b=-3。

例4：k取什么實數時，方程x2-（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根。

分析：觀察兩方程系數，皆未達到“溫飽”狀態，倘若合二為一，朝湊成“富翁”的方向變化，則可找到本題的求解方法。

解：x2-（k+2）x+12=0 （1）

2x2-（3k+1）x+30=0 （2）

（1）×3-（2） 得 x2-5x+6=0（“富翁”）， x=2或x=3。

當x=2時，代入（1）得k=6。

當x=3時，代入（1）得k=5。

∴k=6或k=5時，兩方程有一公共根。

從以上各例可見：“嫌貧愛富”找思路，自然流暢，直達目標。作為一種解題之法，應認真體會，用心應用。endprint