數學解題有妙招

劉長飛

提起數學教學，每個老師都有不同的感觸，但有一點是相同的，即都認為學生數學成績兩極分化現象非常嚴重。這種情況既不利于教學，又加大了備課難度，課堂效果差。因此，我試以幾何教學為例，探討如何培養學生的解題能力。

一、培養興趣，促進成功

心理學研究告訴我們：人都有想要達到目的的愿望，當他愿望實現時，就會感到由衷的滿足，甚至盼望“舉一反三”。學習也不例外。只要教師在教法上多用心，因材施教，調好學生特別是差生的“胃口”，對學生的進步給予及時的鼓勵，一定會有所收獲。

二、強化記憶，把握特點

如何充分利用大腦，讓裝進大腦的東西留下永久的記憶，需要我們學會記憶。

一般來說，人們容易記住自己感興趣、有特點、易理解的東西，而對那些枯燥、抽象的東西不易記住。因此，對幾何的概念、公式要強化記憶、重復記憶。特別要注意幾何圖形和概念、公式的邏輯關系，不能死記硬背。

記憶忘卻是有規律的，因此要反復記憶，最好把概念、公式運用于實例中，強化記憶。

三、培養邏輯思維和推理能力

學生在幾何證明題中常遇到以下幾個問題：心里明白，但不會書面表達；推理亂，證題過程繁瑣。究其原因，主要是對邏輯思維及推理能力的基本功訓練較差。要提高這方面的能力，教師應做好以下幾個方面的工作。

1.分析已知條件，通過聯想，讓學生掌握由因索果的思維方法。

題目的已知條件是完成結論的前提和基礎，也是由已知向結論過渡的出發點，“聯想”則是過渡的橋梁。經常訓練學生解析已知條件，聯想與其有關的定義、公理和定理，逐步引導學生推理論證，可有效克服證題入門難的缺陷。

如題：已知在△ABC中，O是內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D。求證：DB=DO=DC。

學生審題后，教師引導學生邊想邊議，不斷解析已知條件，再通過聯想，向求證的結論靠攏：由內心的定義知，三角形內角平分線相交于點O，進而可聯想到∠A的平分線必過點O，則A、O、D三點在一條直線上，于是∠BAD=∠DAC的結果就可根據已知條件的解析推出。

因∠A的平分線與△ABC的外接圓相交于點D，通過觀察就可想到A、B、D、C四點共圓，即可聯想出和圓有關的圓周角、圓心角以及這些角所對的弧、弦之間的關系定理，這樣首先可證出BD=DC。

要證DB=DO，就得找過渡條件。如設法造出一個等腰三角形，再借助三角形內心及外接圓的關系，可以想到連接BO，于是由三角形外角定理、圓周角定理推得∠OBD=∠BOD→DB=DO，從而使原題得證。

2.從分析結論產生聯想，培養由果追因的思維方法。

通過分析結論產生聯想，由果索因是幾何證題中常用的另一種基本邏輯思維方法。

如題：若O是△ABC的內心，AO的延長線交這個三角形的外接圓于D，交弦BC于點E，求證：AB·AC-BE·EC=AE2。

顯然，這里如果仍采用已知向結論順推， 就顯得關系較遠，不易思考。如果從結論出發，通過對結論的解析，分析它是在怎樣的條件下成立的，就會讓問題變得容易。

教師可提示學生要完成一個等式的證明，通?？梢詮牡仁降囊贿呏?，通過解析向另一邊靠攏。如果從左邊入手可作如下解析：

（1）等式左邊是一個“差”，其中含有AB·AC和BE·EC兩個積。

（2）AB·AC是兩條線段的積，而積往往是比例線段的另一種表達形式，它必與另兩條線段之間有比例關系，只要通過證兩個三角形相似，即可建立一個比例式。教師在引導學生探求題中已知條件是否提供了△ABE∽△ADC時，就使結論與已知條件產生了有機的聯系，學生的思路得到打開。

（3）同理解析BE·EC。

（4）建立兩個關系式后，教師應進一步向學生指出，在論證過程中注意觀察原式的右邊，設法向右邊靠攏，這樣兩式相減即可推出右邊，完成結論證明。

這種分析綜合的思維方法對解決復雜題很有幫助。一方面，用綜合法探求解題途徑，用遞推的方法使之逐漸接近結論；另一方面，用分析法設法先找一個包含舊結論而又容易從已知條件推出的新結論，以代替舊結論。這樣兩頭夾攻，可逐步縮短已知和求證之間的邏輯距離。

3.教會學生用精練、簡明的書面語言敘述、表達的能力。

書面表達論證題目的過程不僅是邏輯思維條理化的過程，而且是邏輯思維能力提高的過程。幾何證題不僅要求步驟簡明、精練，還要求圖形正確、格式合理。因此，怎樣畫圖、敘述、排列格式，甚至如何用“因為”“所以”等符號都屬于邏輯推理的訓練內容。

我從以下幾個方面對學生進行訓練。

（1）嚴格要求、訓練。從思維方法、邏輯語言、板書規范等方面給學生做出示范。

（2）從課堂問答到課外作業都要求學生做到一絲不茍。

（3）對于典型習題，要求學生先仿作，再過渡到獨立作業，發現問題后及時點撥。

（4）定期組織習題指導課，有計劃地進行指導和訓練。

（5）及時肯定學生有創見的解題方法。

4.多給學生想、練、問及討論的機會，調動學生的思維。

課堂中有意識地啟發學生多想、多練、多問，并開展多種形式的討論。特別是幾何教學中，可提出如下問題，激發學生的思考和討論。

（1）已知條件的命題有哪些？由已知條件可以聯想到哪些已學過的定理？這些聯想中哪些知識類似所求的結論？如果不能直接靠攏，可選擇怎樣的輔助線向結論靠攏？

（2）學生提出某種思路時，可設問，為什么要選擇這種方法？還有別的方法嗎？如果有，它與哪些條件有關聯？

（3）對于適宜用分析法的題，可設問，要完成這個結論的證明，必須具備什么條件？這些條件又與哪些知識有關？如何利用這些知識推出所證結論？

綜上所述，數學教學中，只要教師通過合理的訓練，使學生學會思考的方法，養成思考的習慣，掌握思考的規律和表達技巧，就能很好地完成培養學生邏輯思維及推理能力的任務。endprint