運用圖形演變深化矩形性質探究

【摘要】本文以《矩形》第一課時教學為例，論述運用圖形演變衍生的方式探究矩形的概念和性質的策略，提出把握知識聯系衍生矩形概念、深化認知矩形探究幾何性質、拓展探究特性、強化知識應用等教學建議。

【關鍵詞】矩形概念 矩形性質 平行四邊形 三角形

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）29-0084-02

矩形是初中幾何的重點圖形，也是一種特殊的平行四邊形，部編版教材在編排時將《矩形》放在《平行四邊形》之后，除了有意借助“平行四邊形”的探究方法，還利用矩形與平行四邊形之間存在的特殊關聯，通過適當的圖形運動可實現兩者的轉化，體現出兩者的性質相關。“矩形的概念及性質”是《矩形》第一課時的教學重點，教師應關注學情，精心設計教學環節，引導學生完成知識的過渡和性質的強化。

一、把握知識聯系，衍生矩形概念

矩形是平行四邊形的一種特殊的形式，在教學時教師首先要引導學生掌握矩形的概念，教材編排旨在以平行四邊形的定義為基礎，利用平行四邊形來完成矩形概念的衍生。在實際教學中，教師應把握矩形與平行四邊形的關聯，結合圖形運動、圖形特殊化生成矩形的概念。

綜合上述分析，矩形概念的衍生教學需要從兩方面進行：一是圖形運動，即以平行四邊形的運動變化為基礎，讓學生感知由平行四邊形演變出矩形的過程;二是圖形特殊化，把握矩形的直角，按照一般到具體的思路來生成矩形的概念。

教學中教師可以借助幾何畫板來呈現圖形變化，讓學生感知平行四邊形變化成矩形的過程，理解兩者的關聯，自然引出矩形的概念。如圖1所示，演示平行四邊形的一條邊繞著一個端點旋轉。當內角變為直角后（α→90°），讓學生觀察所形成的圖形，思考該圖形與平行四邊形相比存在什么特殊之處，從而得出“有一個角為直角的平行四邊形為矩形”的概念。對于這個概念，教師要引導學生明晰圖形概念的兩層含義：一是概念是圖形類別的判斷條件;二是圖形的概念中透露著特殊性。

完成矩形的定義教學后，教師可以從圖形特殊性的視角展開概念辨析，讓學生體會概念中“直角”的深刻意義。首先讓學生思考如下問題：①所有的矩形是否都是平行四邊形？②所有的平行四邊形是否均可稱之為矩形？③矩形與平行四邊形之間最大的區別是什么？然后讓學生觀察平行四邊形到矩形的衍生圖（如圖2所示），對于平行四邊形，其中含有一個直角則會演變為矩形，即“平行四邊形→直角→矩形”。深刻體會平行四邊形、矩形之間的關聯，理解“直角”是區分兩者最有效的判別條件，從而內化為“矩形是一種特殊的平行四邊形”。另外，還要明白“四個角均為直角”是矩形的特性，但不是矩形概念的本質內容。

通過畫板動態演示平行四邊形到矩形的過程，學生可以充分感知矩形與平行四邊形之間的聯系，正確區別兩者的特性差異。平行四邊形到矩形的衍生探究過程，可以遷移到菱形、正方形的探究學習中，從而幫助學生建立完整、系統的概念認知。

二、深化矩形認知，探究幾何性質

矩形是幾何的重點圖形，不僅含有平行四邊形的性質，同時還具有直角的特性，矩形性質的探究過程需要突出全面性和特殊性，即覆蓋平行四邊形的性質，凸顯直角的特性，同時深刻把握平行四邊形衍生矩形的過程，關注其中角的變化。

教學中教師首先引導學生回顧平行四邊形性質的探究思路，從而得出從邊、角、對角線、三角形等要素來探究矩形的性質，將矩形視為一種特殊的平行四邊形，整體感知其特性。為了更好地概括矩形的性質，教師可借助平行四邊形到矩形的衍生圖，引導學生結合直觀圖像來總結性質，設計如下活動。

活動一：如圖3所示，呈現平行四邊形轉化為矩形的過程，觀察矩形ABCD，回答下列問題。

①回顧平行四邊形的性質，從邊、角、對角線方面進行概括。②根據平行四邊形到矩形的過程，思考矩形是否含有平行四邊形的所有性質？③對比矩形與平行四邊形，從邊、角、對角線等方面思考矩形含有哪些平行四邊形沒有的性質？

教學互動中，引導學生關注平行四邊形到矩形的衍生過程，讓學生通過互動交流獲得平行四邊形與矩形的性質關聯與不同，并填寫下表。

表1 平行四邊形與矩形性質表

矩形具有平行四邊形的性質以及直角特性，學生通過對比觀察可以初步總結，但實際上還是停留在性質猜想階段。從“觀察→猜想→證明”的探究方式來看，依然需要結合幾何知識來證明矩形所具有的性質，進一步培養學生思維的嚴密性。

如證明矩形是對稱圖形，含有2條對稱軸，則可以讓學生準備一張矩形紙片，通過反復折疊來感知矩形的對稱屬性。對于矩形“兩條對角線相等”的性質，則可以采用幾何推理，呈現如圖4所示的矩形ABCD，給出矩形相應的條件，讓學生思考證明思路。

活動二：矩形性質證明

條件：對于矩形ABCD，已知AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°.

證明：AC=BD.

證明思路：思路1——三角形全等視角，證明△ABC?△DBC;思路2——三角形全等+等腰三角形，證明△AOD和△BOC為全等的等腰三角形。

把握平行四邊形性質的探究方式，從圖形衍生、知識關聯、幾何證明視角探究矩形的性質，可引導學生深刻感知矩形的性質，并對矩形的特性有一個全面的了解。同時，在矩形的性質探究證明過程中，可以培養學生的幾何推理能力以及數學思維能力。

三、拓展探究特性，強化知識應用

矩形與平行四邊形有著緊密的聯系，實際上矩形與三角形之間也存在一定的聯系，教師可以引導學生聯系對角線來全方位探究矩形，從中提取一些與三角形相關的特性。同時開展矩形特性的強化應用，為后續解析問題打牢基礎。

（一）矩形拓展，特性探究

在前面章節的學習中，通過構建平行四邊形得出三角形的中位線定理。聯系對角線可將矩形看成兩個全等的直角三角形的組合，結合中位線定理則可拓展探究與矩形對角線相關的特性。例如，如圖5所示矩形ABCD的對角線AC和BD的交點為O，引導學生觀察圖形，思考直角三角形ABC具有哪些特性，可以設置如下問題進行引導：①根據矩形的性質，分析點O位于△ABC斜邊AC的哪個位置？②觀察△AOB的邊，AO和BO具有怎樣的大小關系？③聯系上述結論，分析BO與AC的大小關系，可以得出怎樣的結論？

通過教學引導、互動交流，學生很容易發現BO=[1/2]AC，此時需要引導學生從直角三角形的視角來總結定理，確定BO和AC分別是Rt△ABC中的哪些特殊線段，即AC是Rt△ABC的斜邊，BO是斜邊AC上的中線。從而可以得出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質定理。

（二）問題剖析，特性應用

從三角形角度來探究矩形，可以得出直角三角形斜邊中線的性質，該性質對幾何問題的剖析有著極大的作用，在實際教學中可以引導學生解決相關的實際問題，進一步培養學生的邏輯思維。

例如，如圖6所示，在直角三角形草地上，有兩條相互交叉的小路BO和EF，點E、F和O均為路口端點，同時為所在三角形草地三邊的中點，試分析小路BO和EF的長度是否相等，請說明理由。

教學引導：教師首先引導學生認識直角三角形可視為一條對角線分割所得，然后結合直角三角形進行推理。根據中點條件推理“EF為Rt△ABC的中位線→EF=[1/2]AC”，聯系矩形“對角線相互平分”性質推理，得出“BO=AO=CO=[1/2]AC”的結論，從而得出BO=EF。

在性質應用拓展階段，將三角形的兩個重要性質放在一起設置拓展性思考題，學生可以體會兩個性質的應用價值。同時由矩形提取直角三角形性質的探究思路對于拓展學生的思維、開放學生的幾何視野有著極大的幫助。

總之，矩形作為初中幾何的重點圖形，在探究教學過程中需要把握與平行四邊形的關聯，合理利用平行四邊形的知識框架進行概念衍生以及性質探究，讓學生親身體驗圖形的演變過程，直觀概括、對比總結、強化理解矩形的性質，深入拓展探究，感悟利用特殊平行四邊形研究特殊三角形特性的策略，開放學生的思維，進而提升學生思維的靈活性。

作者簡介：曾玉惠（1979— ），女，廣西玉林人，大學本科學歷，一級教師，主要從事初中數學教學與研究。

（責編 林 劍）