一種基于壓縮感知的改進全變分圖像去噪模型?

王 俊 楊成龍

一種基于壓縮感知的改進全變分圖像去噪模型?

王 俊1楊成龍2

（1.陸軍軍官學院基礎部 合肥 230031）（2.陸軍軍官學院研究生管理大隊 合肥 230031）

提出一種改進的基于壓縮感知的全變分圖像去噪模型。該模型中，首先將含噪圖像稀疏表示，然后利用高斯隨機矩陣對變換后的系數進行測量，并將小波變換與全變分模型相結合，得到改進的全變分去噪模型，最后通過全變差重建算法對圖像進行重構，得到去噪后的圖像。Matlab仿真結果表明，論文提出的模型和傳統的去噪方法相比，峰值信噪比平均提高了近1.4dB，并且在有效去噪的同時很好地保留了圖像的邊緣和紋理細節信息。

壓縮感知；全變分；小波變換；圖像去噪；Matlab

AbstractIn this paper，an improved total variation model based on compression perception is proposed for image denoising.First of all，the image is sparse expressed by discrete cosine changes.Secondly the coefficient after the transformation is measured based on the gauss random matrix，than the wavelet transform and total variation model are combined to get an improved total varia?tion model.At last，the image is reconstructed by total variation reconstruction algorithm.Compared with the traditional denoising method，the Matlab simulation results show that the peak signal to noise ratio of the new model have increased nearly 1.4dB.Mean?while，it can keep image edges and details very well.

Key Wordscompressed sensing，total variation，wavelet transform，image denoising，Matlab

Class NumberTN911.73

1 引言

圖像去噪是數字圖像處理系統中最基本又極其重要的一個環節，傳統的圖像去噪方法主要分為兩大類，即空間域去噪方法和變換域去噪方法［1］。其中空間域去噪方法主要有均值濾波、中值濾波和高斯濾波等，這些濾波方法在濾除圖像噪聲的同時，往往會使圖像的邊緣和紋理信息變得模糊；變換域去噪方法主要有離散余弦變換和小波變換等，基于小波變換的圖像去噪方法因其具有良好的時頻局部化性質，在去噪的同時還能較好地保留圖像的細節信息。

近年來，基于偏微分方程的圖像去噪方法因其良好的去噪效果而受到國內外學者的廣泛關注。其中基于全變分模型的圖像去噪方法能夠獲得較好的去噪效果，但在處理圖像平坦區域時會產生“塊狀效應”。壓縮感知方法將采樣與壓縮合二為一，直接對信息進行測量，再通過稀疏變換將多數噪聲去除，最后通過重構算法實現圖像的恢復與噪聲的去除［2］。

本文在前人研究的基礎上，將新興的壓縮感知方法應用到圖像去噪中，同時，對全變分模型進行改進，在有效去噪的同時，保護圖像的邊緣和細節信息，從而實現良好的去噪效果。

2 壓縮感知理論

壓縮感知理論是 Candes［3］和 Donho［4］等于 2006年提出的，它的核心思想是一個稀疏信號的線性投影中的一小部分就已經包含了足夠的有效信息，只要信號是稀疏或可壓縮的，那么就可以通過一個測量矩陣以較低的采樣率隨機觀測信號，然后根據得到的少量觀測值，利用優化算法求解凸優化問題就可以高概率重構出原始信號。

壓縮感知理論由三個框架組成：信號的稀疏表示、觀測矩陣的設計、信號的稀疏重構［5］。

2.1 信號的稀疏表示

信號的稀疏表示是指當長度為N的信號x=[x1，x2，…，xN]T在 某 一 規 范 正 交 基ψ=[ψ1，ψ2，…，ψN]上的投影 s=[s1，s2，…，sN]T中的非零分量的數量k滿足k?N時，該信號可以稀疏表示為

此時稱信號x是k稀疏的，s為信號x的k稀疏表示，ψ為信號x的稀疏基。通常稀疏基可以選用離散余弦變換基和小波變換基。

2.2 觀測矩陣的設計

若要準確的恢復出原始信號，就必須求解式（1）欠定方程組，由于投影系數s是k稀疏的，因此，可以定義一個與稀疏基不相關的M×N(M?N)矩陣Φ對x進行線性測量，得到一個M維的線性測量值y:y=Φx，又因為x可以稀疏表示為x=ψs，因此有：

觀測矩陣的圖形如圖1所示。

圖1 觀測矩陣的圖形表示

其中Θ=Φψ是一個M×N矩陣，稱為傳感矩陣，如果要精確重構出信號x，傳感矩陣Θ必須滿足有限等距性質：

其中，常數 ρ∈(0，1)，觀測矩陣和傳感矩陣不相關是Θ必須滿足有限等距性質的等價條件，此時信號x就能夠從M個測量值中高概率重構。目前，常用的壓縮感知測量矩陣有高斯隨機矩陣、貝努利隨機矩陣和部分Fourier矩陣等。

2.3 信號的稀疏重構

信號的稀疏重構是指從測量值y中高精度重構出信號x的過程。Candes等證明信號的重構問題可以通過求解最小l0范數問題來解決。而Dono?ho指出l0問題雖然在理論上是最優的，但在實際中是不可行的，它是一個NP-Hard問題。因此，我們可以通過求解下列優化問題來得到信號x的稀疏形式 s?：

然后信號x就可以通過下式獲得精確重建：

目前，常用的信號重建算法有貪婪算法和基追蹤法。

3 基于壓縮感知和全變分的圖像去噪

3.1 全變分及改進的全變分圖像去噪模型

1992年，Rudin，Osher和Fatime首次將全變分引入圖像去噪領域［6］，開創了全變分圖像去噪方法，其模型表達式如下：

其中，u為觀測到的圖像，u0為原始圖像，?為梯度算子。從式（6）可以看出，全變分模型是一種各向異性擴散模型，擴散系數為1 ||?u，且只沿圖像梯度垂直的方向進行擴散，水平方向不進行擴散，因此它能兼顧圖像去噪和保護圖像的邊緣信息。但在圖像平坦區域不一定存在邊緣方向，此時若依然沿著邊緣擴散，則會使去噪后的圖像產生虛假邊緣，產生“階梯效應”，嚴重影響圖像的視覺效果。

為了克服全變分去噪模型這一弊端，本文利用小波分析具有良好的時頻局部化性質，能把圖像的紋理和結構信息表現在不同的分辨率層次上，在實現信噪分離的同時還能較好地保留圖像的細節信息這一特點，對全變分模型進行改進。即先將含噪圖像u進行小波軟閾值去噪，得到處理后的圖像u?，然后再對u?利用全變分模型進行二次去噪，得到改進的全變分去噪模型：

3.2 基于壓縮感知的改進全變分模型去噪步驟

1）對含噪圖像x做離散余弦變換，得到變換后的稀疏系數s；

2）量化處理變換域的系數，使之構成一個系數矩陣；

3）對系數矩陣進行壓縮編碼；

4）利用TV重建算法［7］解碼重構圖像。

4 實例分析

常用的圖像去噪客觀評價標準是峰值信噪比：

其中，M ，N分別是圖像的長和寬，I為原圖像，Iˉ為處理后的圖像，若峰值信噪比越大，說明去噪效果越好。

以大小為256×256像素的Lena圖像為例，將本文模型與小波軟閾值去噪方法、全變分模型、改進的全變分模型進行比較實驗。其中，所加噪聲為均值為0，方差為20的高斯白噪聲。圖2為幾種模型的去噪效果對比圖。

圖2 Lena圖像的實驗結果對比圖

從圖2可知，本文模型去噪效果明顯優于小波軟閾值去噪方法、全變分模型、改進的全變分模型。它不僅能夠有效去除圖像噪聲而且還能較好地保留圖像的邊緣細節信息。

表1為不同噪聲方差下不同方法的PSNR值比較。

表1 不同噪聲方差下各方法的峰值信噪比

從表1可知，本文模型對應的峰值信噪比最大，說明去噪效果最好。

5 結語

本文基于壓縮感知相關理論知識，提出一種基于壓縮感知的改進全變分圖像去噪模型。該模型的核心思想是先對含噪圖像進行離散余弦變換，然后將得到的稀疏系數利用高斯隨機矩陣進行測量［8］，并結合小波變換的優勢對全變分模型進行改進，從而消除“階梯效應”，最后通過TV重建算法來實現圖像的恢復以及噪聲的去除。大量實驗表明本文模型在有效去噪的同時，能夠很好地保留圖像的邊緣紋理等細節信息，且能夠取得較好的重構性能。

［1］徐立軍，楊秋翔，雷海衛.一種基于壓縮感知的改進全變分去噪方法［J］.微電子學與計算機，2016，33（6）：100-103.

XU Lijun，YANG Qiuxiang，LEI Haiwei.An improved to?tal variation denoising method based on compression per?ception［J］.Microelectronics and Computer，2016，33（6）：100-103.

［2］王晨.基于壓縮感知的圖像去噪方法的研究［D］.江蘇：江南大學，2014.

WANG Chen.Study on image denoising method based on compression perception［D］.Jiangsu：Jiangnan University，2014.

［3］Candes E，Tao T.Decoding by linear programming［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2005，51（12）：4201-4213.

［4］Donoho D.Compressed Sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1288-1304.

［5］林克正，魏穎，程衛月.壓縮感知的人臉圖像去噪［J］.哈爾濱理工大學學報，2015，20（5）：91-96.LIN Kezheng，WEI Ying，CHENG Weiyue.Compressed perception of face image denoising［J］.Journal of Harbin University of Science and Technology，2015，20（5）：91-96.

［6］RUDINL L，OSHER S，FATEMIE.Nonlinear total varia?tion based noise removal algorithms［J］.PhysiscaD，1992，60（1/4）：98-109.

［7］趙彥孟，宋建新.一種基于壓縮感知全變差算法的圖像去噪算法［J］.數字視頻，2014，38（5）：5-8.

ZHAO Yanmeng，SONG Jianxin.An image denoising algo?rithm based on compression perceptual total variation algo?rithm［J］.Digital video，2014，38（5）：5-8.

［8］樊立.壓縮感知在圖像去噪中的應用研究［D］.北京：北方工業大學大學，2013.

FAN Li.Application of Compression awareness in image denoising［D］.Beijing：North University of Technology，2013.

An Im proved Total Variation M odel for Image Denoising Based on Com pression Perception

WANG Jun1YANG Chenglong2
（1.Department of Basic，Army Officer Academy of PLA，Hefei 230031）（2.Graduate Management Team，Army Officer Academy of PLA，Hefei 230031）

TN911.73

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.030

2017年3月8日，

2017年4月23日

國家“973”重大專項“磁約束聚變堆內部件關鍵技術問題研究”（編號：2013GB113000）；“長脈沖H模的實現及相關機理研究”（編號：2014GB106000）資助。

王俊，男，博士，副教授，研究方向：偏微分方程及其數值解法等。楊成龍，男，碩士研究生，研究方向：偏微分方程圖像處理。