基于RBF-ARX模型的三容水箱系統預測控制?

劉麗麗 左繼紅 吳 軍 鄧秋連

基于RBF-ARX模型的三容水箱系統預測控制?

劉麗麗1，2左繼紅1，2吳 軍1鄧秋連1

（1.中南大學信息科學與工程學院 長沙 410083）（2.湖南鐵道職業技術學院 株洲 412001）

由于三容水箱是一個具有多變量、非線性和耦合特征的系統，難以建立精確的數學模型。為此，提出了基于RBF-ARX模型的預測控制策略。RBF-ARX模型是神經網絡RBF（Radial Basis Function）和線性自回歸ARX（Auto-Regres?sive eXogenous）模型兼容組合的模型，適用于非線性系統的建模。預測控制算法基于此模型預測對象輸出變化，并通過閉環控制，使誤差最小。該設計首先構建三容水箱系統的RBF-ARX模型，并辨識、優化模型參數。基于此模型設計了系統預測控制器，最后通過實時控制證實了該方法的可行性和有效性。

三容水箱；RBF-ARX模型；預測控制

AbstractThe three-tank water system which is multivariable，nonlinear and coupled with each other makes it difficult to es?tablish accurate mathematical model，for the problem，the design of predictive control algorithm based on RBF-ARX model are dis?cussed.This modeling method is a combination model based on the theory of neural network RBF（Radial Basis Function）and lin?ear autoregressive ARX（Auto-Regressive eXogenous）model，it is used to construct the model of nonlinear system.Predictive con?trol algorithm predicts system’s output，and makes the error minimum through closed-loop control.The structure of the three-tank water system’s RBF-ARX model is built firstly，then the model’s parameters are identified and optimized.Predictive control algo?rithm is taken to control the three-tank water system based on this model，the real-time control verify the feasibility and validity of the method.

Key Wordsthree-tank water，RBF-ARX model，predictive control

Class NumberTP273

1 引言

三容水箱具有滯后性、非線性和耦合性，它可以模擬工業控制中多種類型的多變量非線性系統，屬于過程控制中的控制對象。研究其建模及控制策略，對工程應用有重要的參考價值［1］。目前對它的研究主要是構建其精確數學模型，因其本身的不穩定、多變量、非線性及機械部件的摩擦、噪聲等干擾因素的存在，通常構建的數學模型結構繁瑣，計算量較大，參數辨識比較困難，并且無法準確描述其非線性特性。對其控制方法的研究主要是復雜控制算法如智能控制、預測控制和模糊控制等方面［2］，上述算法除模糊控制算法不需要精確模型外，預測控制算法、智能控制算法都需要有精確數學模型才能使控制算法發揮得更有效。

2 三容水箱液位系統

本實驗所用三容水箱系統包括水箱、數據采集卡、配電柜和計算機組成，結構如圖1所示。

圖1 三容水箱控制本體

圖1 中，三容水箱由盛水容器、驅動裝置和壓力傳感器幾部分組成，水泵、手動調節閥和電磁閥構成驅動裝置。水箱通過泵1、泵2為1#、3#水柱供水，通過電磁閥1#、2#和手動調節閥LV1、LV5來調節水流量。1#、3#水柱通過3#、4#電磁閥出水，2＃水柱通過LV2出水。LV3、LV4閥連接3個水柱，通過調節連接閥及出水閥可以增加系統的耦合和干擾性。

3 三容水箱系統的RBF-ARX模型及辨識

RBF-ARX模型融合了線性自回歸ARX（Au?to-Regressive eXogenous）模型［3］和神經網絡 RBF（Radial Basis Function）［4～5］，多用于非線性系統的建模，首先構建非線性系統的局部線性ARX模型，依存狀態變化的ARX模型系數采取神經網絡無限逼近，以此來描述系統的全局非線性。

針對兩輸入、兩輸出的三容水箱，兩輸入分別為1#電磁閥電壓u1和2#電磁閥電壓u2，兩輸出分別為1#水柱液面 y1和3#水柱液面 y2，構建RBF-ARX模型如式（1），式（1）模型中先構建系統基本線性ARX模型，采取高斯徑向基的神經網絡函數來逼近其時變的模型系數［6］。

其中，?i0為模型系數，模型階次用ny，nu表示，非線性環節數用h表示，ξ(t)代表白噪聲干擾，RBF網絡中心為 zj，m，cij，k(i=1，2，…，nj，j=y，u，v;k=0，1，2，…，m)為線性權系數，w(t-1)為非線性因素組合，可以是輸入序列組合、輸出序列組合或是二者的組合。Y(t)=[y1(t) y2(t)]T∈?是1#、3#水柱液面的輸出矩陣，U(t)=[u1(t) u2(t)]T∈? 是1#、2#電磁閥電壓輸入矩陣，λikj(k=1，2，…，m;i=y，u;j=1，2)為比例因子，其計算公式如下

其中||.||2代表矢量的2-范數。

模型辨識時，采集輸入輸出數據作為辨識數據，先將模型參數分為線性和非線性參數，再確定模型階次 ny，nu，這里采用AIC（Akaike Informa?tion Criterion）信息準則法來確定，該法常用來估算相應參數值，效果優良，計算公式如下

其中，L?表示模型的擬合度，k代表模型中的參數數量。針對本文研究對象三容水箱，循環計算使AIC值最小時對應的ny=4，nu=6。最后優化離線計算出模型參數。

圖2所示為三容水箱RBF-ARX建模精度。

圖2中，e（1）t、e（2）t分別代表1#和3#實際輸出水位和期望輸出的誤差，采用應殘差直方圖分析誤差分布。顯然，RBF-ARX模型下系統實際輸出與期望輸出間的誤差波動范圍小，且成正態分布，表明建模精度比較高，建模效果良好。

圖2 三容水箱RBF-ARX建模精度

4 基于RBF-ARX模型的預測控制策略

基于RBF-ARX模型的預測控制策略采取RBF-ARX模型，采用閉環輸出反饋預測系統輸出，適用于非線性復雜系統的控制算法，其算法結構如圖3所示。

圖3 基于RBF-ARX模型的預測控制結構圖

上圖中模型采取RBF-ARX模型，預測輸出根據RBF-ARX模型預測對象輸出，并與系統實際輸出比較計算出誤差，將模型預測輸出和誤差反饋給輸入端，并比較參考軌跡，優化計算出最優輸出，使系統的預測輸出量與參考軌跡的誤差最小。

綜上所述，根據控制算法結構圖，將模型（1）轉換成式（4）所示形式［7～8］。

式中

ξ(t)是高斯白噪聲，需滿足式（5）的代數方程：

式中Ft-1是σ代數，Ω是有限正值矩陣。

將模型（3）轉換成矩陣形式如式（6）所示。

式中

根據預測控制策略由模型（5）得到系統 j步向前預測輸出為

其中

的解。其中

其中，Yr(t)是期望參考輸出矩陣，N1、Nu分別為預測和控制時域，且有u(t+j)=u(t+Nu-1)(j≥Nu)，

由式（9）得

其中

定義優化目標函數如下

式中R(R1或R2)通常定義為R=rINu，r為常數。

通過以上公式求解控制信號U(t)為

5 預測控制結果分析

實時控制時，選取N1=8，Nu=4，采樣周期定1s，參考期望水位分別在10cm、20cm、30cm之間上升或下降，分析基于RBF-ARX模型的預測輸出，并與PID控制算法輸出結果比較，根據實驗情況，發現選取PID控制為以下時效果比較好。

1#液位：kp=0.0665，ki=0.00575；kd=0；

3#液位：kp=0.035，ki=0.0004；kd=0。

通過以上PID參數值對三容水箱進行控制，并將控制結果與基于RBF-ARX模型的預測控制結果進行比較，如下圖。

由圖4和圖6所示，當1#水柱液位輸出期望值由100mm上升到200 mm或由200 mm上升到300 mm時，兩種控制方法的輸出水位都能以最快速度上升到期望水位，但是PID控制器調節時間相對較長，結果基于RBF-ARX模型的預測控制算法控制液位穩定在期望值早于PID控制器。兩種控制方法的控制誤差尚可，均在1mm內。

圖4 1#水柱兩種控制方法效果比較（水位100mm～200mm上升）

圖5 3#水柱兩種控制方法效果比較（水位100mm～200mm上升）

圖6 1#水柱兩種控制方法效果比較（水位200mm～300mm上升）

圖7 3#水柱兩種控制方法效果比較（水位200mm～300mm上升）

由圖5和圖7所示，當3#水柱液位輸出期望值由100mm上升到200 mm或由200 mm上升到300 mm時，兩種控制方法的控制效果不如同樣條件下的1#水柱的控制效果理想，但是相對來說基于RBF-ARX模型的預測控制方法具有較小的超調和控制誤差。

圖8 1#水柱兩種控制方法效果比較（水位200 mm下降到100mm）

圖9 3#水柱兩種控制方法效果比較（水位200 mm下降到100mm）

由圖8和圖9所示，當1#、3#水柱液位輸出期望值由200mm下降為100mm時，兩種控制方法控制輸出及時響應，使液位以最快速度下降到期望輸出。但3#PID控制器的響應速度相對較慢，結果基于RBF-ARX模型的預測控制算法下降速度更快。

綜上，1#水柱液位的兩種控制算法控制精度都在1mm之內，3#水柱液位的基于RBF-ARX模型的預測控制算法控制精度較高。

6 結語

針對三容水箱的非線性耦合特性，提出了基于RBF-ARX模型的預測控制策略。介紹了RBF-ARX模型的由來，構建了三容水箱系統的RBF-ARX模型，對參數進行離線辨識。并基于此模型設計了預測控制器，采取閉環控制，使誤差降低到最小。最后通過實時控制效果，并與PID控制算法進行比較，證實該方法的有效性。

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Predictive Control for Three-Tank W ater System Based on RBF-ARX M ode

LIU Lili1，2ZUO Jihong1，2WU Jun1DENG Qiu lian1
（1.School of Information Science and Engineering，Central South University，Changsha 410083）（2.College of Hunan Railway Professional Technology，Zhuzhou 412001）

TP273

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.018

2017年3月16日，

2017年4月21日

2015年度湖南省教育廳科學研究資助項目“四旋翼飛行器的建模及控制策略的研究”（編號：15C0903）；2015年度國家自然科學基金項目“抗參數橫揺的欠驅動船舶航跡跟蹤控制研究”（編號：61403045）資助。

劉麗麗，女，碩士，講師，研究方向：復雜非線性系統建模及控制方法。左繼紅，男，碩士，講師，研究方向：復雜非線性系統建模及控制方法。吳軍，男，博士，講師，研究方向：復雜非線性系統建模及控制方法。鄧秋連，女，碩士，高級工程師，研究方向：復雜非線性系統建模及控制方法。