含勵磁環(huán)節(jié)的分數(shù)階電力系統(tǒng)混沌振蕩分析與控制

閔富紅 王耀達 竇一平

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含勵磁環(huán)節(jié)的分數(shù)階電力系統(tǒng)混沌振蕩分析與控制

閔富紅*王耀達 竇一平

(南京師范大學電氣與自動化工程學院 南京 210042)

該文以含勵磁環(huán)節(jié)的分數(shù)階四階電力系統(tǒng)模型為對象，研究其動力學行為并加以同步控制。首先，固定系統(tǒng)參數(shù)，利用分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜計算系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的最低階次。其次，以單變量法分別研究機械功率、阻尼系數(shù)和勵磁增益的改變對系統(tǒng)動力學行為的影響，通過數(shù)值仿真繪制系統(tǒng)隨參數(shù)變化下的分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜等，選取不同的系統(tǒng)初值，研究同一系統(tǒng)在不同初值的情況下存在的多吸引子共存現(xiàn)象。最后，基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和非線性反饋控制理論，設計同步控制器實現(xiàn)系統(tǒng)混沌控制，數(shù)值仿真驗證了所設計控制器的有效性。

分數(shù)階系統(tǒng)；四階電力系統(tǒng)；吸引子共存；同步控制器

1 引言

電力系統(tǒng)屬于復雜的非線性動態(tài)系統(tǒng)，時常伴隨一些分岔和混沌現(xiàn)象，嚴重影響系統(tǒng)的正常運行。一旦大型電力系統(tǒng)運行的可靠性遭到破壞，會導致一個或多個大區(qū)域停電，給國民經(jīng)濟造成巨大的損失，美國、巴西和我國均經(jīng)歷過類似的電力災難。因此，研究電力系統(tǒng)的動力學行為和控制策略，保證其正常運行成為了各國學者研究的重點。電力系統(tǒng)混沌特性的研究誕生于20世紀的80年代，同步發(fā)電機是電力系統(tǒng)最主要的設備，主導著系統(tǒng)的各種動態(tài)過程。王寶華等人[1]考慮到電力系統(tǒng)在周期性負荷擾動的作用下會產(chǎn)生混沌振蕩，針對擾動幅值未知和已知兩種狀態(tài)設計合適的back-stepping控制器，保證系統(tǒng)在大擾動下依舊可以恢復正常；Ni等人[2]探討了電力系統(tǒng)對負荷功率擾動的敏感性，并設計了等效快速終端模糊滑模控制器，在保證系統(tǒng)快速收斂到控制目標的前提下有效減輕和避免抖振問題；楊珺等人[3]在傳統(tǒng)電網(wǎng)模型基礎上，增加新能源并網(wǎng)環(huán)節(jié)，研究了并網(wǎng)逆變器中電氣參數(shù)的混沌振蕩。對于含勵磁環(huán)節(jié)電力系統(tǒng)的研究更接近實際運行情況，勵磁環(huán)節(jié)可以提高系統(tǒng)的運行穩(wěn)定性，但同樣會引發(fā)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩以及多吸引子共存的現(xiàn)象[4]。早在1999年文獻[5]對無窮大電力系統(tǒng)進行動力學特性分析時發(fā)現(xiàn)了當系統(tǒng)參數(shù)取某一特定值時，出現(xiàn)一個平衡點、一個穩(wěn)定的極限環(huán)和兩個混沌吸引子共同存在的情況。Min等人[6,7]根據(jù)是否考慮時滯因素，對含勵磁限制環(huán)節(jié)系統(tǒng)的分岔形式和多吸引子共存進行了分別討論。此外，隨著分數(shù)階微積分及其應用研究，有必要利用分數(shù)階方程更好地描述電力系統(tǒng)中的固有特性[8]。譚文等人[9]分析了分數(shù)階二階單機系統(tǒng)的動力學特性，并提出了合適的反饋控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的混沌同步控制，然而，對于含勵磁環(huán)節(jié)的分數(shù)階單機無窮大電力系統(tǒng)混沌特性研究，鮮少報道。

基于以上分析，本文基于單機無窮大電力系統(tǒng)，構(gòu)造了含勵磁環(huán)節(jié)的分數(shù)階四階電力系統(tǒng)模型。首先，通過改變系統(tǒng)的分數(shù)階次數(shù)、機械功率、阻尼系數(shù)和勵磁增益等系統(tǒng)參數(shù)研究其特有的動力學特性，進而根據(jù)參數(shù)分岔圖和Lyapunov 指數(shù)譜，分析系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的最低階次以及多吸引子共存現(xiàn)象與各變量的直接關系；其次，根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論[10]，設計合適的同步反饋控制器，實現(xiàn)了兩個具有不同運動行為的分數(shù)階電力系統(tǒng)同步控制，從而實現(xiàn)了多個電力系統(tǒng)之間的良好互聯(lián)，為電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行提供了重要依據(jù)。

2 分數(shù)階四階電力系統(tǒng)動力學特性

2.1 系統(tǒng)模型

同步發(fā)電機為電力系統(tǒng)提供源源不斷的能量，是整個電網(wǎng)的核心部分。研究電力系統(tǒng)動力學特性的關鍵是研究以同步電機為主要設備的單機無窮大系統(tǒng)。添加勵磁環(huán)節(jié)的單機無窮大電力系統(tǒng)模型如圖1所示，其中發(fā)電機的勵磁系統(tǒng)可用一個高增益的單時間常數(shù)傳遞函數(shù)來表達，變量為勵磁回路的放大增益，可以通過調(diào)節(jié)發(fā)電機內(nèi)部磁場和改變系統(tǒng)端電壓的大小提升電力系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性，變量是指母線電壓參考量，是勵磁限制其電壓參考量，為發(fā)電機端電壓，系統(tǒng)方程為

圖1 含有勵磁環(huán)節(jié)的電力系統(tǒng)模型

其中，發(fā)電機終端電壓：

結(jié)合電力系統(tǒng)實際操作參數(shù)和混沌研究的習慣，各系統(tǒng)參數(shù)取值如表1所示。

把參數(shù)代入到電力系統(tǒng)后得到新的數(shù)學方程為

表1系統(tǒng)參數(shù)取值

參數(shù)名稱數(shù)值參數(shù)名稱數(shù)值參數(shù)名稱數(shù)值 同步電機基頻60等值轉(zhuǎn)動慣量(H)5無窮大母線電壓1 傳輸線路電抗0.5發(fā)電機暫態(tài)電抗0.4發(fā)電機定子時間常數(shù)10 發(fā)電機態(tài)電抗1母線電壓參考量1.05勵磁時間常數(shù)1 勵磁限制器電壓考量2勵磁限制器電壓最小值0勵磁限制器電壓最大值5

注：表中各參數(shù)均取標幺值。

分數(shù)階微積分的定義是在整數(shù)階微積分定義的基礎上擴展開來的，在整個發(fā)展過程中涌現(xiàn)出了許多種分數(shù)階微積分的定義法則，其中最常用的是Riemann-Liouville(R-L)定義法。采用R-L定義法可以簡化分數(shù)階導數(shù)的計算過程，但該方法的使用前提是未知解在初值點處某個分數(shù)階導數(shù)的值已知，這個缺陷會造成其物理意義不夠明確。于是，本文采用Caputo微分定義式，即

(5)

以上為分數(shù)階微積分的標準定義。于是，結(jié)合式(3)，式(4)，式(5)和式(6)后得到分數(shù)階四階電力系統(tǒng)模型為

(7)

3 系統(tǒng)的動力學分析

下面研究分數(shù)階次數(shù)以及系統(tǒng)參數(shù)變化時，含勵磁環(huán)節(jié)的分數(shù)階電力系統(tǒng)動力學特性，并觀測到系統(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩以及多吸引子共存特性。

3.1系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的最低階次

3.2系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動力學行為

利用分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜對應展示系統(tǒng)吸引子隨參數(shù)變化的演變過程，由于勵磁環(huán)節(jié)為限幅的不連續(xù)環(huán)節(jié)，會使系統(tǒng)中出現(xiàn)多吸引子共存的現(xiàn)象，而主導這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是系統(tǒng)初始值不同，因此，采用不同的初始值共同繪制分岔圖，找出在同一分岔參數(shù)下吸引子共存的區(qū)域。通過多組迭代計算，在系統(tǒng)平衡點附近選取了兩組初始值為：,，并設分數(shù)階模型階次。系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(10)

圖2 系統(tǒng)隨階次變化的分岔圖

圖3 分數(shù)階四階電力系統(tǒng)隨機械功率變化時的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

(2)采取同樣的方法，依然是用前面的兩種初始值。設定初始值1，固定，控制參數(shù)在內(nèi)變化繪制分岔圖和李氏指數(shù)譜，如圖4所示。觀察分岔圖中的黑線部分，隨著發(fā)電機阻尼系數(shù)的不斷減小，減至，逐步進入到陰影區(qū)域，系統(tǒng)產(chǎn)生不規(guī)則的混沌振蕩，對應最大Lyapunov指數(shù)均為正值；同時，觀察分岔圖中從單周期走向混沌運動的全過程，系統(tǒng)在時從數(shù)值較小的二周期“跳躍”至較大數(shù)值的二周期狀態(tài)，并在時經(jīng)倍周期分岔開始呈現(xiàn)多周期，最后進入混沌運動；此外，用初始值2再次描述分岔圖，對不完整的部分做了補充，也證明了系統(tǒng)由于兩組解不同，在陰影區(qū)域中會呈現(xiàn)出不同的周期2的運動狀態(tài)。

圖4 分數(shù)階四階電力系統(tǒng)隨阻尼系數(shù)變化時動力學行為

圖5 分數(shù)階四階電力系統(tǒng)隨勵磁增益變化時的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

4 分數(shù)階四階電力系統(tǒng)同步控制研究

4.1 同步控制方法證明

目前針對分數(shù)階高階混沌系統(tǒng)的同步控制已經(jīng)有很多的研究成果，其中大部分都是針對連續(xù)分數(shù)階混沌系統(tǒng)。本文中的分數(shù)階高階電力系統(tǒng)模型，因為其中含有了勵磁調(diào)節(jié)部分，使得系統(tǒng)變得不連續(xù)，于是，需要根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性理論和非線性反饋控制方法實現(xiàn)分段分數(shù)階混沌系統(tǒng)的狀態(tài)同步控制方法[11,12]。

第1步，為了方便研究，將表1中系統(tǒng)參數(shù)代入式(9)，并將所有狀態(tài)變量和參數(shù)進行無量綱變化，得到驅(qū)動系統(tǒng)模型式(11)，

(12)

那么，對應的響應系統(tǒng)為

(14)

針對式(13)，式(15)，設計同步控制器結(jié)構(gòu)為

(16)

(18)

4.2仿真實驗

本文利用MATLAB仿真軟件，設計驅(qū)動系統(tǒng)的初始值為上文中的初始值1:，響應系統(tǒng)的初始值為對應的初始值2:，設置仿真步長為0.001，仿真時長為100 s。通過系統(tǒng)誤差圖6可以看到，當在響應系統(tǒng)中添加控制器(式(16))后，兩個系統(tǒng)的誤差迅速衰減為零，控制器性能良好，保證驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的完全同步。

圖6 加入控制器后系統(tǒng)同步誤差曲線圖

5 結(jié)論

本文研究了分數(shù)階無窮大電力系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，得出系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的最低階次為3.992。分析了系統(tǒng)隨3個參數(shù),和變化時的系統(tǒng)吸引子運動軌跡和吸引子共存情況，畫出分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，歸納出系統(tǒng)在不同的初始值時吸引子共存的參數(shù)條件，對比所有共存現(xiàn)象可知共存吸引子并不是一直存在的，兩個起始運行軌跡截然不同的吸引子最終都會融合并進入混沌運動狀態(tài)。最后，基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和非線性反饋控制理論設計了反饋同步控制器，快速、有效地實現(xiàn)了兩個四階分數(shù)階分段系統(tǒng)的完全同步，這一成果對于整個電力系統(tǒng)網(wǎng)絡的安全穩(wěn)定運行有著非同一般的意義。

[1] 王寶華, 楊成梧, 張強. 電力系統(tǒng)分岔與混沌研究綜述[J]. 電工技術學報, 2005, 20(7): 1-10.

WANG Baohua, YANG Chengwu, and ZHANG Qiang. Summary of bifurcation and chaos research in electric power system[J]., 2005, 20(7): 1-10.

[2] NI Junkang, LIU Ling, LIU Chongxin,. Fast fixed-time nonsingular terminal sliding mode control and its application to chaos suppression in power system[J].-:, 2017, 64(2): 151-155. doi: 10.1109/TCSII.2016.2551539.

[3] 楊珺, 王雅光, 孫秋野, 等. 智能電網(wǎng)的失穩(wěn)與混沌[J]. 東北大學學報(自然科學版), 2016, 37(1): 6-10. doi: 10.3969/j.issn. 1005-3026.2016.01.002.

YANG Jun, WANG Yaguang, SUN Qiuye,. Instability and chaos of smart grid[J].(), 2016, 37(1): 6-10. doi: 10.3969/ j.issn.1005-3026.2016.01.002.

[4] 余曉丹, 賈宏杰, 王成山. 時滯電力系統(tǒng)全特征譜追蹤算法及其應用[J]. 電力系統(tǒng)自動化, 2012, 36(24): 10-14. doi: 10.3969 /j.issn.1000-1026.2012.24.003.

YU Xiaodan, JIA Hongjie, and WANG Chengshan. An eigenvalue spectrum tracing algorithm and its application in time delay power systems[J]., 2012, 36(24): 10-14. doi: 10.3969/j.issn.1000-1026. 2012.24.003.

[5] VENKATASUBRAMANIAN V and JI W. Coexistence of four different attractors in a fundamental power system model[J].:, 1999, 46(3): 405-409.

[6] MIN Fuhong, WANG Yaoda, PENG Guangya,. Bifurcations, chaos and adaptive backstepping sliding mode control of a power system with excitation limitation[J]., 2016, 6(8): 08521401-08521411. doi: 10.1063/ 1.4961696.

[7] MA Meiling and MIN Fuhong. Bifurcation behavior and coexisting motions in a time-delayed power system[J]., 2015, 24(3): 03050101-03050109. doi: 10. 1088/1674-1056/24/3/030501.

[8] 胡建兵, 趙靈冬. 分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論與控制研究[J]. 物理學報, 2013, 62(24): 24050401-24050407. doi: 10.7498/aps.62. 240504.

HU Jianbing and ZHAO Lingdong. Stability theorem and control of fractional systems[J]., 2013, 62(24): 24050401-24050407. doi: 10.7498/aps.62.240504.

[9] 譚文, 張敏, 李志攀. 分數(shù)階互聯(lián)電力系統(tǒng)混沌振蕩及其同步控制[J]. 湖南科技大學學報(自然科學版), 2011, 26(2): 74-78.

TAN Wen, ZHANG Min, and LI Zhipan. Chaotic oscillation of interconnected power system and its synchronization[J].&(), 2011, 26(2): 74-78.

[10] 張友安, 余名哲, 耿寶亮. 基于投影法的不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)自適應同步[J]. 電子與信息學報, 2015, 37(2): 455-460. doi: 10.11999/JEIT140514.

ZHANG Youan, YU Mingzhe, and GENG Baoliang. Adaptive synchronization of uncertain fractional-order chaotic systems based on projective method[J].&, 2015, 37(2): 455-460. doi: 10.11999/JEIT140514.

[11] 王詩兵, 王興元. 超混沌復系統(tǒng)的自適應廣義組合復同步及參數(shù)辨識[J]. 電子與信息學報, 2016, 38(8): 2062-2067. doi: 10.11999/JEIT160101.

WANG Shibing and WANG Xingyuan. Adaptive generalized combination complex synchronization and parameter identification of hyperchaotic complex systems[J].&, 2016, 38(8): 2062-2067. doi: 10.11999/JEIT160101.

[12] 董俊, 張廣軍. 異結(jié)構(gòu)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)函數(shù)投影同步及參數(shù)辨識[J]. 電子與信息學報, 2013, 35(6): 1371-1375. doi: 10.3724/SP.J.1146.2012.01463.

DONG Jun and ZHANG Guangjun. Function projective synchronization and parameter identification of different fractional-order hyper-chaotic systems[J].&, 2013, 35(6): 1371-1375. doi: 10.3724/SP.J.1146.2012.01463.

Analysis and Control of Chaotic Oscillation in Fractional-order Power System with Excitation Model

MIN Fuhong WANG Yaoda Dou Yiping

(,,210042,)

Based on the four-order power system model, a fractional-order power system model with excitation model is presented in this paper and the dynamic properties of the fractional-order system are investigated and controlled. Firstly, the fractional-order power system of 4D is given and then the minimum order for existence of chaotic oscillation in power system with fixed parameters is achieved through bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent. Secondly, the influence of mechanical power, damping coefficient and excitation gain on system dynamics behavior is studied respectively. The bifurcation diagrams and Lyapunov exponent spectrum of the system are plotted through numerical simulations, respectively. In addition, the coexistence of attractors with different initial conditions in the same system is investigated. Finally, from the stability theory of fractional-order system and nonlinear feedback control theory, a synchronous controller of two power systems with different initials is designed, and numerical simulations show the effectiveness of the controller.

Fractional-order system; Four-order power system; Coexistence of attractors; Synchronous controller

TP271

A

1009-5896(2017)08-1993-07

10.11999/JEIT161398

2016-12-29；

改回日期：2017-03-01；

2017-05-26

閔富紅 minfuhong@njnu.edu.cn

國家自然科學基金(51475246)，江蘇省自然科學基金(BK20131402)

The National Natural Science Foundation of China (51475246), The Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20131402)

閔富紅： 女，1970 年生，副教授，碩士生導師，研究方向為非線性系統(tǒng)的混沌控制與同步.

王耀達： 男，1993年生，碩士生，研究方向為電力系統(tǒng)的動力學分析與控制.

竇一平： 男，1964 年生，副教授，研究方向為混沌理論在電機學中的應用.