一種基于奇異值分解的解相干算法

季正燕 陳 輝 張佳佳 李 帥 陸曉飛

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一種基于奇異值分解的解相干算法

季正燕*陳 輝 張佳佳 李 帥 陸曉飛

(空軍預(yù)警學(xué)院重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢 430019)

該文針對稀疏重構(gòu)解相干問題，利用接收數(shù)據(jù)廳奇導(dǎo)值分解(SVD)后的大特征值對應(yīng)的特征矢量，提出一種改進(jìn)解相干方法。該方法通過迭代這一特征矢量來重構(gòu)角度，無需知道信號源的數(shù)目，即可準(zhǔn)確重構(gòu)角度信息，實(shí)現(xiàn)解相干。相對于經(jīng)典SVD算法，所提算法運(yùn)算速度更快，稀疏重構(gòu)效果更優(yōu)。理論分析和仿真結(jié)果都驗(yàn)證了算法的良好性能。

信號處理；稀疏重構(gòu)；解相干；奇異值分解

1 引言

波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)一直以來都是陣列信號處理領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題，在雷達(dá)、導(dǎo)航、天文觀測、地震檢測等眾多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，2016年9月份投入啟用的500 m口徑球面射電天文望遠(yuǎn)鏡FAST，也是一種大型的天線陣列，可以利用空間譜估計(jì)算法從太空微弱的信號中獲取信號的方向信息。當(dāng)前國內(nèi)外將稀疏重構(gòu)應(yīng)用到DOA估計(jì)領(lǐng)域的一個(gè)重要問題是對相干信號的處理。傳統(tǒng)的空間譜估計(jì)算法解相干性能較差，必須進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)處理(目前主要有平滑處理和矩陣重構(gòu)兩類方法)，而且快拍數(shù)大于2~3倍系統(tǒng)自由度，這些應(yīng)用條件極大地約束著解相干方面的應(yīng)用。在實(shí)際陣列信號DOA估計(jì)中，由于物體反射、折射、地物遮擋和有源干擾等影響，觀測的空間中僅存在可計(jì)的相干信號源，可以認(rèn)為目標(biāo)在空域上是稀疏的，而稀疏重構(gòu)正是利用信號在空域上的稀疏性實(shí)現(xiàn)對入射信號角度的估計(jì)，且其對相干信號并不敏感，可以直接對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，為解相干信號開拓了另外一個(gè)思路。

當(dāng)前，基于稀疏重構(gòu)對相干信號的DOA估計(jì)問題，SVD類算法是一種重要的簡化計(jì)算的方法。最早的應(yīng)用是基于L1范數(shù)的L1-SVD算法[10]，該算法大大減少計(jì)算量、提高DOA估計(jì)性能，但仍存在必須要對信號源數(shù)已知的缺點(diǎn)，而且在解相干性能不是最優(yōu)的。為了克服L1-SVD算法對信源數(shù)必須已知的限制，基于數(shù)據(jù)協(xié)方差的SPICE算法[11]和SRACV算法[12]被提出，但同時(shí)增加了運(yùn)算量。文獻(xiàn)[13]利用協(xié)方差矩陣特征分解的特征值之間的顯著差異確定信號源數(shù)，在高信噪比的情況下效果較好，但信噪比小時(shí)特征值差異并不明顯。而后研究人員將SVD與貪婪類算法結(jié)合[14,15]，進(jìn)一步提高了運(yùn)算速度，但L1-SVD算法存在的根本問題還是沒有解決。

本文針對上述問題，從相干信號源這一角度出發(fā)，對相干信號數(shù)據(jù)秩虧損進(jìn)行全面的研究，利用最大特征值對應(yīng)的特征向量矩陣進(jìn)行稀疏重構(gòu)，解相干精度更高、運(yùn)算速度更快，進(jìn)而提出一種改進(jìn)的解相干算法，最后仿真分析該算法的解相干性能，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。

2 稀疏重構(gòu)框架下的陣列DOA估計(jì)模型

為簡便起見，本文采用等距均勻線陣為模型，結(jié)構(gòu)如圖1所示，個(gè)陣元均勻分布在間隔為的線陣上，設(shè)窄帶遠(yuǎn)場相干信號入射方向?yàn)椋x為相干入射信號與軸法線方向沿順時(shí)針的夾角，線陣接收角度的范圍為。本文主要討論解相干，信號皆為相干信號，此后不再贅述。

圖1中圓代表潛在信號，實(shí)心圓代表真實(shí)信號。

圖1 均勻線陣模型

在稀疏重構(gòu)的框架下考慮個(gè)潛在窄帶遠(yuǎn)場信號入射到陣元的線陣上，其中有個(gè)為真實(shí)存在信號(<<)，以最左側(cè)陣元作為參考點(diǎn)，個(gè)陣元接收的次快拍數(shù)據(jù)表示為

(2)

(4)

基于稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)解相干問題就是利用一個(gè)或多個(gè)快拍的陣列接收數(shù)據(jù)得到真實(shí)信源的到達(dá)角度,為真實(shí)存在信號的序號()，即由稀疏重構(gòu)，其本質(zhì)是一個(gè)求解范數(shù)約束下的最小化問題，考慮噪聲因素，其優(yōu)化函數(shù)為

3 利用數(shù)據(jù)最大特征向量解相干方法

3.1算法描述

當(dāng)陣列流型矩陣滿足約束等容(RIP)條件時(shí)，可通過求解數(shù)據(jù)矩陣來重構(gòu)。但數(shù)據(jù)矩陣有噪聲分量，使重構(gòu)的效果惡化。

定理 無噪情況下，當(dāng)所有信號源相干的時(shí)候，數(shù)據(jù)矩陣的最大特征向量包含所有的角度信息，該特征向量可以表示為

數(shù)據(jù)矩陣并不一定是方陣，所以對其進(jìn)行SVD分解：

(8)

(10)

以上談?wù)摰氖窃跓o噪的情況下的對應(yīng)關(guān)系，但現(xiàn)實(shí)中是有噪聲存在的。在有噪聲影響時(shí)，因?yàn)樵肼暈橄嗷オ?dú)立的零均值平穩(wěn)高斯的，所以特征值都會疊加由噪聲分解的近似同等的噪聲分量，特征向量每一列向量同樣會疊加近似同等的噪聲分量，大特征值對應(yīng)1維特征向量仍然完全包含所有信號，利用進(jìn)行稀疏重構(gòu)可以改善解相干效果。

(12)

(14)

3.2 算法步驟

基于以上的討論分析，本文提出一種改進(jìn)的MSO算法(Modified SVD OMP, MSO)，算法步驟如下：

步驟1 對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解，如式(8)；

步驟3 陣列流型矩陣為觀測矩陣，特征向量矩陣作為數(shù)據(jù)矩陣，記錄式(11)內(nèi)積最大值時(shí)所對應(yīng)的原子序號，初始特征向量為；

步驟6 利用式(14)更新殘差，剔除導(dǎo)向矢量中相應(yīng)原子，迭代次數(shù)；

步驟7 滿足式(15)時(shí)，停止迭代，輸出原子序號索引集合和相應(yīng)的相關(guān)值；否則繼續(xù)運(yùn)算步驟3。

3.3 MSO算法與基于正交匹配追蹤SVD算法和OMP算法的對比

為了對比方便，下面給出數(shù)據(jù)奇異值分解后包含信號的數(shù)據(jù)矩陣：

(1)關(guān)于運(yùn)算量的討論：在信號都是相干的情況下，MSO算法只對式(16)數(shù)據(jù)矩陣第1組(為常數(shù)，去掉后對結(jié)果無影響，即相當(dāng)于對大特征值特征向量處理)與陣列流型矩陣做自相關(guān)來重構(gòu)信號角度，基于正交匹配追蹤SVD算法利用式(16)組(為信號源數(shù))數(shù)據(jù)矩陣依次進(jìn)行計(jì)算，而OMP算法要對快拍數(shù)組原始數(shù)據(jù)運(yùn)算，MSO算法運(yùn)算時(shí)間最少。當(dāng)信號源個(gè)數(shù)較小時(shí)，基于正交匹配追蹤SVD算法運(yùn)算速度較OMP算法，運(yùn)算速度有優(yōu)勢，但當(dāng)信號源個(gè)數(shù)增加時(shí)，算法處理的信息量增加，運(yùn)算速度大大降低，尤其信號源數(shù)等于快拍數(shù)時(shí)，經(jīng)典的SVD算法不會減少計(jì)算量，而且由于還進(jìn)行奇異值分解，比OMP算法運(yùn)算速度更慢。

(2)關(guān)于重構(gòu)精度的討論：MSO算法與基于正交匹配追蹤SVD算法利用包含信號的數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行稀疏重構(gòu)，不同程度上消除噪聲的影響，在DOA估計(jì)精度方面較OMP算法要高。由式(16)可知，信號角度信息只分布在第1列數(shù)據(jù)中，其他列向量都是噪聲分量，相當(dāng)于基于正交匹配追蹤SVD算法多運(yùn)算了組噪聲誤差向量，所以MSO算法要比基于正交匹配追蹤SVD算法重構(gòu)精度高。

(3)關(guān)于對信號源數(shù)敏感程度討論：基于正交匹配追蹤SVD算法必須要有信號源數(shù)的先驗(yàn)信息，但在現(xiàn)實(shí)中信號源數(shù)是未知的，算法失效。補(bǔ)救的方法通常利用信號源估計(jì)方法(信息論方法、平滑秩序列法和蓋式圓方法等信源數(shù)估計(jì)方法)得到信號源數(shù)再進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，增加了計(jì)算量，或?qū)⑿旁磾?shù)直接設(shè)為快拍數(shù)的一半，但這樣誤差較大。MSO算法和OMP算法無需知道信號源數(shù)，可以快速重構(gòu)信號角度。性能比較如表1所示。

表1 3類算法性能比較

4 仿真與分析

本文仿真信號采用遠(yuǎn)場窄帶高斯信號，從大特征值個(gè)數(shù)、運(yùn)行時(shí)間和處理相干源個(gè)數(shù)3個(gè)方面進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

仿真1 相干信號與非相干信號奇異值分解特征值比較

實(shí)驗(yàn)仿真采用16陣元的ULA，快拍數(shù)為6，角度步長1°，角度分別為69°, 15°和9°。圖2為分別采用相干和非相干3個(gè)信號源原始數(shù)據(jù)奇異值分解后的兩組特征值。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖2可以看出，對于獨(dú)立信號源，奇異值分解后有和信號源數(shù)相同數(shù)目的大特征值，是沒有秩虧損的；而對于相干信號源，奇異值分解后只有一個(gè)大特征值，產(chǎn)生了秩虧損，唯一的大特征值對應(yīng)的信號數(shù)據(jù)包含了所有的角度信息。

仿真2 選擇后的原始數(shù)據(jù)的組數(shù)與運(yùn)算時(shí)間的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)采用16陣元的ULA，快拍數(shù)為6, 3個(gè)等功率相干信號源，方位分別是69°, 15°和9°，角度步長1°，圖3實(shí)驗(yàn)仿真了信噪比在5 dB, -3 dB分別對應(yīng)運(yùn)算組數(shù)與運(yùn)算時(shí)間的關(guān)系。

由圖3(a)可以看出，信噪比在5 dB時(shí)，隨著組數(shù)的增加，運(yùn)算時(shí)間增長，且斜率越來越大；圖3(b)可以看出在信噪比-3 dB時(shí)，有同樣的結(jié)論。當(dāng)組數(shù)為1的時(shí)候，即為MSO算法，運(yùn)行時(shí)間非常短；當(dāng)組數(shù)為3的時(shí)候，即為SVD算法，運(yùn)行時(shí)間是MSO算法6倍多；當(dāng)組數(shù)為6的時(shí)候，即為沒有進(jìn)行SVD分解的傳統(tǒng)OMP算法，運(yùn)行時(shí)間是MSO算法23倍多，是SVD算法3倍多。

仿真3 幅相一致時(shí)OMP, SVD與MSO算法的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)采用16陣元的ULA, 3個(gè)等功率同相位相干信號源，方位分別是9°, 15°和69°，實(shí)驗(yàn)仿真信噪比由-6 dB到4 dB時(shí)，OMP, SVD和本文提出MSO對信號源的估計(jì)的成功概率、估計(jì)偏差以及均方誤差根。仿真進(jìn)行200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。因?yàn)樵诮嵌冉^對值較大時(shí)，網(wǎng)格劃分存在較大偏差，則在實(shí)驗(yàn)中當(dāng)估計(jì)方位與實(shí)際方位左右偏差小于2個(gè)步長時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在信噪比小于0 dB時(shí)，MSO算法在方位估計(jì)成功概率要高于OMP算法和SVD算法，同時(shí)在信噪比小于-3 dB時(shí)SVD算法方位估計(jì)成功概率比OMP算法更高。隨著信噪比的增大，在均方誤差根這一性能指標(biāo)中，3種算法的均方誤差根均逐漸減小，MSO算法相對于其他兩種算法均方誤差根更小。

仿真4 幅相不一致時(shí)OMP, SVD與MSO算法的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)采用16陣元的ULA, 3個(gè)幅相不一致的相干信號源，方位分別是9°, 15°和69°，疊加的幅度分量分別為,,，相位分量分別為30°, 60°, 90°，實(shí)驗(yàn)仿真信噪比由-9~1 dB時(shí)，OMP, SVD和本文提出MSO對信號源的估計(jì)的成功概率、估計(jì)偏差以及均方誤差根。仿真進(jìn)行200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中當(dāng)估計(jì)方位與實(shí)際方位左右偏差小于2個(gè)步長時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在信噪比小于-6 dB時(shí)， MSO算法在方位估計(jì)成功概率要高于SVD算法和OMP算法。隨著信噪比的增大，在均方誤差根這一性能指標(biāo)中，隨著信噪比的增大，3種算法的均方誤差根均逐漸減小，MSO算法相對于其他兩種算法均方誤差根更小。與仿真3對比，3種算法對于幅相不一致的相干信號DOA估計(jì)性能更佳，是因?yàn)榉嗖灰恢聲r(shí)，相干信號之間可區(qū)分的信息更多。

5 結(jié)論

本文分析表明，對于完全相干的一組信號，原始數(shù)據(jù)會出現(xiàn)秩虧損，奇異值分解后有唯一的大特征值，這一大特征值對應(yīng)的特征向量包含了所有的角度信息，運(yùn)用此特征向量即可完美重構(gòu)所有相干信號的角度，實(shí)現(xiàn)解相干。在此基礎(chǔ)上從信號子空間大特征值對應(yīng)的特征向量出發(fā)，提出了一種改進(jìn)的算法MSO算法，該算法選取SVD算法中最大的特征值對應(yīng)的特征向量，運(yùn)用正交匹配追蹤(OMP)的思想進(jìn)行角度重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了比單一用基于正交匹配追蹤SVD算法更好的性能。最后仿真結(jié)果表明，與OMP和SVD算法進(jìn)行相比，該算法具有更好的算法穩(wěn)健性和更低的信噪比門限，運(yùn)算速度更快，重構(gòu)精度更高，對信號源數(shù)的敏感度更低，尤其在處理幅相不一致相干信號時(shí)，本文算法具有更佳的解相干性能。

圖2 奇異值分解特征值分布

圖4 幅相一致相干信號DOA估計(jì)性能

圖5 幅相不一致相干信號DOA估計(jì)性能

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Decorrelation Algorithm Based on Singular Value Decomposition

JI Zhengyan CHEN Hui ZHANG Jiajia LI Shuai LU Xiaofei

(,,430019,)

To solve the problem of coherent sources using sparse reconstruction method, this paper proposes an improved method for solving coherent sources using the eigenvectors corresponding to the largest eigenvalues after Singular Value Decomposition (SVD) decomposition of received data. The method reconstructs the angle by iterating the feature vector, and reconstructs the angle information accurately without knowing the number of the signal source. Compared with the classical SVD algorithm, the operation speed is faster, and the sparse reconstruction effect is better. Theoretical analysis and simulation results verify the good performance of the algorithm.

Signal processing; Sparse reconstruction; Decoherence; Singular Value Decomposition (SVD)

TN911.7

A

1009-5896(2017)08-1913-06

10.11999/JEIT161157

2016-10-28；

改回日期：2017-04-21；

2017-05-26

季正燕 13027199872@163.com

季正燕： 男，1992年生，助教，研究方向?yàn)閴嚎s感知、陣列信號處理.

陳 輝： 男，1974年生，教授，研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?

張佳佳： 女，1986年生，博士生，研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?

李 帥： 男，1991年生，碩士生，研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?

陸曉飛： 男，1993年生，碩士生，研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?