雙向受壓裂紋板剩余極限強度分析

陸亞兵，王德禹，2

1上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

2高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240

雙向受壓裂紋板剩余極限強度分析

陸亞兵1，王德禹1，2

1上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

2高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240

［目的］船舶在航行過程中船底板等船體結構除了受到縱向彎曲應力以及舷側外板傳遞的橫向水壓力載荷影響外，還因焊接及應力集中容易產生裂紋，使船體結構的承載能力降低。為此，［方法］通過數值計算，研究雙向受壓載荷作用下含中心裂紋船體板的剩余極限強度。首先，提出計算含裂紋船體板剩余極限強度的參數化函數模型；然后，計算和分析影響其強度的因素，如裂紋長度、傾角和船體板細長比、長寬比以及橫縱載荷比，并提出傾斜裂紋的有效投影長度參數；最后，基于計算結果，擬合得到雙向受壓載荷作用下含中心裂紋船體板的剩余極限強度計算公式。［結果］結果表明，運用計算公式得到的結果具有較高的精度，［結論］可用于對實船上含中心裂紋船底板縱向極限承載能力的計算分析。

剩余極限強度；含裂紋板；雙向受壓；非線性；有限元分析

Abstract：［Objectives］Such ship hull structures as inner bottom plates always bear complex loads involving the longitudinal bending stress and transverse in-plane stress transferred from the ship's side plates under water pressure.Additionally，the cracks that are likely to occur in welded joints and local stress concentration areas degrade the load bearing capacity of ship plates，so it is very important to assess the ultimate strength of cracked plates under biaxial compression.［Methods］First，the qualitative expression of the residual ultimate strength of cracked hull plates is deduced in theory.Next，the factors that influence residual ultimate strength are investigated by carrying out a series of Finite Element Analyses，including the length and inclined angle of the crack，aspect ratio and slenderness ratio of ship plate，and ratio between transverse and longitudinal in-plane stress，and an approach for the effective projected length of an inclined crack is obtained.Based on the numerical results，a simple empirical formula is proposed to calculate the residual ultimate strength of central cracked hull plates under biaxial compression.［Results］According to a relative error analysis，the caculated results has higher accuracy by the proposed formula，［Conclusions］whick can be used to accurately calculate the longitudinal ultimate strength of inner bottom plates.

Key words：residual ultimate strength；cracked plate；biaxial compression；nonlinear；Finite Element Analysis（FEA）

0 引 言

船體是典型的薄壁組合結構，對以往船體結構破損事故的調查發現，船體結構整體失效都是從局部船體板的屈曲或屈服崩潰開始。因受焊接工藝和應力集中的影響，船體板很容易產生裂紋，從而降低船體板的極限強度，進而減弱船體結構的整體承載能力，故在工程應用中能較準確地評估含裂紋船體板的剩余極限強度將具有重要意義。

Paik［1-2］通過對含裂紋板在軸向拉、壓力作用下的剩余極限強度進行實驗和數值計算分析，詳細討論了裂紋的位置、角度、長度、船體板厚度以及船體板細長比等因素對剩余極限強度的影響，提出了基于受損橫截面積的含裂紋船體板剩余極限強度的計算公式。Margaritis和Toulios［3］對含不同形式裂紋（橫向、傾斜和縱向等）加筋板的剩余極限強度和壓潰反應進行了研究，詳細分析了有限元算法、單元類型、邊界條件、網格密度和收斂性等建模要素對有限元計算結果有效性的影響。

Bayatfar等［4］通過數值計算分析了船體板和加筋板在受壓情況下裂紋的長度及位置對剩余極限強度的影響。對于含裂紋的加筋板，分析時主要考慮兩條加強筋之間的板上裂紋。計算結果表明，裂紋長度小于板寬的30%時，相較于含單邊裂紋船體板的剩余極限強度，含雙邊橫向裂紋船體板的剩余極限強度較小。Cui等［5］研究了單向受壓船體板極限強度的影響因素，如裂紋的長度、位置、角度等，以及裂紋對船體板屈曲模態的影響，提出了基于有效裂紋長度的剩余極限強度計算公式。胡勇等［6］分析和研究了各參數對于含裂紋損傷的板和加筋板剩余極限強度的影響，并提出了回歸公式。李景陽等［7］利用數值計算方法，分析了含中心裂紋的板在雙向受拉作用下的剩余極限強度，提出了極限拉伸強度計算公式。Alinia等［8-9］通過數值計算，分析了含中心裂紋以及邊緣裂紋船體板在剪切載荷作用下的屈曲、后屈曲以及極限承載能力，并討論了各要素的影響。Wang等［10］對比計算和分析了完整與受損的加筋板剪切極限強度，主要考慮由支撐結構扭轉剛度定義的4種不同邊界條件的影響，提出了等效裂紋長度的簡化計算方法，并基于完整加筋板的計算分析，推導出含裂紋板剪切極限強度的計算公式。

綜上所述，國內外目前對于在單一載荷（拉、壓、剪切力）作用下含裂紋船體板剩余極限強度的研究比較豐富。船舶在實際航行中，船體板架結構通常受到復雜的面內載荷（如軸向載荷、邊緣剪切載荷）和側向載荷（如水壓力載荷/貨物載荷）的影響，故需要詳細研究含裂紋船體板在組合載荷影響下的剩余極限強度。鑒于此，本文將主要研究在雙向受壓載荷作用下含中心裂紋船體板剩余極限強度的評估方法，討論各參數對含中心裂紋船體板剩余極限強度的影響；基于有限元計算結果，通過最小二乘法擬合，提出雙向受壓載荷作用下含中心裂紋船體板剩余極限強度的計算公式。

1 有限元模型

1.1 幾何尺寸及材料參數

根據文獻［5］，選取有限元模型船體板的長a=2 550 mm，寬b=850 mm，厚t=11 mm。假設材料應力應變關系服從理想的彈塑性關系，材料的屈服應力σY=313.6 MPa，彈 性 模 量E=205.8 GPa，泊松比v=0.3。

本文主要考慮中心位置的橫向、縱向以及傾斜裂紋對雙向受壓載荷作用下船體板剩余極限強度的影響。圖1所示為含中心裂紋船體板的雙向受壓幾何模型。圖中，c為裂紋長度，θ為裂紋傾角。圖2所示為含中心裂紋船體板的有限元模型及裂紋尖端細化模型。計算時不考慮裂紋尖端的擴展，建模時裂紋兩端取半圓形。

圖1 含中心裂紋船體板的雙向受壓幾何模型Fig.1 Geometric model of a central cracked plate under biaxial compression

圖2 含中心裂紋船體板的有限元模型Fig.2 Finite element model of a central cracked plate

1.2 邊界條件及加載方式

在實際船體結構中，為了增強船體板的承載能力，在板的四周設計有加強筋，且彎曲剛度較強。

船體板的邊界條件介于簡支與固支之間。本文采用船體板四周簡支的邊界條件，通過耦合約束各邊節點來確保四邊在極限狀態下保持直邊狀態。當有限元分析時，對四邊節點面外線位移進行約束，且除了垂直于板邊方向的轉動自由度外，其他轉動自由度也均進行了約束。船體板簡支邊界條件相較于固支邊界條件其四周剛度較低，計算得出的剩余極限強度較小，符合實際工程校核的保守需求。

1.3 初始缺陷

在焊接過程中，船體結構因局部區域受熱不均易產生焊接變形及殘余應力，從而降低船體結構的承載能力，故在計算分析其極限強度時，需考慮初始缺陷的影響。

本文主要考慮焊接變形對船體板極限承載能力的影響，采用傅里葉級數加載節點位移的方法對初始變形進行模擬。通常認為焊接時的初始變形幅值與結構的最低階屈曲模態相似，故按下式取級數的第1項模擬初始變形。

式中：ω為板內各點初始缺陷位移；A0為初始變形幅值；a/b為船體板長寬比；m為沿船體板板長方向的屈曲半波數，由式（2）決定，當a/b不是整數時，m取值為滿足式（3）的最小整數。

Smith等［11］通過統計分析，將測量得到的焊接變形幅值分為了3類：輕微變形、平均變形及嚴重變形。本文取平均變形值A0=0.1β2t，其中β為船體板細長比，計算公式如式（4）所示。計算時，對于本文中的船體板結構，當板厚t=11 mm時，船體板細長比β=3.02，對應的A0=10.03 mm。

1.4 有限元單元類型及計算方法

基于Abaqus非線性有限元分析軟件，考慮材料非線性與幾何非線性，采用Riks弧長法分析模型的極限強度。追蹤模型失效、破壞的完整過程，可以得到有明顯下降段的失效曲線以及準確的極限強度值。網格采用四節點、減縮積分的S4R單元，以避免體積自鎖的問題。因考慮了薄膜應變與任意的大轉動，所以適合于薄壁結構的有限元分析。

1.5 有限元模型驗證

有限元網格收斂性分析結果如表1所示。表中：Nx，Ny分別為含裂紋船體板沿板寬及板長方向的單元數；Ne為裂紋尖端單元數；Nsum為單元總數。由表1可知，3種網格尺寸對應的含裂紋船體板單向受壓極限承載能力的計算結果整體上差別較小。隨著網格密度的逐漸加大，數值計算結果收斂明顯，本文采用的細化網格與精細網格計算結果間的差值僅為0.11%，說明有限元計算模型具有較高的精度。

表1 收斂性分析結果Table 1 Results of convergence analysis

在采用有限元法進行計算分析之前，通過有限元軟件求解單向受壓載荷作用下完整板的極限強度，并與Faulkner［12］提出的經驗公式計算值進行比較分析。有限元計算值與經驗公式計算值的對比如表2所示。完整板的平均應力—應變曲線如圖3所示。圖中，σ和ε分別為平均應力和板應變值，εY為屈服應力對應的應變值。由對比結果可知，數值計算求解值較接近于經驗公式計算值，說明有限元計算模型有效。

表2 采用有限元法和經驗公式的極限強度計算值對比Table 2 Ultimate strength comparison of calculated results by FEM and emperical formula

圖3 有限元法和經驗公式計算的平均應力—應變曲線Fig.3 Average stress-strain curves of uncracked plate by FEM and empirical formula

2 含裂紋船體板剩余極限強度的理論分析

船體板剩余極限強度分析涉及材料和幾何非線性問題，目前尚無準確的解析求解公式。本文通過非線性有限元軟件，針對在雙向受壓載荷作用下影響含裂紋船體板剩余極限強度的多個重要因素進行了計算分析，這些因素包括裂紋長度c，裂紋傾角θ，船體板長寬比α，船體板細長比β以及船體板面內橫縱載荷比ψ。船舶結構中因總縱彎曲引起的縱向壓應力明顯大于在水壓力等載荷傳遞作用下的板內橫向壓應力。本文主要分析雙向壓力載荷作用下含裂紋船體板縱向極限承載能力的變化規律，其與各主要變量的關系由如下各式表示：

式中：σxu為含裂紋船體板的縱向極限承載能力；le為傾斜裂紋橫向有效投影長度；σy，σx分別為船體板橫向及縱向壓應力，且均考慮了均勻分布受壓情況。

故含裂紋船體板的剩余極限強度因子可表示為

式中，σxu0為完整板縱向極限承載能力。

本文采用控制變量方法進行系列數值計算分析，在分析單個變量對剩余極限強度的影響時，其他各變量均保持不變。計算選取的10個參照組如表3所示。

表3 含裂紋船體板的幾何尺寸及橫縱載荷比Table 3 Geometry properties of cracked plate and ratio between the transverse and longitudinal in-plane stresses

3 剩余極限強度有限元計算結果的分析和討論

3.1 裂紋有效長度的影響

由式（5）可知，裂紋有效長度是影響含裂紋船體板剩余極限強度因子的重要參數，且裂紋有效投影長度與裂紋長度和裂紋傾角相關。在探討裂紋有效長度對剩余極限強度因子的影響時，需要考慮橫向裂紋長度和裂紋傾角這2個因素。

3.1.1 橫向裂紋長度的影響

為了分析橫向裂紋長度與板寬的比值c/b對船體板剩余極限強度的影響，選取c/b=0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7共8個值進行計算。除裂紋長度及橫縱載荷比ψ相應變化外，其他參數均參照表3內第4組數據保持不變。

圖4所示為含橫向裂紋船體板剩余極限強度因子σxu/σxu0隨c/b的變化關系。由分析可知：當c/b≤0.3時，其對船體板剩余極限強度的影響較小；當c/b=0.3時，在單向受壓載荷作用下，σxu/σxu0=0.93；當ψ較小時，σxu/σxu0隨c/b的增大而降低，且兩者呈二次函數關系；而隨著ψ的增大，c/b對σxu/σxu0的影響逐漸減弱，當ψ=4/5和c/b≤0.6時，裂紋長度不會對剩余極限強度造成顯著影響，此時縱向剩余極限強度主要受橫向載荷的影響而折減。

圖4 剩余極限強度因子隨橫向裂紋長度與板寬比值的變化曲線Fig.4 Curves of ultimate strength factor in function of the the ratio between the length of transverse crack and the breadth of plate

圖5所示為在單向受壓極限狀態下含橫向中心裂紋船體板和完整板的薄膜應力分布。由圖5（b）可知，當c/b=0.2時，縱向薄膜應力(σxx)在船體板邊角點處略微下降，其他部位與完整板的應力分布基本一致。由圖5（c）可知，當c/b=0.5時，σxx沿船體板邊角點至邊中心有所下降，同時橫向薄膜應力σyy相較于完整板較小；當c/b=0.2時，船體板極限強度和完整板的較為接近；當c/b=0.5時，相較于完整板其明顯減小，即隨著裂紋尺度逐漸增大，相較于完整板其減小的程度越大。

圖5 單向受壓極限狀態下含橫向中心裂紋板和完整板的薄膜應力分布Fig.5 Membrane stress distributions in a transversal central-cracked plate and an intact plate at the ultimate limit state under axial compression

圖6所示為在雙向受壓極限狀態下含橫向中心裂紋船體板的薄膜應力分布。由圖可知，當ψ=4/5時，c/b=0.2和0.5兩種情況下板的薄膜應力分布基本一致，故當橫、縱向壓應力較大時，c/b對于含裂紋船體板的縱向極限強度幾乎沒有影響。

3.1.2 裂紋傾角的影響

為了分析裂紋傾角θ對船體板剩余極限強度的影響，選取θ=0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°共7個裂紋傾角進行計算。除θ及ψ相應變化外，其他參數均參照表3內第1組數據保持不變。

圖6 雙向受壓極限狀態下含橫向中心裂紋板的薄膜應力分布Fig.6 Membrane stress distribution in a transversal central-cracked plate at the ultimate limit state under biaxial compression

圖7所示為含傾斜裂紋船體板剩余極限強度因子隨傾斜裂紋橫向有效投影長度le與板寬b比值的變化關系。其中，有效投影長度按下式計算：

由圖7可知，含傾斜裂紋的船體板剩余極限強度因子隨c·cosθ的變化趨勢與含橫向中心裂紋船體板剩余極限強度因子隨c/b的變化趨勢一致，即對于含任意長度及裂紋傾角的船體板，均可通過式（10）計算其有效長度，并分析其對剩余極限強度因子的影響。故式（9）可表示為

圖7 剩余極限強度因子隨傾斜裂紋有效長度與板寬比值的變化曲線Fig.7 Curves of ultimate strength factor in function of the ratio of the effective projected length of inclined crack and the breadth of plate

圖8所示為在雙向受壓極限狀態下含傾斜裂紋船體板的薄膜應力分布。由圖8和圖6（a）的對比可知，除橫向拉應力部分在船體板邊中心處略微擴大外，當c/b=0.4和θ=60°時，含傾斜裂紋船體板與c/b=0.2時橫向裂紋板內的薄膜應力分布基本一致，且兩者的極限強度基本相等。故對于傾斜裂紋，可以通過橫向有效投影長度來表征其對含裂紋船體板極限強度的影響。

圖8 雙向受壓極限狀態下含傾斜裂紋板的薄膜應力分布（θ=60°，c/b=0.4，t=11 mm，α=3，ψ=4/5）Fig.8 Membrane stress distribution in an inclined-cracked plateattheultimatelimitstateunderbiaxialcompression（θ=60°，c/b=0.4，t=11 mm，α=3，ψ=4/5）

3.2 船體板長寬比的影響

Ueda和Yao［13］通過統計調查，將船體板長寬比α的范圍確定為2.65～4.41，而在浮式鉆井生產儲卸油輪（Floating Drilling Production Storage and Offloading，FDPSO）及軍艦內部結構中，α最大為5.0和6.0［14］。本文選取的α范圍為1.0～6.0。除橫向裂紋長度及α相應變化外，其他參數均參照表3內第9組數據保持不變。

圖9所示為完整板極限強度及含裂紋船體板剩余極限強度因子隨α的變化關系。由圖9可知，α對剩余極限強度因子的影響較小，可以忽略不計。故剩余極限強度因子可由式（11）表示為

圖9 剩余極限強度因子隨含橫向裂紋板長寬比的變化曲線Fig.9 Curves of residual ultimate strength in function of the length-width ratio of plate with transverse crack

圖10所示為在單向受壓極限狀態下完整板的橫向薄膜應力分布。其中，與圖5（a）對比可知，α主要影響橫向應力沿船體板長度方向分布的半波數，橫向薄膜應力分布及縱向薄膜應力分布基本保持一致，受壓極限強度基本保持不變。

圖10 單向受壓極限狀態下完整板的橫向薄膜應力分布（t=11 mm，α=4）Fig.10 Membrane stress distribution in an intact plate at the ultimate limit state under axial compression in the x direction（t=11 mm，α=4）

3.3 船體板面內橫縱載荷比的影響

對絕大多數船體結構的板材而言，縱向承載應力大于橫向承載應力，是其所受載荷應力的主要部分，即船體板面內橫縱載荷比ψ小于1。因此，本文選取ψ=1，4/5，3/4，3/5，1/2，1/3，1/4，1/5共8種值進行計算，以分析這些值對板剩余極限強度的影響。除ψ以及裂紋長度c相應變化外，其他參數均參照表3內第3組數據保持不變。

圖11 剩余極限強度因子隨面內橫縱載荷比的變化曲線Fig.11 Curves of residual ultimate strength factors in function of the ratio between the transverse and longitudinal in-plane stresses

圖11所示為含裂紋船體板剩余極限強度因子隨ψ的變化關系。由擬合結果可知，剩余極限強度因子隨ψ的增加而降低，呈較強的線性關系，且斜率絕對值隨裂紋長度c的增大而減小。在縱向單向受壓狀態下計算分析船體板的剩余極限強度，結果表明，當c/b≤0.3時，裂紋長度c對于船體板的承載能力折減影響較小，故在雙向受壓狀態下，c/b=0.1，0.2，0.3，0.4時的擬合曲線較為接近；同時，當c/b=0.7時，ψ對于船體板縱向承載能力的影響較小，此時剩余極限強度因子主要與裂紋長度c有關。

由圖6（a）和圖5（b）的對比可知，隨著ψ的增大，在極限狀態下船體板邊橫向薄膜壓應力分量增大，板邊中心的縱向薄膜壓應力變為拉應力，其雙向受壓狀態下的極限強度相較于單向受壓狀態下的極限強度顯著降低。由圖6（a）和圖6（b）的對比可知，當ψ=4/5時，c/b≤0.5的橫向裂紋長度幾乎對船體板的極限強度沒有影響，在雙向受壓極限狀態下其應力分布比較接近。

3.4 船體板細長比的影響

船體板細長比β顯著影響船體的極限承載能力。一方面，隨著板厚t的增大，幾何剖面模數增大；另一方面，基于三角級數的初始缺陷幅值A0與t成反比，亦即初始變形幅值隨板厚t的增大而減小，船體板的極限承載能力將得到提升。Paik和Thayamballi［15］在統計的基礎上，提出船體結構內部板材的β值范圍通常取為1.5～3.5，且板厚t較薄的β值更大，而因其極限承載能力較低，所以更容易受到破壞而失效。本文選取β=1.51，1.65，1.84，2.37，3.02，3.69共6種值進行計算。除ψ和β相應變化外，其他參數均參照表3內第7組數據保持不變。

圖12所示為含裂紋船體板剩余極限強度隨β的變化關系。由擬合結果可知，含裂紋船體板的剩余極限強度與β呈二次函數關系，剩余極限強度因子σxu/σxu0隨β是先增后減，裂紋對于t較大、β較小的船體板極限承載能力的折減影響更大，且隨著ψ的降低更明顯。

圖12 剩余極限強度因子隨含裂紋板細長比的變化曲線Fig.12 Curves of ultimate strength factor in function of the plate slenderness ratio

圖13所示為單向受壓狀態下完整板及雙向受壓極限狀態下含中心裂紋船體板的薄膜應力分布。由圖13（a）和圖5（a）對比可知，當船體板的厚度t增大，即β減小時，在單向受壓極限狀態下完整板的縱向薄膜應力增大，同時橫向薄膜應力減小，板的極限強度增大。由圖13（b）可知，當船體板存在橫向裂紋且c/b=0.5時，在雙向受壓作用下，船體板邊的橫向薄膜應力分布發生顯著變化，拉應力分布變為壓應力分布；同時，板邊的縱向薄膜應力明顯減小，兩者的影響隨板厚t的增加，含相同長度裂紋板的剩余極限強度因子相較于薄板的更小。

圖13 單向受壓極限狀態下完整板及雙向受壓極限狀態下含中心裂紋板的薄膜應力分布Fig.13 Membrane stress distribution in an intact plate at the ultimate limit state under axial compression and in a transversal central-cracked plate at the ultimate limit state under biaxial compression

4 雙向受壓狀態下含裂紋船體板剩余極限強度預報

由上述分析可知，含裂紋船體板剩余極限強度與裂紋長度c、裂紋傾角θ、板的細長比β及橫縱載荷比ψ相關。為獲得較為準確的經驗公式，選取了大量參照組，使用非線性有限元法求解相應模型的剩余極限強度。使用最小二乘法對樣本點進行擬合，得到如下含裂紋船體板剩余極限強度的函數關系式：

本文按照正比例函數擬合得到的標準差為0.020 8，說明擬合公式（13）可以接受。圖14所示為比例函數擬合公式（13）計算的結果與非線性有限元計算結果的對比。圖15所示為擬合公式（13）與非線性有限元計算值的相對誤差。其中，絕大部分樣本點的相對誤差均小于5%。綜合圖14和圖15可知，本文提出的經驗公式較為準確。

圖14 式（13）與有限元法計算值的對比Fig.14 Comparison of calculated values by Eq.（13）with calculated values by FEM

圖15 公式（13）計算值與有限元計算值的相對誤差Fig.15 Relative errors between calculated values by Eq.（13）and calculated values by FEM

根據上述分析，擬合公式（13）可適用于以下情況的剩余極限強度預報：

1）船體板四邊簡支、各邊無面外位移，在極限狀態下四邊仍保持直邊狀態；初始缺陷形式選取為三角級數第1階，且平均變形幅值取為0.1β2t。

2）裂紋位于船體板中心位置，且板內僅有1條裂紋，裂紋有效長度為板寬的0～0.7倍。

3）其他變量應滿足：船體板細長比β的取值范圍為1.51～3.69；橫縱載荷比ψ的取值范圍為0～1；裂紋傾角θ的取值范圍為0～90°；船體板長寬比α的取值范圍為1.0～6.0。

5 結 論

基于非線性有限元分析，本文對在雙向受壓狀態下含中心裂紋船體板的剩余極限強度進行了研究，分析了各主要參數對其的影響，并得出以下結論：

1）船體板上存在裂紋會降低板的承載能力，且隨著裂紋長度c的逐漸增大，板的剩余極限強度因子與裂紋長度c呈明顯的二次遞減關系；而對于任意傾斜裂紋，分析其有效投影長度對板的剩余極限強度因子的影響即可。

2）雙向受壓狀態下含裂紋船體板的剩余極限強度因子與β，ψ相關。其中，剩余極限強度因子與β呈二次函數關系，與ψ呈一次函數關系，而與船體板長寬比α則無明顯關系。

3）提出了雙向受壓狀態下含中心裂紋船體板剩余極限強度因子的計算公式，其可進一步應用于實船內含裂紋船體板的可靠性及風險評估。

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Assessment of residual ultimate strength of cracked plates under biaxial compression

LU Yabing1，WANG Deyu1，2
1 The State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China
2 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai 200240，China

U661.43

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.05.009

2017-03-17< class="emphasis_bold">網絡出版時間：

時間：2017-9-26 10:51

陸亞兵，男，1993年生，碩士生。研究方向：船體結構極限強度及優化。E-mail：1185154191@qq.com

王德禹（通信作者），男，1963年生，博士，教授，博士生導師。研究方向：結構動力學，計算結構力學。E-mail：dywang@sjtu.edu.cn

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170926.1051.020.html期刊網址：www.ship-research.com

陸亞兵，王德禹.雙向受壓裂紋板剩余極限強度分析［J］.中國艦船研究，2017，12（5）：75-83.

LU Y B，WANG D Y.Assessment of residual ultimate strength of cracked plates under biaxial compression［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（5）：75-83.