輕量化NURBS船體曲面自行設(shè)計垂向參數(shù)化方法

張彥儒，林焰，2，陸叢紅，紀(jì)卓尚

1大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連116085

2大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧大連116085

輕量化NURBS船體曲面自行設(shè)計垂向參數(shù)化方法

張彥儒1，林焰1，2，陸叢紅1，紀(jì)卓尚1

1大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連116085

2大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧大連116085

［目的］當(dāng)前常規(guī)的船體曲面設(shè)計局限于現(xiàn)有母型船設(shè)計空間，并且不能以足夠少的參數(shù)驅(qū)動生成設(shè)計船型。為了解決上述問題，［方法］將吃水函數(shù)與NURBS方法相結(jié)合，提出船舶自行設(shè)計垂向參數(shù)化方法。以船體水線為基本設(shè)計單元，以平底線、設(shè)計水線、首尾輪廓線、平邊線及最大橫剖線為特征約束，以特征參數(shù)對應(yīng)的吃水函數(shù)值為設(shè)計目標(biāo)，建立水線逼近模型?？蓱?yīng)用進(jìn)化算法對該逼近模型進(jìn)行求解，最后通過蒙皮法生成船體曲面。［結(jié)果］相關(guān)特征線的設(shè)計實例表明了該方法的實用性和先進(jìn)性。［結(jié)論］應(yīng)用該方法可以通過盡可能少的數(shù)據(jù)量完成船體曲面設(shè)計，且更適用于新船型的自行設(shè)計。

NURBS；船體曲面；自行設(shè)計；垂向參數(shù)化；特征線

Abstract：［Objectives］At present,conventional design is limited to parent ship design space,and cannot drive ship hull design using as few parameters as possible.In order to solve the above problems,［Methods］by combining the draught function with NURBS,a ship hull surface self-design method based on vertical parameterization is proposed.In this method,the waterline is designated as the basic design unit;the bottom flat end line,designed waterline,stem and stern contours,side flat end line and maximum section line are designated as the characteristic constraints of the ship hull;and the draught function values corresponding to the characteristic parameters are designated as the design objectives.In this way,a waterline approximation model is built,and an evolutionary algorithm can be used to solve the approximation model.Finally,the ship hull surface is generated on the basis of the waterline using the NURBS skinning technique.［Results］The design examples of the characteristic curves of the full-scale ship hull surface indicate the practicable and advanced nature of this method.［Conclusions］The hull surface can be designed with as little data as possible using this method,making it much more suitable for the self-design of new ship forms.

Key words：NURBS；hull surface；self-design；vertical parameterization；characteristic curves

0 引 言

船體曲面設(shè)計是船舶后續(xù)設(shè)計的基礎(chǔ)，非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS）是當(dāng)今船體曲面設(shè)計的主流方法。目前，船體曲面設(shè)計主要是基于型值點的設(shè)計。其過程是由型值點插值生成曲面截面線（B樣條曲線），再由曲面截面線蒙皮生成船體曲面［1-4］。其中，型值點的確定基本依據(jù)某種母型變換法。由于大部分基于NURBS的船體曲面設(shè)計方法不考慮權(quán)因子的作用，故截面線會退化為B樣條，其生成的曲面為插值曲面。插值曲面固有的算法會導(dǎo)致控制頂點數(shù)過多，不利于后續(xù)曲面的光順和修改。陸叢紅等［5］考慮NURBS的權(quán)因子，運用實數(shù)編碼的遺傳算法對船體水線進(jìn)行了逼近，之后該問題在文獻(xiàn)［6］中得到了進(jìn)一步的改進(jìn)。但上述文獻(xiàn)基本屬于船型的表達(dá)，還未上升到設(shè)計的高度。在船型設(shè)計方面，于雁云等［7］提出了一種船體曲面參數(shù)化設(shè)計新方法，該方法實質(zhì)上是船體曲面變換方法，即母型變換法。母型變換法雖然使設(shè)計船繼承了母型船的優(yōu)點，但也導(dǎo)致船體曲面在原有的設(shè)計圈中徘徊而難以創(chuàng)新。因此，研究一種數(shù)據(jù)量小，并且使設(shè)計不局限于已有母型“束縛”的船型自行設(shè)計方法具有重要意義。張萍等［8］提出一種光順曲線的參數(shù)化設(shè)計技術(shù)，研究了基于橫剖面面積“形心”的參數(shù)化船型設(shè)計方法，但其設(shè)計變量為型值點，設(shè)計截面線選擇的是橫剖線。由于橫剖線凸凹性不同，設(shè)計變量的數(shù)目和初值的設(shè)定難以統(tǒng)一，不利于構(gòu)建統(tǒng)一的優(yōu)化設(shè)計框架。因此在綜合對比船體特征線的形狀特點的基礎(chǔ)上，本文選擇將水線作為參數(shù)化設(shè)計的基本單元，給出輕量化的船體水線和首尾輪廓線的曲線設(shè)計模型，將吃水函數(shù)法［9］與NURBS方法相結(jié)合，構(gòu)建基于吃水函數(shù)的參數(shù)化自行設(shè)計系統(tǒng)。

1 NURBS

1.1 B樣條基函數(shù)

設(shè)U={u0，…，um}為非遞減的實數(shù)序列，即ui＜ui+1（i=0，…，m-1），稱ui為節(jié)點，U為節(jié)點向量，則第i個p次B樣條基函數(shù)Ni，p(u)定義如下［10］：

1.2 NURBS曲線定義

p次NURBS曲線定義為如下形式的分段有理參數(shù)曲線［10］：

式中：{Pi}為控制點列，其連線形成曲線的控制多邊形；{ωi}為對應(yīng)的權(quán)因子序列；{Ni，p(u)}為定義在非周期非均勻節(jié)點矢量上的p次B樣條基函數(shù)。

2 船體曲面特征線

如圖1所示，選擇船體曲面上的平邊線、首尾輪廓線、平底線、設(shè)計水線和最大橫剖線作為船體曲面設(shè)計的特征線?？紤]到平底線、設(shè)計水線及其他水線的形狀特征類似，在垂向參數(shù)化自行設(shè)計系統(tǒng)中可以統(tǒng)一為一類水線的設(shè)計；而首尾輪廓線、最大橫剖線和平邊線可以作為待設(shè)計水線的特征點控制線來進(jìn)行處理。因此，將先給出水線類的參數(shù)化設(shè)計模型，然后再給出首尾輪廓線、最大橫剖線和平邊線的參數(shù)控制模型，分別敘述如下。

圖1 船體曲面特征線Fig.1 Characteristic curves of hull surface

2.1 水線類設(shè)計模型

首先，簡化設(shè)計模型。船體水線一般是由首尾圓弧曲線（或直線）、首尾段自由曲線和中部的平直段直線部分構(gòu)成，如圖2所示。

圖2 水線分段Fig.2 Waterline segmentation

由圖2可知，船體水線的特征點為水線首尾端點，以及平直段的起止點，這些特征點可以由其他特征線，如首尾輪廓線和平邊線來界定；圓弧半徑在設(shè)計初期可以由吃水函數(shù)初步給定。另外，考慮到船體水線前體與后體的形狀類似，可以構(gòu)建統(tǒng)一的參數(shù)化設(shè)計模型。因此，將坐標(biāo)系原點設(shè)在舯橫剖面與中縱剖線的交點；X軸定義為中縱剖面與基平面的交線，指向船艏、船艉均為正；Y軸定義為舯橫剖面與基平面的交線，指向左舷為正；Z軸定義為中縱剖面與舯橫剖面的交線，向上為正。在此坐標(biāo)系下，給出水線前體的特征參數(shù)（對于水線后體的特征參數(shù)，只要把下標(biāo)f變?yōu)閍即可，下文不再贅述），如圖3所示。

圖3 水線前體特征參數(shù)Fig.3 Characteristic parameter of waterline forebody

圖中：Lwf為從船舯至船艏的水線前體長度，其值可以由首輪廓線確定；Lpf為從船舯測量的水線前體直線部分的長度，其值可以由平邊線確定；Bwf為在船舯的水線前體半寬值，其值由最大橫剖線確定；Cwf為水線前體的面積系數(shù)；CGwf為水線前體形心距船舯的距離；CGbwf為水線前體的形心半寬值；If為半進(jìn)流角（此處指水線自由曲線段起點處的切矢）；Rf為水線起點處圓弧半徑。上述值都是隨吃水而變化，可以由第3節(jié)中的吃水函數(shù)確定。當(dāng)這些值確定后，問題便可轉(zhuǎn)化為求解滿足給定特征參數(shù)的曲線逼近問題。下面，建立曲線設(shè)計模型。

2.1.1 設(shè)計模型的設(shè)計變量

設(shè)計變量的多少對參數(shù)化設(shè)計程序的效率影響較大。為了提高參數(shù)化程序的運行效率，經(jīng)過反復(fù)比較分析，證實利用3次NURBS曲線來設(shè)計水線前體可以滿足工程精度和靈活修改等要求。另外，因為首圓弧部分的形狀可以由水線前端點和圓弧半徑?jīng)Q定，所以本文在逼近模型中暫時不考慮首圓弧，將前體控制頂點的分布如圖4所示進(jìn)行設(shè)置。

圖4 水線前體控制頂點分布Fig.4 Control points setting for the waterline forebody

如圖4所示，圖中共有8個控制頂點（6個獨立位置），分為以下3類：

1）邊界控制頂點P0f,P4f-6f和P7f。其中P0f為水線首圓弧與自由段之間的切點，P4f-6f為水線前體平直段的首端點，P7f為水線與舯橫剖面的交點。

2）切矢控制頂點P1f和P3f。其中P1f與P0f的連線相切于首圓弧，P3f處于P4f-6f和P7f所確定的直線上，以達(dá)到自由段曲線與平直段和圓弧部分光順連接的目的。

3）形狀控制頂點P2f，其與P1f和P3f結(jié)合用來控制水線的形狀。

假設(shè)xi，yi，zi和ωi分別為控制頂點Pif（i= 0，…，7）的縱向坐標(biāo)、橫向坐標(biāo)、垂向坐標(biāo)和權(quán)因子。其中，zi的取值為待設(shè)計水線的吃水高度。根據(jù)控制頂點的分布特點可知：y7=y4-6=y3=Bwf；x7=0，x4-6=Lpf；tan(If)=(y1-y0)/(x1-x0)；x0=Lwf-Rf(1-sin(If))，y0=Rf·cos(If）。權(quán)因子ω0，ω4-6和ω7設(shè)置為1。因此，水線前體曲線的設(shè)計變量為［x1，x2，x3，y2，ω1，ω2，ω3］。

2.1.2 約束條件

因為水線不能產(chǎn)生迂回曲折現(xiàn)象，根據(jù)NURBS的凸包性質(zhì)，水線前體曲線的約束設(shè)置如下：

2.1.3 設(shè)計目標(biāo)

設(shè)Awf為待設(shè)計水線前體曲線自由曲線段與x軸所圍面積，CGxf和CGyf分別為其對應(yīng)形心的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)（這些值可以由水線特征參數(shù)確定），和分別為通過本文設(shè)計方法得到的水線前體自由曲線段的相應(yīng)參數(shù)，則水線前體設(shè)計目標(biāo)函數(shù)為

如上所述，將水線參數(shù)化設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為曲線逼近問題后，該逼近問題便可由進(jìn)化算法，如人機(jī)交互的遺傳算法［11］進(jìn)行求解（對于水線后體，只需把下標(biāo)f變?yōu)閍即可）。

下面，給出其他特征線的初步確定方法，以便在初始設(shè)計階段快速得到待設(shè)計水線的特征參數(shù)。

2.2 首尾輪廓線控制頂點分布和控制參數(shù)

經(jīng)過反復(fù)比較和分析，確定了3次NURBS曲線逼近首尾輪廓線，對控制頂點作如圖5和圖6所示的設(shè)置，能滿足工程精度及修改的靈活性等要求。

圖5 首輪廓線的控制頂點分布Fig.5 Control points setting for the stem contour

圖6 尾輪廓線的控制頂點分布Fig.6 Control points setting for the stern contour

2.2.1 首輪廓線控制頂點分布模型

如圖5所示，圖中共有14個控制頂點（12個獨立位置），分為以下3類：

1）邊界控制頂點V1f，V5f-6f，V10f-11f和V14f。其中V1f與平底線的首端點重合，V14f與甲板中心線的首端點重合，V5f-6f控制球艏最前端的延伸長度Lbf，V10f-11f控制球艏和首輪廓線懸伸部分的連接。后兩者為二重控制頂點，并分別與第2）類中相應(yīng)的切矢控制頂點控制曲線的切矢。對于特殊的球艏前端較平的首輪廓線，可以將V5f-6f分開設(shè)置，并使其連線平行于Z軸。

2）切矢控制頂點V2f，V4f，V7f，V9f和V12f。其中V2f與V1f的連線確定球艏底部的切矢；V4f，V7f與重頂點V5f-6f結(jié)合，控制球艏最前端曲線的切矢方向與Z軸平行；同理，V9f，V12f與重頂點V10f-11f結(jié)合，控制球艏與首輪廓線懸伸部分的連接曲線段有一段與Z軸平行。

3）形狀控制頂點V3f，V8f和V13f。其中V3f和V8f與V2f,V4f,V7f,V9f結(jié)合，可以通過調(diào)整得到多種形狀的球艏輪廓線；V13f與V12f和V14f結(jié)合，控制懸伸部分曲線的形狀。

2.2.2 尾輪廓線控制頂點分布模型

如圖6所示，圖中共有19個控制頂點（12個獨立位置），分為以下4類：

1）邊界控制頂點V1a，V4a-6a，V7a-9a，V12a-13a和V19a。其中V1a與平底線的尾端點重合，V19a與甲板中心線的尾端點重合，V4a-6a和V7a-9a控制尾軸出口形狀，V12a-13a控制球艉最尾段延伸長度Lba，并控制球艉和尾輪廓線懸伸部分的連接。

2）切矢控制頂點V2a，V11a和V14a。其中V1a與V2a的連線確定球艉底部的切矢；V11a和V14a與V12a-13a結(jié)合，控制球艉和尾輪廓線懸伸部分的連接曲線段有一段與Z軸平行。

3）形狀控制頂點V3a，V10a和V15a。其中V3a和V10a與V2a,V4a-6a,V7a-9a,V11a相結(jié)合，可以通過調(diào)整得到多種形狀的球艉輪廓線；V14a和V15a與V16a-18a結(jié)合，控制懸伸部分曲線的形狀。

4）艉封板平面控制頂點V16a-18a和V19a。三重控制頂點V16a-18a與艉封板最低點重合，其與V19a決定了艉封板最低點以上部分的輪廓線是直線，目的是保證船體曲面設(shè)計時艉封板為平面。

2.2.3 首尾輪廓線控制參數(shù)

首輪廓線的主要控制參數(shù)如下：

球艏長度Lbf

球艏高度Hbf

首輪廓線懸伸部分長度OHf

尾輪廓線的主要控制參數(shù)如下：

艉軸中心線高度 H

艉柱軸轂高度 h

球艉長度Lba

球艉高度Hba

尾輪廓線懸伸部分長度OHa

2.2.4 首尾輪廓線的確定方法

首先，根據(jù)首尾輪廓線的控制參數(shù)確定輪廓線的邊界控制頂點位置，然后再調(diào)整切矢和形狀控制頂點的分布，以得到滿足設(shè)計意圖的首尾輪廓線。首尾輪廓線確定后，待設(shè)計水線的特征參數(shù)Lwf也隨之確定。

2.3 最大橫剖線

常見的最大橫剖線形式按舭部形狀的不同主要分為圓舭型、斜底型+圓舭型、橢圓舭型，它們形狀簡單，可以通過先確定其形狀參數(shù)，然后再根據(jù)形狀特征給出以吃水為變量的分段函數(shù)來確定形狀。下面以圓舭型最大橫剖線為例來說明函數(shù)形式，如圖7所示。

圖7 圓舭型舯剖面Fig.7 Round bilge type of midship section

圓舭型最大橫剖線的形狀參數(shù)只有一個，就是圖7所示的圓弧半徑R。其半寬關(guān)于吃水的函數(shù)可以寫成

式中：B為型寬；T為設(shè)計吃水。其他形式的最大橫剖線也可以通過給出以吃水為自變量的函數(shù)形式來確定Bwf，這里不再贅述。

2.4 平邊線

平邊線與水線前體的交點對應(yīng)水線前體的平直段Lpf。平直段長度對船型的光順性影響不大，因此在初步設(shè)計階段可以按參數(shù)多項式表示為［9］

其中形狀參數(shù)為：平底線首部平行中體長度Lpf0和設(shè)計水線首部平行中體長度Lpfd。在設(shè)計時，可以先按照公式值繪出平邊線，然后再逐漸調(diào)整平邊線以滿足設(shè)計要求。

3 吃水函數(shù)

吃水函數(shù)的選擇對船型的光順性影響很大，文獻(xiàn)［9］在文獻(xiàn)［12］的基礎(chǔ)上對吃水函數(shù)進(jìn)行了引申。本文先以文獻(xiàn)［9］中設(shè)計的吃水函數(shù)的值作為基礎(chǔ)值，繪制吃水函數(shù)曲線，并在此基礎(chǔ)上，根據(jù)待設(shè)計的船體型線形狀特點調(diào)整吃水函數(shù)曲線形狀，反復(fù)調(diào)整，直至得到滿意的型線。其吃水函數(shù)的數(shù)學(xué)公式如下所示。

3.1 進(jìn)去流角i

進(jìn)去流角的垂向函數(shù)采用二次多項式方程［9］：

確定系數(shù)c1，c2，c3的形狀控制參數(shù)為：i=ij（j=1，2，3），并且i(z)=(Lwf(z)-Lpf(z))If(z)/Bwf(z)。

3.2 圓弧半徑r

首圓弧半徑曲線垂向函數(shù)采用三次多項式方程［9］：

確定系數(shù)c1，c2，c3，c4的形狀控制參數(shù)為：r=rj（j=1，2，3，4），并且r(z)=(Lwf(z)-Lpf(z))Rf(z)/。

3.3 水線面系數(shù)Cw

水線面系數(shù)垂向函數(shù)是對光順性能影響較大的吃水函數(shù)，可以按下面的方程粗略處理［9］：

確定系數(shù)c1，c2，c3的形狀控制參數(shù)為：平底線的水線面系數(shù)Cwf0和設(shè)計水線的水線面系數(shù)Cwfd，以及

式中：Cbf為船舶前體的方形系數(shù)；Lppf為艏垂線至船舯的距離。

3.4 水線面形心位置

1）水線面形心距船舯的距離。

水線面形心的垂向函數(shù)是對光順性能影響較大的吃水函數(shù)，可以按下面的方程粗略處理［9］：

確定系數(shù)c1，c2，c3的形狀控制參數(shù)為：平底線的形心距船舯的距離CGf0和設(shè)計水線的形心距船舯的距離CGfd，以及

式中，Lcbf為船舶前體的浮心距船舯的距離除以艏垂線至船舯的距離Lppf，并且cgwf(z)=CGwf(z)/Lwf(z)。

2）半水線面形心距中線的距離。

半水線面形心的垂向函數(shù)是對光順性能影響較大的吃水函數(shù)，可以按下面的方程粗略處理：

確定系數(shù)c1，c2，c3的形狀控制參數(shù)為：平底線的形心半寬CGbwf0和設(shè)計水線的形心半寬CGbwfd，以及任一水線的形心半寬，并且cgbwf(z)=CGbwf(z)/Bwf(z)。

4 設(shè)計流程

船體曲面的生成分為以下幾個步驟：

1）根據(jù)確定的主尺度和最大橫剖線類型，確定最大橫剖線形狀；

2）根據(jù)第2.2節(jié)所述，確定首尾輪廓線形狀；

3）根據(jù)第2.1節(jié)所述，確定平底線和設(shè)計水線形狀；

4）根據(jù)第2.4節(jié)所述，確定平邊線形狀；

5）由前4步確定的特征線，確定第3節(jié)中各吃水函數(shù)的系數(shù)；

6）由確定的吃水函數(shù)，得到特定吃水下水線的幾何設(shè)計目標(biāo)和幾何約束信息，并根據(jù)第2.2節(jié)所述建立曲線逼近模型，運用進(jìn)化算法進(jìn)行求解；

7）根據(jù)步驟6）得到的水線族蒙皮生成船舶曲面。

5 設(shè)計結(jié)果

圖8所示為7 000 t散貨船設(shè)計水線（7 000 WL）的設(shè)計結(jié)果以及控制頂點的分布。表1列出了設(shè)計目標(biāo)值（水線自由曲線段面積和水線形心位置）、設(shè)計逼近數(shù)據(jù)以及逼近水線與設(shè)計目標(biāo)間的偏差，其中|Error|為行為設(shè)計目標(biāo)與近似水線特征參數(shù)的相對誤差。表2列出了逼近水線的定義數(shù)據(jù)（控制頂點坐標(biāo)及權(quán)因子），其中x行和y行分別為控制頂點的x，y坐標(biāo)，ω行對應(yīng)控制點的權(quán)值。由相對誤差可知，運用本文的逼近模型進(jìn)行求解，在滿足工程精度要求的前提下可以得到滿足設(shè)計人員設(shè)計意圖的設(shè)計結(jié)果。

圖8 設(shè)計水線（7 000 WL）設(shè)計結(jié)果及控制頂點分布Fig.8 Designed waterline（7 000 WL）design results and control points distribution

表1 設(shè)計水線（7 000 WL）的設(shè)計目標(biāo)、設(shè)計逼近數(shù)據(jù)及其相對誤差Table 1 Design objective，approximate design data and errors of the designed waterline（7 000 WL）

表2 設(shè)計水線（7 000 WL）的控制頂點坐標(biāo)及權(quán)因子Table 2 Control points and weights of the designed waterline（7 000 WL）

圖9給出了根據(jù)本文方法得到的船舶水線及其控制頂點分布，表3給出了整個船體型線的逼近設(shè)計結(jié)果，表4給出了整個船體水線控制頂點的坐標(biāo)及對應(yīng)的權(quán)因子。

圖10給出了根據(jù)圖9截面線蒙皮生成的船體曲面。

從圖10可以看出，由本文方法得到的曲面是初光順的，造成其些微不光順的原因是吃水函數(shù)中形狀參數(shù)的取值不夠協(xié)調(diào)。因此，下一步的研究工作將考慮如何快速得到協(xié)調(diào)的形狀參數(shù)，或更科學(xué)的吃水函數(shù)。

圖9 水線設(shè)計結(jié)果及其控制點分布Fig.9 Waterline design results and control points distribution

圖10 船體曲面Fig.10 Hull surface

表3 整個船體型線的設(shè)計目標(biāo)、設(shè)計逼近數(shù)據(jù)及其相對誤差Table 3 Design objective，approximate design data and errors of the designed hull lines

表4 水線控制頂點坐標(biāo)及權(quán)因子Table 4 Control points and weights of the waterline

表4（續(xù)）

6 結(jié) 語

通過分析船舶各個特征線的形狀特征，提出了基于NURBS的垂向參數(shù)化船型自行設(shè)計方法。該方法給出了輕量化的首尾輪廓線和水線的NURBS逼近模型，并在此基礎(chǔ)上以吃水函數(shù)為紐帶，將船型設(shè)計轉(zhuǎn)化為特征參數(shù)設(shè)計和特征線設(shè)計。該方法實現(xiàn)了用較少參數(shù)來驅(qū)動生成設(shè)計船型的目的。設(shè)計實例表明在船舶初始設(shè)計階段該設(shè)計方法可行。后續(xù)的研究可以考慮如何在參數(shù)化設(shè)計船舶特征線時，選擇或改進(jìn)進(jìn)化算法，以提高設(shè)計效率和設(shè)計穩(wěn)定性，也可以總結(jié)各個船型的型線特征，給出系列船的吃水函數(shù)回歸公式，以指導(dǎo)吃水函數(shù)曲線形狀的調(diào)整。

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Lightweight hull surface self-design vertical parameterization method based on NURBS

ZHANG Yanru1，LIN Yan1，2，LU Conghong1，JI Zhuoshang1
1 School of Naval Architecture Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116085，China
2 State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116085，China

U662.2

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.05.004

2017-03-10< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間：

時間：2017-9-26 11:03

國家自然科學(xué)基金資助項目（E091002-51109033）

張彥儒，男，1985年生，博士生。研究方向：計算機(jī)輔助船舶設(shè)計。E-mail：zhangyanru96@163.com林焰，男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：船舶與海洋結(jié)構(gòu)物數(shù)字化設(shè)計方法與軟件開發(fā)。E-mail：linyanly@dlut.edu.cn

陸叢紅（通信作者），女，1972年生，博士，副教授。研究方向：船舶設(shè)計及設(shè)計共性基礎(chǔ)技術(shù)。E-mail：lchcad@dlut.edu.cn

紀(jì)卓尚，男，1938年生，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：船舶與海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計制造技術(shù)。E-mail：jizshang@dlut.edu.cn

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170926.1103.028.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

張彥儒，林焰，陸叢紅，等.輕量化NURBS船體曲面自行設(shè)計垂向參數(shù)化方法［J］.中國艦船研究，2017，12（5）：30-37，45.

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