基于等距線陣的四種DOA估計算法性能分析

馬怡

（河海大學(xué) 計算機(jī)與信息學(xué)院，江蘇 南京 211100）

基于等距線陣的四種DOA估計算法性能分析

馬怡

（河海大學(xué) 計算機(jī)與信息學(xué)院，江蘇 南京 211100）

陣列信號處理技術(shù)在遠(yuǎn)場信號DOA的估計方面的研究成為熱點。本文就四種經(jīng)典的DOA估計算法：MUSIC算法、ESPRIT算法、TLS-ESPRIT算法和Toeplitz矩陣重構(gòu)算法進(jìn)行對比研究，目的是為工程實現(xiàn)算法的選擇提供了一個參考的理論依據(jù)。就筆者所知，對這4種算法性能比較分析的公開報道較少。通過MATLAB軟件仿真的方法，分析了各算法的優(yōu)缺點，并總結(jié)出各算法適用范圍和其理論依據(jù)。

DOA估計；MUSIC算法；ESPRIT算法；Toeplitz算法

Abstract:The research of array signal processing technology in the estimation of the far field signal DOA has become a hot spot.To provide a reference to the theoretical basis for the engineering implementation algorithm selection，we compare the four classical DOA algorithms in this paper:MUSIC algorithm，ESPRIT algorithm ，TLS-ESPRIT algorithm and Toeplitz matrix reconstruction algorithm.Just as I know，the comparison and analysis of the performance of the four algorithms are rarely publicly reported.Through the MATLAB software methods，we analyzed the advantages and disadvantages of each algorithm，and then summarized the applicable range of each algorithm and its theoretical basis.

Key words:DOA estimation；MUSIC algorithm；ESPRIT algorithm；Toeplitz algorithm

陣列信號處理是信號處理技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的一個重要分支。運用陣列信號處理技術(shù)來實現(xiàn)波達(dá)方向（DOA）估計的研究在近年取得了豐碩的成果。DOA估計的基本問題是確定多個信號到達(dá)陣列參考陣元的方向角。

常規(guī)波束形成算法（CBF法）[1]是公認(rèn)的較早的DOA估計方法。20世紀(jì)70年代之后，多種DOA估計算法興起，如最大似然（ML）算法[2]、子空間擬合（SF）算法[3]等。同屬特征結(jié)構(gòu)的子空間方法[4]的算法也有很多，其中最著名的是MUSIC方法和ESPRIT方法。 MUSIC（multiple signal classification）算法是Schmidt在1979年提出的，于1986年重新發(fā)表[5]。ESPRIT （estimating signal parameters via rotationalinvariance techniques）算法是由Roy等人于1986年提出的[6-7]。

ESPRIT算法和MUSIC算法對相干信源DOA估計的思想方法各不相同。MUSIC算法的基本思想是利用信號子空間和噪聲子空間這兩個互補空間之間的正交特性估計空間信號的方位。而ESPRIT算法的基本思想是通過空間旋轉(zhuǎn)將向量x（n）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后變成向量y（n），保持兩個向量對應(yīng)的信號子空間的不變性，后求解旋轉(zhuǎn)不變矩陣，最后得出DOA估計。其中TLS-ESPRIT算法是在ESPRIT算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來，其算法思想與ESPRIT算法基本一致。

利用ESPRIT算法對相干信源波達(dá)方向進(jìn)行估計的時候會產(chǎn)生陣列孔徑損失的問題，因此之后有學(xué)者提出可用Toeplitz矩陣重構(gòu)算法完成相干信源DOA估計[8-9]，這是一種非降維類處理算法，類似的方法還有很多[10]。Toeplitz矩陣重構(gòu)算法的基本思想是首先分別對陣元和參考陣元的接收數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行排列得到Hermitian Toeplitz矩陣，之后再進(jìn)行奇異值分解，進(jìn)而得到相干信源的DOA估計。

文中以等距線陣為研究背景，對MUSIC算法、ESPRIT算法、TLS-ESPRIT算法以及Toeplitz矩陣重構(gòu)算法的性能進(jìn)行綜合對比研究，為工程實現(xiàn)算法的選擇提供理論依據(jù)。

1 4種算法DOA估計理論實現(xiàn)

1.1 經(jīng)典MUSIC算法DOA求解

MUSIC算法是一種基于矩陣特征空間分解的方法[11]。從幾何角度講，信號處理的觀測空間可以分解為相互正交的信號子空間和噪聲子空間。協(xié)方差矩陣中與信號對應(yīng)的特征向量組成信號子空間，所有最小特征值對應(yīng)的特征向量組成噪聲子空間。

具體的MUSIC算法估計步驟如下：

1）根據(jù)N個接收信號矢量得到協(xié)方差矩陣RXX，并對其進(jìn)行特征值分解。

2）將得到的特征值按照大小排序，然后分解出信號子空間和噪聲子空間，得到噪聲矩陣E。

3）根據(jù)公式

計算譜函數(shù)，其中θ是自變量。MUSIC算法是通過尋找峰值來得到相干信源波達(dá)方向的估計值。

1.2 ESPRIT算法DOA求解

ESPRIT算法，又可稱為LS-ESPRIT算法。這個算法的優(yōu)點是可以直接通過特征值得到信號參數(shù)，而不需要進(jìn)行繁瑣的譜峰搜索過程，思想核心是求旋轉(zhuǎn)矩陣y（n）[12]。在實際應(yīng)用中，把同一陣列分解成2個子陣列，這兩個子陣列的陣元數(shù)目完全相同，兩個子陣列僅相差一個旋轉(zhuǎn)矩陣。

ESPRIT算法有兩種估計方法，本次實驗設(shè)計采用后向平移的ESPRIT算法。

具體的ESPRIT算法實現(xiàn)步驟如下：

1）由兩個子陣的接收數(shù)據(jù)分別得到兩個子陣的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣xx。將矩陣進(jìn)行特征值分解

并將ψ進(jìn)行特征值分解得到N個特征值，就可得到對應(yīng)的N個信號的波達(dá)方向。

1.3 TLS-ESPRIT算法DOA求解

基本ESPRIT算法可以看成是一種最小二乘算子。現(xiàn)已廣泛認(rèn)識到，奇異值分解（SVD）[13]和總體最小二乘（TLS）的應(yīng)用可以解決在求解廣義特征值問題的時候，最小二乘算子導(dǎo)致的一些問題。

TLS-ESPRIT算法求解步驟如下：

2）由分解得到的Us構(gòu)造矩Us12陣，并按照式

進(jìn)行特征值分解得到矩陣E。

然后按照公式（5）將矩陣分為4個小矩陣。

3）按照式：

得到ψTLS并對其特征值分解，得到N個特征值，就可以得到對于N個信號的波達(dá)方向。

不吃就別給孩子吃，吃是人的本能，餓了自然會吃。小寶寶不愛吃米飯也沒關(guān)系，面條、饅頭、面包都可以，只要吃就行。不吃主食光吃菜問題也不大，吃完再來點小餅干即可。

1.4 Toeplitz矩陣重構(gòu)算法DOA估計

通過構(gòu)建Toeplitz矩陣，其基本思想是將接收相干信源的協(xié)方差矩陣恢復(fù)為滿秩矩陣，然后去相干。該算法較之于TLS-ESPRIT等算法的優(yōu)勢在于不需要損失陣列孔徑，但是仍然需要進(jìn)行特征值的分解。

由式

可知協(xié)方差矩陣Rxx具有Toeplitz性質(zhì)，它的秩不受信號相干性的干擾[14]。該算法首先對各個陣元的接收數(shù)據(jù)和第一個陣元的接收數(shù)據(jù)的相干函數(shù)進(jìn)行排列，得到Hermitian Toeplitz矩陣，通過奇異值分解可以得到信號子空間和噪聲子空間，從而實現(xiàn)DOA估計。

具體步驟如下：

1）由協(xié)方差矩陣RXX得信號子空間和特征值。

2）按式：

構(gòu)造矩陣B，抽取矩陣B的前m-1行構(gòu)造矩陣B1，抽取后m-1行構(gòu)造矩陣B2。

3）按式

4）得到矩陣D后進(jìn)行特征值分解，由特征值就可以得到對應(yīng)的N個信號的到達(dá)角。

2 仿真實現(xiàn)及結(jié)果分析

2.1 4種算法運行所需時間

當(dāng)輸入2個信號，陣元數(shù)分別為10時，snr=0，d=λ/2，入射角度為 30°和 60°，快拍數(shù)設(shè)置為 512，將4種算法計算相干信源波達(dá)方向所需的時間進(jìn)行比較，如表1所示。

表1 不同算法的運行時間

可見雖然MUSIC算法比較精確，但是因為需要進(jìn)行譜峰搜索的繁雜過程，所以運算所需時間是4種算法中最長的。TLS-ESPRIT算法所需時間最少。

2.2 陣元數(shù)對4種算法估計精度的影響

輸入單信號源，入射角度為分別為50°時，快拍數(shù)同樣設(shè)置為 512，陣元間距 d=λ/2，信噪比snr=0。對在不同陣元數(shù)情況下，4種算法的估計均方根誤差進(jìn)行比較，進(jìn)行100次試驗后結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同陣元數(shù)情況下均方根誤差

因為陣元數(shù)必須大于2，才能正確的描述波達(dá)方向。同時將陣元間距設(shè)置為2，因為陣元等間距，DOA估計越精確[15]。從圖中可以看出，陣元數(shù)越多，四種算法估計結(jié)果越精確，且誤差大小皆趨于穩(wěn)定。從圖中同樣可以看出，在陣元間距小于4的時候，計算結(jié)果偏差較為嚴(yán)重，不能作為參考數(shù)值。很明顯，MUSIC算法的計算結(jié)果最為精確，誤差一直是最小的。

2.3 信噪比對4種算法估計精度的影響

輸入單信號源，d=λ/2，入射角度為 50°，陣元數(shù)設(shè)為10，快拍數(shù)為512，實驗100次時，不同信噪比情況下，4種算法的估計均方根誤差進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同信噪比情況下均方根誤差

此次仿真考慮信噪比SNR分別為-10 dB至10 dB，將各個算法算出的DOA估計均方根誤差進(jìn)行比較分析，可知總體上隨著信噪比的增大，估計誤差越來越小，即估計精度越來越高。對-10 dB和10 dB之間離散化取值，可見在-10 dB的時候，4種算法的估計誤差差距較大。在-10 dB和10 dB之間，雖然4種算法的誤差都是越來越小，但是仍然可以清晰的看出4種算法估計誤差的精確程度。在10 dB的時候，4種算法的估計誤差很小。Toeplitz矩陣重構(gòu)算法的估計誤差相較于其他兩種算法的誤差更小，估計結(jié)果更精確。MUSIC算法次之，而ESPRIT算法和TLS-ESPRIT算法的估計誤差一直不相上下。

2.4 快拍數(shù)對算法估計精度的影響

當(dāng)輸入 2信號源，陣元數(shù)為 10，snr=0，d=λ/2時，入射角度為30°和60°時，進(jìn)行100次實驗，快拍數(shù)對Toeplitz矩陣重構(gòu)算法對DOA的估計誤差的影響如圖3所示。

設(shè)置快拍數(shù)等間距為20，是為了估計結(jié)果更精確。圖中表明，快拍數(shù)對算法估計結(jié)果的影響也很明顯。當(dāng)快拍數(shù)較少時，估計誤差明顯較大，估計結(jié)果越不精確，已經(jīng)失去了數(shù)值的參考價值。快拍數(shù)越大，估計誤差越小，精度越高。快拍數(shù)增大到一定程度之后，估計誤差趨于穩(wěn)定。可見快拍數(shù)亦是算法對相干信源DOA估計精確程度的一個不可忽略的重要因素。

圖3 不同快拍數(shù)情況下估計誤差

3 結(jié) 論

本文分別從陣元數(shù)、信噪比和快拍數(shù)等方面比較分析了MUSIC算法，ESPRIT算法，TLS-ESPRIT算法以及Toeplitz矩陣重構(gòu)算法各自的優(yōu)缺點。理論分析和仿真研究表明，MUSIC算法適用于高分辨譜估計，缺點是需要特征值分解以及繁雜的譜搜索過程，所以計算時間最長速度最慢，由此如果芯片的處理速度較快，精度要求較高的時候可以考慮MUSIC算法。ESPRIT算法適用于較高分辨率的譜估計，較之于MUSIC算法而言不需要譜搜索的過程，計算速度得到提高，但是仍需要進(jìn)行特征值分解步驟，所以適用于芯片處理速度較慢，精度要求高的情況。TLSESPRIT算法是在ESPRIT算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的算法，解決了最小二乘法在求解廣義特征值問題上潛在的數(shù)值困難，且計算時間比ESPRIT算法快，所以適用于芯片處理速度慢，精度要求高的情況。而Toeplitz矩陣重構(gòu)算法有很好的研究前景，其優(yōu)勢在于不需要損失陣列孔徑，并且算法的分辨性能更優(yōu)越，有更好的實用性，所以應(yīng)用的范圍也就更廣泛。

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Performance analysis of four kinds of DOA estimation algorithms based on uniform linear array

MA Yi
（College of Computer and Information，Hohai University， Nanjing211100，China）

TN911.7

A

1674－6236（2017）19-0127-04

2016-08-15稿件編號201608105

馬 怡（1993—），女，江蘇常州人，碩士研究生。研究方向：陣列信號處理。