p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問題研究

朱勝蘭，李濤會

(無錫城市職業(yè)技術學院 無錫環(huán)境科學與工程研究中心， 江蘇 無錫 214153)

p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問題研究

朱勝蘭，李濤會

(無錫城市職業(yè)技術學院 無錫環(huán)境科學與工程研究中心， 江蘇 無錫 214153)

p-Laplacian橢圓型方程；Pohozaev恒等式；解的不存在性

Keywords: p-Laplacian elliptic equations; Pohozaev constant equation; nonexistence of solutions

利用Pohozaev恒等式來證明偏微分方程沒有非平凡解始于1965年Pohozaev在文獻[1]中關于二階半線性橢圓型方程齊次Dirichlet問題的正則解建立的積分恒等式。由于Pohozaev恒等式在研究解的不存在性的同時也就得到了解存在的必要條件，從而引起了國內(nèi)外學者的重視，并被積極地推廣。

本文我們主要討論下面的p-Laplacian橢圓型問題

(1)

不存在非平凡解。

關于問題(1)解的存在性和非存在性及其多解性的研究已經(jīng)取得了豐富的成果。

2008年， Lari在文獻[2]中又研究了問題(1)在f(x,u)=p(x)uα+q(x)uβ時，即

Δu=p(x)uα+q(x)uβ

(2)

整體解的存在性和不存在性。這里0<α≤β，p,q是非負連續(xù)函數(shù)。筆者通過研究得到如下結(jié)果：

1) 假設0<α≤1<β且函數(shù)p,q滿足條件

(3)

2) 若方程Δv=q(x)vβ(β>1)沒有非負整體大解，那么半線性橢圓方程(2)也沒有非負整體大解。

另外，在文中 Lari還證明了方程

Δu=u+e-|x|uβ(β>2)

(4)

也沒有正的整體大解。

最近， Wu在文獻[3]中對式(1)中的

(5)

解的存在性問題進行了探索，筆者通過變分方法發(fā)現(xiàn)其在滿足一定條件時在RN上存在多個正解。這里1

與上面文獻不同的是：本文主要是利用Pohozaev恒等式來證明幾類p=2的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性。

1 主要結(jié)論

(6)

(7)

(8)

注意到

(9)

(10)

那么對于等式(8)有

(11)

(12)

注意到

(13)

所以

(14)

(15)

即存在rn→∞使得

(16)

下面用反正法來證明結(jié)論式(15)。

(17)

那么就可以取rn=r0+n,n=1,2,3,…，當所有n→∞時，rn→∞且r0

(18)

所以有

(19)

在式(14)中取r→∞得

(20)

結(jié)論得證，到此，定理1的證明全部結(jié)束。

定理2 假設定理1中的條件滿足，且f(x,u)∈L1(R1)，若存在α∈R1,u≠0，使得

(21)

則方程

-Δu+f(x,u)=0x∈R

(22)

沒有非平凡解。

2 實例認證

下面用一個具體的例子進行說明。

例如：在全空間上考慮方程

(23)

這里，1

證明：由式(23)知此時式(6)中

所以

(24)

(25)

則可以得到

(26)

所以

(27)

從而可得

(28)

那么根據(jù)所給的條件，方程(23)在下列3種情況下于空間εr,s內(nèi)均無平凡解：

1)r<2*，s<2*，λ1,λ2≥0；

2)r>2*，s>2*，λ1,λ2≥0；

3)r<2*，s>2*，λ1,λ2≤0。

3 結(jié)束語

本文首先介紹了由Pohozaev 提出的恒等式，然后運用它證明相關的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性，得到更廣泛的解存在的必要條件，并給出了一些具體的實例來驗證結(jié)論。

[1] POHOZAEV S.Eigenfunctions of the equation Δu+λf(u)=0[J].Soviet Math Dokl,1965(6):1408-1411.

[2] LAIR A V.Large solutions of mixed sublinear-superlinear elliptic equations[J].Math Anal Appl,2008,346:99-106.

[3] WU T F.Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problems in RN involving sign-changing weight[J].Funct.Anal.,2010,258:99-131.

[4] MOSCHINI L,POHOZAEV S I,TESEI A.Existence and nonexistence of solutions of nonlinear Dirichlet problems with first order terms[J].Journal of Functional Analysis,2000,177:365-382.

[5] OTANI M.Existence and nonexistence of nontrivial solution of some nonlinear degenerate elliptic equations[ J].Funct Anal,1988,76:140-159.

[6] STRUWE M.Variational Methods[M].Berlin:Springer-Verlag,1996.

[7] WAGNER A.Pohozaev identity from variational viewpoint[J].Math.Anal.Appl.,2002,266:149-159.

[8] AN T Q.Non-existence of positive solutions of some elliptic equations in positive-type domains[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:681-685.

[9] DE PAIVA F O.Nonnegative solutions of elliptic problems with sublinear indefinite nonlinearity[J].Journal of Functional Analysis,2011,261:2569-2586.

[10] 朱勝蘭.P-Laplacian 橢圓型方程的整體解[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2013,27(4):138-142.

[11] LARI A V,WOOD A W.Large solutions of sublinear elliptic equations[J].Nonlinear Anal,2000,39:745-753.

[12] LARI A V,WOOD A W.Existence of entire large positive solutions of semilinear elliptic systems[J].Diff.Equat,2000,164:380-394.

(責任編輯何杰玲)

StudyontheNonexistenceofSolutionsforP-LaplacianEllipticEquation

ZHU Shenglan, LI Taohui

(Wuxi Environmental Science and Engineering Research Center, Wuxi City College of Vocational Technology, Wuxi 214153, China)

2016-12-14

國家自然科學基金資助項目(11201115); 江蘇省科技廳基礎研究計劃(自然科學基金)——青年基金項目(BK20140126)

朱勝蘭(1984—)，女，博士，講師，主要從事偏微分方程研究，E-mail:zhushenglan2164@126.com。

朱勝蘭，李濤會.p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問題研究[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(9):200-204.

formatZHU Shenglan, LI Taohui.Study on the Nonexistence of Solutions for P-Laplacian Elliptic Equation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(9):200-204.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.031

O29

A

1674-8425(2017)09-0200-05