基于蒙特卡洛方法的支撐劑導流能力不確定度評價

陶祖文

（中國石化西南石油工程有限公司井下作業分公司，四川德陽 618000）

基于蒙特卡洛方法的支撐劑導流能力不確定度評價

陶祖文

（中國石化西南石油工程有限公司井下作業分公司，四川德陽 618000）

為解決壓裂支撐劑充填層導流能力測量不確定度評定時數學模型過于復雜以及部分偏導數難以求解的問題，本論文采用蒙特卡洛方法對支撐劑充填層導流能力不確定度進行評價，推導了概率密度函數對應的隨機變量的獲取公式，研究表明試驗次數在10萬～100萬次之間，采用蒙特卡洛方法計算出的估計值和標準不確定度結果穩定，并且試驗次數越大，精確度越高。

蒙特卡洛法；壓裂；支撐劑；導流能力；測量不確定度

測量不確定度是指由于測量誤差的存在，對被測量值不能肯定的程度，是表征測量質量的重要指標[1，2]。根據CNAS-CL07關于測量不確定度的要求[3]，在客戶有要求或不確定度影響到對結果符合性的判定時，校準實驗室必須對校準數據給出不確定度及評定程序。目前，測量不確定度已在油氣計量領域得到廣泛的應用[4]，但是受到各不確定度分量大小不相近、測量模型的偏導數難以求得、輸入量的概率密度函數不對稱等方面的限制。

但是，蒙特卡洛法為測量不確定度評定提供了一個通用的數值方法，適用于任意多個由概率密度函數表征的輸入量和單一輸出量的模型[5]。蒙特卡洛方法又稱隨機模擬方法，它以概率理論為基礎理論，以隨機抽樣為主要手段[6]。國外學者Willink R[7]、Esward T J等[8]研究了蒙特卡洛方法在不確定度評定中的應用，Crowder S V等[9]、Hall B D[10]研究了二階蒙特卡洛方法在非線性方程和小樣本量測試中的不確定度評定中的應用，Fernández M S等[11]研究了自適應蒙特卡洛方法的不確定度評定方法。國內該領域研究方面，祖先鋒等[12]、王珊等[13]、高玉英[14]以蒙特卡洛方法為基礎，在現代測試及儀器精度領域進行了不確定度評定。本文詳細闡述了蒙特卡洛方法評定步驟及隨機數的獲取方法，并以油氣計量領域實例進行說明。

1 蒙特卡洛方法及不確定度評定步驟

蒙特卡洛方法的基本思想是針對所要求解的問題，對各個輸入量的概率密度函數進行依次輸入，抽樣時調用相關函數產生服從相應概率分布的隨機數，結合建立的數學模型及最大信息熵原理進行數值仿真，從而獲得數學模型的方差、期望值、包含區間等參數。蒙特卡洛方法不確定度評定流程圖（見圖1）。

圖1 蒙特卡洛方法不確定度評定步驟

1.1 建立數學模型

當輸出量 Y 是由相應的輸入量 X=（X1，X2，…，XN）確定時，建立的數學模型即為：

式中：X=（X1，X2，…，XN）。

1.2 輸入量的確定

輸入量的確定主要是基于貝葉斯定理及最大熵原理，根據已有的實驗數據、計量理論及經驗，為每個獨立的輸入量確定概率密度函數，常見的統計分布（見表1）。

表1 常見的輸入量信息及其對應的概率密度函數

1.3 試驗次數M的確定

蒙特卡洛方法產生的誤差ε[15]：

式中：ε-誤差；λa-置信度a對應的值；σ-均方差；M-數值計算次數。

由公式（2）可知，試驗次數M對于蒙特卡洛方法測量不確定度具有重要作用，M值越大，通過仿真模擬產生的誤差越小，M值越小，產生的誤差就會增大，輸出值就會失真。

當測量結果的不確定度取小數點后兩位有效數字時：

其中，自由度的公式為：

式中：v-自由度；μ（y）-標準不確定度。

可知M≥2×104，所以M取值105～106即可滿足要求。

1.4 輸入量隨機數的獲取方法

考慮到統計分布函數與獲取的真實值之間的一致性，實驗測量數據預測宜采用矩形分布、正態分布及三角分布等。這里以三角分布為例，分析如何產生服從三角分布的隨機數。通過計算機產生均勻分布的偽隨機數ur～[0，1]，三角分布的概率密度函數為：

其中：a'-三角形分布的底限，c'-眾數（最可能值），b'-上限，其分布函數為：

反函數變換為：

從而得到需要的隨機數：

其他分布形式的概率密度函數以及隨機變量產生方法（見表 2）。

表2 概率密度函數對應的隨機變量

2 支撐劑充填層短期導流能力不確定度評定實例

2.1 測量流程及測量模型

圖2 測量流程圖

表3支撐劑充填層導流能力數據表

壓裂支撐劑充填層短期導流能力的測量以支撐裂縫導流儀為基礎，通過程序采集得到巖心夾持器兩端的壓差以及液體流量，即可通過公式求得支撐劑充填層導流能力，測量流程圖（見圖2）。

具體的測量模型為：

式中：KWf-支撐劑充填層的導流能力，μm2·cm；Q-流量，cm3/min；μ-黏度，mPa·s；ΔP-壓差，kPa；t-溫度，°C。

2.2 測量數據

根據SY/T 6302-2009《壓裂支撐劑充填層短期導流能力評價推薦方法》，環境溫度為24℃，在蒸餾水或去離子水溫度為24℃時，其黏度為0.911MPa·s。在閉合壓力為6.89MPa的條件下進行8次獨立測量，觀察記錄巖心夾持器兩端的壓差及液體流量，具體實驗數據（見表 3）。

2.3 采用蒙特卡洛方法進行不確定度評定

2.3.1 建立數學模型 支撐劑充填層導流能力測量的數學模型為式（9）～式（11）。

2.3.2 輸入量的確定

（1）壓差的確定：壓力變送器的最大允許誤差為±0.5%，在閉合壓力6.89MPa時，壓差的平均值為0.667 kPa，下限 a為 0.664 kPa，上限 b 為 0.670 kPa。根據最大熵原理，壓差設定為矩形分布R（0.664，0.670）。

（2）流量的確定：查閱計量泵的校準證書可知，流量為10 mL/min時的擴展不確定度為1.2%，包含因子k=2，則標準不確定度為0.6%。因此，流量的最佳估計值為10 mL/min，根據最大熵原理，流量設定為正態分布 N（10，0.0062）。

（3）黏度的確定：由公式（10）可知，黏度的確定與溫度直接相關。查閱溫度傳感器的校準證書可知，溫度為24℃時的擴展不確定度為0.13℃，包含因子k=2，則標準不確定度為0.065℃。因此，溫度的最佳估計值為24℃，根據最大熵原理，溫度設定為正態分布N（24，0.0652），黏度由溫度隨機數獲得。

2.3.3 MATLAB編程及總結報告 以蒙特卡洛方法為基礎，利用MATLAB軟件進行計算（代碼見附件1），試驗次數分別取10萬、50萬、100萬次，輸出量的估計值及標準不確定度分別按公式（12）、公式（13）求取：

式中：yr-不同輸入量對應的支撐劑充填層導流能力，μm·2cm；不同支撐劑充填層導流能力的平均值，μm2·cm；μ（y）-支撐劑充填層導流能力的標準不確定度，μm2·cm。

計算結果（見表4、圖3～圖5）。可以看出，試驗次數在10～100萬次時，估計值及不確定度保留小數點后兩位小數時，導流能力估計值均為75.88 μm2·cm，標準不確定度均為0.23 μm2·cm，蒙特卡洛方法計算結果穩定。同時，試驗次數越大，概率對稱的95%的包含區間越小，概率密度曲線越集中，精確度越高。

3 結論

（1）用蒙特卡洛方法進行不確定度評定適用于具有單一輸出量、輸入量能夠近似為概率密度函數的任意模型，特別是測量公式過于復雜或偏導數難以確定的數學模型。

表4 支撐劑充填層導流能力數值計算結果

圖3 試驗次數為10萬次的導流能力計算結果

圖4 試驗次數為50萬次的導流能力計算結果

圖5 試驗次數為100萬次的導流能力計算結果

（2）分析了蒙特卡洛方法實現不確定度評定的實施步驟，并推導了概率密度函數對應的隨機變量的獲取公式。

（3）支撐劑充填層短期導流能力測量不確定度評定結果表明，試驗次數在10萬～100萬次，采用蒙特卡洛方法計算出的估計值和標準不確定度結果穩定，試驗次數越大，概率對稱的95%的包含區間越小，精確度越高。

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［3]CNAS-CL07.測量不確定度的要求［S］.中國合格評定國家認可委員會，2011.

［4]邱鳴霞.測量不確定度的分析及應用［J］.黑龍江科技信息，2008，（26）：10.

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［13]Wang S，Chen X，Yang Q.Evaluation of measurement uncertainty based on Bayesian information fusion:Sixth International Symposium on Precision Mechanical Measurements［C］.International Society for Optics and Photonics，2013.

［14]高玉英.基于貝葉斯理論的動態不確定度評定方法的研究［D］.合肥：合肥工業大學，2007.

［15]Li J H，Tong R S，Cao S S.Analysis of Uncertainty in Standard Metal Tank Volume Verification with Monte Carlo Method:Advanced Materials Research［C］.Trans Tech Publ，2013.

Evaluation of uncertainty in measurement based on Monte-Carlo method

TAO Zuwen
（Downhole Operation Branch of Sinopec Southwest Petroleum Engineering Company，Deyang Sichuan 618000，China）

When the measuring mathematical model and the partial derivatives are too difficult to get,Monte-Carlo method is applicable to a single output and input can be approximated to any model probability density function.To further investigate the Monte-Carlo method in the evaluation of measurement uncertainty of the application,the paper analyzes the implementation steps of uncertainty evaluation,and derive the formula of random variables corresponding to its probability density.Example show that trials between one hundred thousand to one million times,the result of using the Monte-Carlo method to calculate the estimated value and standard uncertainty are stable.When the trials number are larger,the interval containing of probability symmetrical of 95%,and the accuracy is higher.

Monte-Carlo method；hydraulic fracturing；ceramic proppant；flow conductivity；measurement uncertainty

TE312

A

1673-5285（2017）09-0067-06

10.3969/j.issn.1673-5285.2017.09.017

2017－08-04

陶祖文，男（1989-），助理工程師，畢業于西南石油大學，主要從事石油工程現場應用及科研工作。