基于三階斯托克斯波的譜估計及海浪數值模擬研究

薛亞東, 西文韜, 石愛國, 張新宇, 李 東

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基于三階斯托克斯波的譜估計及海浪數值模擬研究

薛亞東, 西文韜, 石愛國, 張新宇, 李 東

(海軍大連艦艇學院航海系, 遼寧大連 116018)

為了拓寬建立深水非線性海浪頻譜模型的研究途徑, 基于三階斯托克斯波理論, 提出了以改進的三階斯托克斯波為組成波, 以修正的自回歸模型(AR)譜估計方法得到的估計譜(簡稱新譜)為靶譜的非線性海浪模型。通過基于模擬頻譜和相位譜反演海浪波面高度時間序列(以下簡稱海浪時歷反演方法)的譜比較方法驗證了新譜的優越性, 為從根本上解決精確評估海浪譜提供了技術支撐, 對于增強未來掌控海戰場具有重要意義。

三階斯托克斯波; 頻譜; 海浪模型; 相位譜

海浪研究通常分為兩種途徑: 一是從波動基本方程出發, 得到線性和非線性水波波動描述, 線性描述為我們所熟知的微幅波理論, 非線性波動則有斯托克斯波、擺線波、橢余波、孤立波等; 近期, 邵鈺清[1]從流體力學理論出發, 介紹流函數波浪理論, 將流函數波浪理論計算得到的部分結果與線性波理論計算得到的結果進行比較, 結果表明流函數波浪理論很好地考慮了波浪的非線性; 周斌珍等[2]基于勢流理論, 并結合深水波質點運動從水面向下呈e指數衰減的特性, 建立了完全非線性數值變深水槽模型, 通過實時模擬活塞式造波機運動來產生波浪。二是把海浪視為隨機過程, 采用概率統計理論方法研究。隨機海浪研究是在四十年代因軍事領域需要而興起的一個研究領域。在當時的研究中, 將波動理論和觀測資料結合起來, 因而帶有較強的經驗性。20世紀50年代初, Pierson最先將Rice關于無線電噪音的理論應用于波浪, 從此利用譜以隨機過程描述波浪成為主要的研究途徑。目前提出多種描述海浪的方式或所謂的海浪模型, 諸如朗蓋脫-赫金斯(Longuet- Higgin)模型、皮爾遜(Pierson)模型, 均是線性波浪模型[3]。

線性模擬方法在很多條件下是可以滿足工程需求的, 也是海浪研究的主要方法。然而在微小振幅假定下得到的結果, 卻無法解釋諸如波浪越過突起地形時的波峰分裂及近岸波浪破碎等波動現象。一些實驗室和海上觀測發現, 實際的海浪振幅相對于波長不是小量, 波峰陡峭而高, 波谷平緩而淺, 這種關于平均波面的不對稱, 線性理論是難以模擬出來的。因此需要進行海浪的非線性研究。1959年Tick首次提出了二階功率譜的概念, 1963年Longuet- Higgins[4]在線性模型的基礎上提出了著名的非線性海浪模型, 同年Hasselmann等人將二階譜應用于海浪研究, 獲得了用水底壓強表達的理論二階譜。

在這些研究的基礎上, 展開了基于隨機過程的非線性海浪研究。我國學者也進行了探索: 丁平興等[5-6]在精確導出任意均勻水域上三維隨機波動一階解、二階解的基礎上, 更嚴密、更合理地重新推導了波面高度分布的偏度與二階功率譜的理論表達式, 并首次給出了有限水深波面二階譜的理論形式。Ning等[7]利用源造波技術對無限水深的完全非線性波浪進行了數值模擬研究。Bai和Taylor[8-10]采用高階邊界元方法在數值波浪水槽中模擬造波板實時運動產生波浪, 分別對完全非線性規則波、聚焦波與垂直圓柱相互作用問題及完全非線性波浪對固定和漂浮結構物作用問題進行了模擬。

當前, 將兩條途徑研究成果相融合的研究方法方興未艾。一些學者認為可以用非線性的有限振幅波代替微幅波作為組成波模擬波浪。王嵐等[11]通過采用基于 JONSWAP 譜的線性濾波并依據 B 分布特性進行非線性修正的方法對深水無破碎二維非線性海浪進行數值模擬; 焦甲龍等在正弦波的表達式中引入一些修正系數, 得到一種非線性水波自由面模型, 通過確定其修正系數可以快速高效地模擬非線性水波自由面[12]。日本學者Tsuchiya, Yasuda[13]提出用孤立波作為子波模擬非線性不規則波, 并取得了良好的結果; 肖波等[14]采用橢圓余弦波作為組成波建立了淺水不規則波的隨機模型。

本文提出用改進的三階斯托克斯波為組成波建立新的海浪模型, 以AR模型譜估計方法計算新譜, 并進行非線性能量修正, 通過實驗證明方法的有效性。

1 三階斯托克斯波理論

斯托克斯(Stokes)波是非線性重力波的一種波動解。這種波動是斯托克斯于1847年提出的。他發現了關鍵性的結論: 第一, 在非線性系統中, 上下不對稱的周期波列是可能的, 第二, 彌散關系與振幅有關。瑞利自1876年以后, 采用將流場化成定常流場的復勢函數方法, 通過逐級近似, 求得了各階Stokes波彌散關系和波面函數, 形成了經典斯托克斯波理論。由于斯托克斯和瑞利并未給出存在性的證明, 這使得他們得到的近似解析解缺乏嚴格的依據直到1925年, 尼可拉索夫、列維一西維他、斯特拉伊克和戴維斯等人對這種波動的存在性才給出了嚴格的證明。這使得Stokes波——它是關于已被證明是存在的非線性重力波的一種近似解析解逼近——有了嚴格的數學基礎。此后, 由于應用方面的需要, 許多學者對這種波動進行了大量的研究, 其結果在海洋工程和海浪研究方面都取得了應用[15-16]。

斯托克斯波理論發展至今主要有二階斯托克斯階波理論、三階斯托克斯階波理論、五階斯托克斯階波理論和高階斯托克斯階波理論。三階斯托克斯波理論目前為止體系比較完備, 其表達方式也有多種。

文獻[1]給出了深水三階斯托克斯波波面:

由上式得出結論: 水質點的振動中不在靜止水面上, 而是在水面以上處。

鄒志利[17]在《水波原理及其應用》一書中也給出了深水三階斯托克斯波的速度勢、波面方程和彌散關系, 即:

(3)

(4)

式中, O表示無窮級數。該式指出: 精確到三階, 斯托克斯波的速度勢依然可以用線性結果表示, 而圓頻率要進行修正。但是對于波幅修正, 在波陡較小的情況下不是特別明顯。

沈正等[18]1993年給出了深水三階托斯托克斯波的一種新的近似解, 得到了與經典三階以上斯克斯波不同彌散關系和波面函數, 并且證明了與經典的復勢解法相比逼近程度更優。與鄒的波面相比, 波幅修正要顯著一些。

(6)

(7)

本文將這種近似解析解稱為改進的三階斯托克斯波, 并不再加以說明的即采用這種形式。

2 基于三階斯托克斯波的譜估計方法

2.1 非線性海浪模型的提出

經典的線性疊加原理將波浪視為多個(理論上為無限多)不同頻率和不同初相位的余弦波相位疊加而成, 不同頻率的組成波能量分布由頻譜決定[16]。

(9)

(10)

Tsuchiya、Yasuda提出用孤立波作為子波模擬非線性不規則波, 并取得了良好的結果; 肖波等[14]采用橢圓余弦波作為組成波建立了淺水不規則波的隨機模型。受此啟發, 提出用斯托克斯波作為組成波建立海浪模型。

(12)

2.2 譜修正方法

基于前一小節提出的非線性海浪模型, 給出譜估計的修正方法。如下:

(1) 獲取海浪時歷(實測、模擬均可)。

(3) 根據三階斯托克斯波近似解析解, 計算原始頻率、二倍頻、三倍頻能量, 給出計算式:

(4) 將原始頻率, 二倍頻, 三倍頻能量密度合并得到新的能量分布密度并將計算新的頻率分布:。

2.3 較低波高下的譜估計比較探究

選取某測量船2012年5月24日船載測波雷達系統實測的海浪頻譜為靶譜, 有效波高2 m, 在fluent軟件中生成海浪環境。

具體波浪參數為: 流速7.26 m/s, 譜峰頻率0.6849 rad/s, 有效波高2.0 m, 波浪周期8.72 s, 子波數64。

計算域設置: 沿正向, 前部為造波區, 長度320 m; 后部分為消波區, 長度為160 m;方向水平面以上20 m為空氣; 水深設置為60 m。

網格劃分: 采用結構網格進行計算域劃分, 自由面加密網格為0.2 m, 即有效波高的1/10。

在數值水池=30 m處設置監測點記錄波高時歷x, 將記錄結果同勢流理論結果比對, 如圖1所示, 兩者吻合良好, 說明采用的模式是可信的。

通過修正周期圖法對模擬結果進行譜分析, 得到線性粗譜。然后基于三階斯托克斯波進行頻譜修正, 分別計算出二倍頻和三倍頻能量, 從而得到新譜。靶譜、線性粗譜和非線性修正譜對比如圖2。

如圖2可看出, 線性譜與非線性修正譜在譜形上均與靶譜吻合良好。通過計算譜參數, 線性譜有效波高1.953 8 m, 非線性修正譜有效波高1.953 9 m。與目標值2.0 m的誤差均在2.5 %以內, 且非線性修正譜精度略有提高。因此, 在一般海況下, 非線性譜修正的精度是可信的, 且略優于線性譜估計方法。

2.4 大波高下的譜估計比較研究

采用合田改進的JONSWAP譜, 有效波高設置為7.31 m(七級海況), 譜峰升高因子, 譜峰周期4.5 s, 子波數80個, 頻率范圍。

JONSWAP譜參數設置為: 有效波高7.31 m, 譜峰升高因子為3.3, 譜峰周期4.5 s, 子波數為80, 最低頻率0 Hz, 最高頻率0.666 7 Hz。

基于勢流理論, 生成波浪時歷, 模擬時長1 000 s, 對時歷進行傳統譜估計和非線性修正譜估計, 結果如圖3所示。

如圖3所示, 非線性修正譜峰值要高于線性譜, 譜形上更加近似與靶譜。經過計算譜參數, 線性譜有效波高7.206 9 m, 相對于目標值偏小, 誤差–1.41%; 非線性修正譜有效波高7.374 3 m, 相對于目標值偏大, 誤差為0.88%。綜合來看, 非線性修正譜優于線性譜。

3 基于海上實測數據的兩種譜模式比較研究

3.1 數據來源

選取來源于西北太平洋的某段波浪時歷,為波高,為時間, 時間步長0.2 s, 數據長度6 000, 有效波高為3.831 1 m。

3.2 實驗思路

先采用線性譜估計和非線性修正譜估計方法, 對海浪時歷進行譜分析, 在已知相位譜的條件下, 生成不同的海浪時歷。與實測時歷比較, 評估何者更優。這樣直接和實測數據比較的評估結果, 更具有實踐性, 客觀性。

3.3 實施步驟

采用模擬頻譜和相位譜的方法反演時歷, 并與原始時歷比較, 評估不同模型的優劣。具體步驟如下:

(4) 通過現代譜估計方法(AR譜)得到粗譜, 并在此基礎上計算得到非線性修正譜。

(6) 定義評估標準Ⅰ。

(7) 定義評估標準Ⅱ。

3.4 實驗結果

根據實驗步驟分別利用線性模型和非線性模型反演實測海浪時歷, 時間步長0.2 s, 模擬時間20 min。圖5截取前70 s結果予以顯示。

兩種模型與實測數據均吻合較好, 可以證明反演方法是有效的。根據評估標準Ⅰ, 線性模型所得到的為1.000 1×103, 非線性模型所得到為952.737 4, 因此非線性模型效果好, 提高約5%;根據評估標準Ⅱ, 線性模型所得到為63.564, 非線性模型所得到為57.588 7, 較線性模型提高約為9.4%。綜上所述, 本文提出的非線性海浪模型優于傳統的線性模型。

4 結束語

本文首次提出了以三階斯托克斯波為組成波的新的海浪模型, 并基于三階斯托克斯波給出了譜估計修正方法。主要結論如下: (1)以微幅波為組成波的種種頻譜, 可視為線性譜, 為更加精確地描述諸如大波陡的非線性海浪, 提出了以改進的三階stokes波為組成波, 采用AR模型法進行譜分析的修正譜模式。(2)在非線性不強的的條件下, 線性估計譜與修正估計譜精度近似, 修正譜略高于線性譜; 當波陡變大時, 非線性譜精度明顯高于線性譜。通過實測數據比較研究, 論證了這一結論的可信性。(3)本文提出了一種新的海浪頻譜評估模式, 即獲取相位譜, 通過頻譜相位譜模擬反演海浪時歷, 與實測數據比較的的評估方法, 為海浪譜的研究提供了技術支撐。(4)關于非線性波動為組成波應用于疊加原理問題, 文獻[15, 19]給出了解釋, 即在窄譜情況下是可行的。

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Spectral estimation and numerical simulation based on third- order Stokes Waves

XUE Ya-dong, XI Wen-tao, SHI Ai-guo, ZHANG Xin-yu, LI Dong

(Department of Navigation, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China)

Based on the third-order Stokes wave theory, a nonlinear wave model is proposed, which uses a modified third-order Stokes wave as the component wave and a modified AR model spectrum estimation method as the target spectrum. It is a new way to establish the spectrum model of a deep-water nonlinear wave. The spectral comparison method, based on the time series of ocean wave height established from the simulated spectrum and phase spectrum, is used to verify the superiority of the new spectrum, which provides technical support for the fundamental estimation of the ocean wave spectrum and can help control the sea battlefield in the future.

third-order Stokes; spectrum; wave model; phase spectrum

(本文編輯: 劉珊珊)

Sep. 4, 2016

[Equipment Research Project of 12th Five-year Plan of People’s Liberation Army General Armaments Department, No.51314030101]

U675.1

A

1000-3096(2017)06-0092-06

10.11759/hykx20160904003

2016-09-04;

2016-11-04

總裝備部十二五裝備預研項目(51314030101)

薛亞東(1990-), 男, 碩士研究生, 山東寧陽人, 研究領域: 海浪環境仿真與數值建模, E-mail: haidaxyd@163.com