行為兩兩NQD隨機變量陣列加權和的完全收斂性

章茜

(浙江機電職業技術學院 數學教研室， 浙江 杭州 310053)

行為兩兩NQD隨機變量陣列加權和的完全收斂性

章茜

(浙江機電職業技術學院 數學教研室， 浙江 杭州 310053)

負相依在統計分析和可靠性理論中有著廣泛的應用.研究了一類行為兩兩NQD隨機變量陣列加權和的完全收斂性.利用矩不等式和有效的截尾方法,建立了行為兩兩NQD隨機變量陣列加權和的完全收斂性的充要條件,從而推廣了吳群英等建立的關于一類NA隨機變量序列的完全收斂性的結論.

行為兩兩NQD陣列;加權和;完全收斂性

0 引 言

定義1對于隨機變量X和Y,若?x,y∈R,有

P(X≤x,Y≤y)≤P(X≤x)P(Y≤y),

則稱X和Y是NQD(negatively quadrant dependent)的;若?i≠j,Xi和Xj是NQD的, 則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是兩兩NQD列.

上述定義由統計學家LEHMAMN[1]于1966年提出. 兩兩NQD列是一類非常廣泛的隨機變量序列, 例如兩兩獨立的隨機變量列以及NA(negative association)[2]列就是其特例. 因此, 對兩兩NQD列的研究具有重要的理論意義和應用價值. 目前,關于兩兩NQD列的極限研究已有許多結果,詳見文獻[3-7].近年來,GUT等[8]獲得了一類獨立同分布且均值為零的隨機變量序列的完全收斂性,吳群英等[9]將其推廣到NA隨機變量序列的情形.受上述文獻啟發,本文將文獻[9]的定理1.3推廣到更為一般的行為兩兩NQD隨機變量陣列加權和的情形.

定義2隨機變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}被隨機變量X控制是指:如果存在一常數C>0,使得對任意的n≥1,i≥1,x≥0,有P(|Xni|≥x)≤CP(|X|≥x).

本文中,an?bn表示存在常數c>0,使得對所有n≥1, 有an≤cbn.an≈bn表示對所有n≥1, 有an?bn以及bn?an.I(A)表示集合A的示性函數,#A表示集合A中元素的個數.

1 引 理

引理1[3]設隨機變量X和Y是NQD的,則

(1)EXY≤EXEY;

(2)對?x,y∈R,有P(X>x,Y>y)≤P(X>x)P(Y>y);

(3)若f,g同為非降(或非增)函數,則f(X)與g(Y)仍為NQD的.

則有

引理3[7]令{Xn,n≥1}是兩兩NQD隨機變量列, 那么對于任意的n≥1以及x≥0, 有

2 主要結果及證明

E|X|exp(lnα|X|)<∞

(1)

(2)

證明先證式(1)?式(2).

aniXniI(|aniXni|≤bn)+bnI(aniXni>bn),

(aniXni-bn)I(aniXni>n).

注意到

因此欲證式(2)，只需證明

由EXni=0及Markov不等式，先證

E|X|exp(lnα|X|)<∞蘊含著

(至少存在2個k，使得ankXnk>bn).

則

E|X|exp(lnα|X|)<∞.

現在, 證明式(2)?式(1). 顯然,式(2)蘊含著

(3)

則有

因此, 對于足夠大的n，有

由引理1得{aniXni}仍然為兩兩NQD陣列. 由引理3,有

(4)

由式(3)及式(4), 有

根據I4<∞的證明過程,

E|X|exp(lnα|X|)≈

證畢.

注文獻[9]定理1.3描述的是一類NA隨機變量序列的完全收斂性定理，本文將此定理推廣到更一般的行為兩兩NQD隨機變量陣列加權和的情形，在增加權條件的基礎上，通過采用不同的截尾方法，亦得到了類似的結論.

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ZHANG Qian

(Mathematics Teaching and Research Section, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou 310053, China)

Negative dependence is important and widely used in multivariate statistical analysis and reliability theory. The purpose of this paper is to study a kind of complete convergence for weighted sums of pairwise negatively quadrant dependent (NQD) sequences withEX=0,E|X|exp(lnα|X|)<∞,α>1.By applying moment inequality and truncation methods, the sufficient conditions of complete convergence theorem of weighted sums for arrays of row-wise pairwise NDQ random variables are established, which extends to the case of weighted sums of pairwise negatively quadrant dependent sequences with imposing weighted condition. Our results generalize corresponding result obtained by WU et al.

arrays with row-wise pairwise negatively quadrant dependent sequences; weighted sums; complete convergence

O 211.4

：A

：1008-9497(2017)05-538-04

2016-10-06.

章茜(1984-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2955-4600，女，碩士，講師，主要從事概率極限理論研究，E-mail：qiwa_007@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.007

Completeconvergenceforweightedsumsofarrayswithrow-wisepairwisenegativelyquadrantdependentsequences. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(5):538-541