淺談高中生數學審題能力的培養

王和卓

摘 要：著名數學教育家波利亞說：“最糟糕的情況是學生沒有弄清問題就進行演算和作圖。”事實上，對審題掉以輕心，會使解題陷入困難或繁冗之中。因此培養學生的審題能力、掌握正確的審題方法、形成良好的審題能力是數學教學的重要內容。

關鍵詞：解題；審題；審題教學；審題能力；審題方法

一、抓住關鍵詞

為了了解學生對基本技能的掌握，考查學生觀察、分析、推理等能力。在數學題編擬時，常常通過變換概念的外在形式，拓展命題條件到結論的思維要求，在審題時需通過關鍵詞發掘問題的本質得出正確的解題方法。

例1.若二次方程kx2-2x+k-1=0有實數根，則k的取值范圍是 。

本題中“二次方程”“實數根”是關鍵詞。本題若忽視第一個關鍵詞還需對k進行討論，將陷入不必要的繁復。

二、細審題目的每一環節

審題時要注意審查從條件到結論的每一環節，明確問題的條件、概念、定理、范圍等與結論的本質關系，進而制定正確的解題策略。具體環節如下：

1.審視條件

條件是解題的主要依據，充分利用條件和結論的內在聯系是解題的必經之路，也是在解題過程中最應該重視和利用的“資源”，它反映了出題者對題目設計的一種思考。

例2.函數f（x）=ln（x2-x）的增區間為 。

本題要注意考慮函數的定義域，定義域是函數的基礎，忽略函數定義域的存在與作用，就會出現錯解。

2.審視結論

結論是解題的最終目標，也是解題的一種向導。在解題的過程中，思維都是在目標指導下啟動和定向的。審視結論要注意聯系已知條件和結論間的聯系與轉化方法，善于從結論中提取和定理、公式等聯系，從而確定解題方法。

例3.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ= 。

解析：由角θ的終邊在直線y=2x上可得tanθ=2，cos2θ=cos2θ-sin2θ=■=■=-■。

從解析中可以看出本題的解答要注意考慮所求與已知條件之間的聯系才能夠找到解決方法。

3.審視數值

對數值的考查是解題的基本要求，特殊的數值和解題有著深刻的聯系。審視數值要觀察、分析數值之間的內在聯系去尋找解題的思路，獲得解法。

例4.sin20°cos10°-cos160°sin10°=

解此題的關鍵是抓住題中各角之間的內在聯系。如題中的角20°、160°，發現它們之間的關系是互補，故將20°的余弦和160°的正弦進行互化即可。

4.審視范圍

范圍是對數學概念、公式、定理及題目要求中涉及的量以及解析式的限制條件。審視范圍既要利用已知、定理、公理，又要利用好隱含的約束范圍。

例5.在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cosC+（cosA-3sinA）cosB=0。

若△ABC為銳角三角形，求■的取值范圍。

解析：由正弦定理，得∵A+B+C=？仔，∴A+C=■

■=■=■=■·■+■

由題意可知，■

教學中要引導學生重視給角求角、給角求值等問題，特別注意考慮范圍，要根據題目要求盡可能緊縮角的范圍，本題不考慮角的范圍就會出現錯解。

三、培養學生進行符號、圖形、文字語言轉換的能力

數學有三種語言：符號語言、圖形語言、文字語言，它們是數學知識、思維的載體。由于數學語言的高度概括性和抽象性，解題時應考慮將其轉譯為自己熟悉的、能理解的和操作的語言、符號、圖像等信息。

例6.已知函數f（x）=x-2+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有兩個不等實根，則k的取值范圍是 。

解析：本題考查函數與方程，函數的圖像，學生要能將題目中的文字語言、符號語言轉化為圖形語言，得出草圖，再利用數形結合確定k的范圍。作出函數圖像，由圖像易知，函數f（x）=x-2+1，g（x）=kx的圖像有兩個公共點，所以當直線介于l1：y=■x，l2：y=x之間時，符合題意。

四、審題時應注意分辨題目設置陷阱

有些題目的設置并不難，但是題目里包含著刻意的陷阱，粗心的學生易忽略。要善于發現題目中的“機關”，題目中設的陷阱是我們失分的“隱患”。因此，在教學中引導學生審題時還應做到：審題慢、答題快。審題不宜過快，而且最好二次讀題，第一次為泛讀，大致了解題目的條件和結論；第二次為精讀，根據要求找出題目的關鍵詞語并挖掘題目的隱含條件。

例7.（2）復數z=■的共軛復數是（ ）

在解決本題時很多學生往往忽略了共軛復數這個條件導致解題錯誤，這樣的錯誤只要精讀兩遍完全可以避免。解題時養成認真審題、周密思考的良好習慣，學習捕捉題中有效信息的技能，不斷增強洞察力和顯化隱含條件的能力，才能不斷提升我們的審題解題能力。

參考文獻：

[1]玻利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2005.

[3]陳永明名師工作室.數學教學中的語言問題[M].上海：上海科技教育出版社，1998.

[4]汪江松.高中數學解題方法與技巧[M].武漢：湖北教育出版社，2012.

編輯 謝尾合