巧用數學作嫁衣 十字交叉速解題

李發剛

十字交叉法是進行二組分混合物平均量與組分計算的一種簡便方法，在高考中用于解決混合氣體的平均相對分子質量及組成、同位素原子百分含量、混合烴的平均分子式及組成等問題。凡符合關系式M1×a+M2×b=M（a+b），均可運用十字交叉法，從而得到■=■（M>M2，M1>M）。

十字交叉法可表示為■。

式中，M表示混合物的平均量，M1、M2則表示兩組分對應的量；a、b表示兩組分在混合物中所占的份額。

一、速解同位素原子（或離子）的百分含量

典例1 某氯化鈉由Na+、35Cl-和37Cl-構成，在熔融條件下，用惰性電極使1mol這種氯化鈉電解，陽極產生的氣體對甲烷的相對密度為4.525，則這種氯化鈉晶體中35Cl-的數目占氯離子總數的（ ）

A.25% B.40% C.60% D.75%

【思維分析】本題乍一看，難以下手。但若注意到氯化鈉是由氯的兩種同位素離子構成，就可以想到先求出氯元素的平均相對原子質量，再用十字交叉法計算兩種離子的個數比。

【解析】用惰性電極電解NaCl，陽極產生氯氣，其相對分子質量為4.525×16=72.4，則氯元素的平均相對原子質量為36.2，根據十字交叉法可得：

所以35Cl-的數目占氯離子總數的百分比為■×100%=40%。答案：B

【解法點睛】計算同位素原子（或離子）的個數之比或物質的量之比時，一般都可運用十字交叉法。該方法運用于二組分混合物的計算時，在代表二組分的兩個量和它們的平均值之間的十字交叉圖中要對角線找差值，橫向看結果。

二、速解混合氣體中的體積比問題

典例2 乙烷和丙烷的混合氣體在氧氣中完全燃燒后，將產物通過濃硫酸，濃硫酸增重3.06g，然后通過過氧化鈉，過氧化鈉的質量增重3.36g，則原混合氣體中乙烷和丙烷的體積之比為

（ ）

A.2：3 B.3：2 C.1：1 D.1：2

【思維分析】本題的常規解法是設未知數，然后根據反應方程式及差量法，列出有關CO2和H2O的量的方程組，最后求解。此法代入計算的數值不是整數，解方程容易出錯。若根據十字交叉法進行計算，則可以提高準確率。

【解析】混合氣體燃燒生成CO2和H2O。濃硫酸的質量增加了3.06g，則n（H2O）=■=0.17mol。然后通過反應2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2，過氧化鈉增加的質量相當于CO的質量，故n（CO2）=■=0.12mol，則混合氣體中H、C的原子個數之比為■，用十字交叉法得：

此處平均值的含義是“混合氣體中平均每摩爾碳原子對應的氫原子的物質的量”，即比值■為混合氣體中乙烷和丙烷中碳原子的物質的量之比，則有■=■，故■=■，即為體積之比。答案：B

【解法點睛】計算混合氣體中各組分的體積之比，一般可運用十字交叉法，其關鍵在于讀懂平均值的含義，根據分母物理量得出比值的含義，必要時再根據題意進行轉化。但該法不適用于不具有加和性的物理量，如求兩種不同pH溶液混合后的pH。

三、速解混合溶液中的有關計算問題

典例3 1L 1.0mol·L-1NaOH溶液完全反應吸收0.80 molCO2氣體，所得溶液中CO32-和HCO3-的物質的量之比為（ ）

A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.3：2

【思維分析】由題意可知，本題中發生了兩個反應：2NaOH+CO2=Na2CO3+H2O、NaOH+CO2=NaHCO3。常規解法是根據化學方程式列方程組求解，也可以根據原子守恒列方程組求解。若運用十字交叉法則可以提高解題效率。

【解析】溶液中發生的離子反應有：2OH-+CO2=CO32-+H2O、OH-+CO2=HCO3-。由題意知，平均每摩爾CO2氣體消耗的OH-的物質的量為1.25mol。由十字交叉法得

故CO32-和HCO3-的物質的量之比為0.25：0.75=1：3。答案：A

【解法點睛】在化學反應中運用十字交叉法，應先弄清楚每個反應中的特定值，然后根據題給信息求出平均值，經求解得出比值。在計算過程中，還要弄清所得的比值是物質的量之比還是質量之比。當單位帶有物質的量因素時（如摩爾質量、1mol有機物消耗氧氣的量、1mol物質轉移的電子、1mol物質的反應熱、1mol有機物燃燒生成的CO2的量等），十字交叉法所得的比值一般是物質的量之比；當單位帶有質量因素時（如溶液質量分數的計算等），十字交叉法所得的比值一般是質量之比。

編輯 任 壯