求任意角三角函數值的一種簡單方法

李中烘

筆者在多年的高中數學教學過程中，發現學生按照人教版數學必修四中介紹的利用三角函數誘導公式求三角函數值時，容易混淆誘導公式，從而導致求值出錯。本文嘗試結合三角函數的定義，給出一個求三角函數值的簡單方法。

我們先回顧人教版數學必修四給出的任意角的三角函數的定義。

任意角三角函數的定義：如圖1，設？琢是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點？妝（x，y），那么：

（1）y叫做？琢的正弦（sine），記做sin？琢，即sin？琢=y；

（2）x叫做？琢的余弦（cosine），記做cos？琢，即cos？琢=x；

（3）■叫做？琢的正切（tangent），記做tan？琢，即tan？琢=■（x≠0）。

下面給出本文用到的命題并給以證明。

命題：設？茁是任意角，且？茁與x軸的夾角為？琢（0≤？琢≤■），則有：

①sin？茁=±sin？琢；②cos？茁=±cos？琢；③tan？茁=±tan？琢；（此時？茁≠■+k？仔，k∈Z）。

其中，“±”取決于？茁終邊所在象限角（坐標軸）所對應原函數值的符號。

證明：下面只證明公式①（即正弦的情況），公式②、公式③可類似的證明。

設任意角？茁的終邊與單位圓的交點為P1（x，y），？茁與x軸的夾角？琢的終邊與單位圓的交點為P2（x′，y′），根據三角函數單位圓的定義，則有：

sin？茁=y；cos？茁=x；tan？茁=■（x≠0）

sin？琢=y′；cos？琢=x′；tan？琢=■（x′≠0）

①若？茁終邊落在x軸上，則？茁與x軸的夾角？琢=0，此時y=y′=0，則有：sin？茁=sin？琢；

②若？茁終邊落在y軸上：

若？茁終邊落在y軸正半軸上，此時？茁與x軸的夾角？琢=■，？茁終邊與？琢終邊重合，P1（x，y）與P2（x′，y′）重合，故有y=-y′，即sin？茁=sin？琢；

若？茁終邊落在y軸負半軸上，此時？茁與x軸的夾角？琢=■，？茁終邊與？琢終邊關于原點對稱，P1（x，y）與P2（x′，y′）關于原點對稱，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

③若？茁終邊落在第一象限上，此時？茁終邊與？琢終邊重合，P1（x，y）與P2（x′，y′）重合，故有y=y′，即sin？茁=-sin？琢；

④若？茁終邊落在第二象限上，此時？茁終邊與？琢終邊關于y軸對稱，P1（x，y）與P2（x′，y′）關于y軸對稱，故有y=y′，即sin？茁=sin？琢；

⑤若？茁終邊落在第三象限上，此時？茁終邊與？琢終邊關于原點對稱，P1（x，y）與P2（x′，y′）關于原點對稱，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

⑥若？茁終邊落在第四象限上，此時？茁終邊與？琢終邊關于x軸對稱，P1（x，y）與P2（x′，y′）關于x軸對稱，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

綜上所述，若？茁是任意角，且？茁與x軸的夾角為？琢，則有sin？茁=±sin？琢，其中，“±”取決于？茁終邊所在象限角（坐標軸）所對應原函數值的符號。證畢。

接下來用本命題來巧求任意角的三角函數值：

例1.判斷下列角終邊落在第幾象限，并求出該角終邊與x軸的夾角。

（1）■ （2）-■

解：（1）由■=5？仔+■？仔，如圖2所示，要得到■終邊的位置，可以先找到5？仔的終邊所在的位置，然后將5？仔的終邊按照逆時針的方向旋轉■？仔就得到■終邊的位置，所以，■終邊落在第三象限，且■與x軸的夾角為■？仔；

（2）由-■=-8？仔-■？仔，如圖3所示，要得到-■終邊的位置，可以先找到-8？仔的終邊所在的位置，然后將-8？仔的終邊按照順時針的方向旋轉■？仔，就得到-■終邊的位置，所以，-■終邊落在第四象限，且-■與x軸的夾角為■？仔；

總結：求任意角？茁終邊落在第幾象限及其終邊與x軸的夾角可用如下方法：對于任意角？茁，總存在？琢∈[0，■]，k0∈Z，使得？茁=k0？仔±？琢。因此，要得到？茁終邊位置，可以先找到k0？仔的終邊位置，然后將k0？仔的終邊按照順（或者逆）時針旋轉？琢角度就得到？茁終邊位置，且？琢恰為？茁終邊與x軸的夾角。

例2.求下列三角函數值：

（1）sin■ （2）cos（-■）

解：（1）方法一：（用誘導公式）

sin■=sin（2×2？仔+■）=sin■=sin（？仔+■）=-sin■=-■

方法二：（用本文命題）

由■=5？仔+■，如圖4可知，■終邊落在第三象限，且與x軸的夾角為■。

故有：sin■=-sin■=-■。

（2）方法一：（用誘導公式）

cos（-■）=cos■=cos（7×2？仔+■）=cos■=cos（？仔-■）=-cos■=-■

方法二：（用本文命題）

由-■=-15？仔+■，如圖5可知，-■終邊落在第三象限，且與x軸的夾角為■，

故有：cos（-■）=-cos■=-■

總結：運用本文命題求任意角？茁的三角函數值的方法如下：

（1）找出任意角？茁的終邊位置；

（2）找出任意角？茁與x軸的夾角？琢；

（3）運用公式：sin？茁=±sin？琢；cos？茁=±cos？琢；tan？茁=±tan？琢；

（4）判斷“±”。

用本文方法求任意角的三角函數值，與應用誘導公式求任意角的三角函數值相比，本文方法簡潔易懂，省去了多次應用誘導公式的繁瑣問題，對于學生而言也較容易掌握，值得推廣。

編輯 李靜玲