讓“教”更有效

李進

摘 要：數(shù)學中的命題包括：公理、定理、公式、法則、數(shù)學對象的性質(zhì)等，它們在中學數(shù)學中處于重要地位，也突顯了加強中學數(shù)學命題教學的重要性。主要通過對命題教學過程中命題的引入和命題的應用這兩個階段的討論，談談命題教學中的常用技巧，以期讓教學變得更有效。

關鍵詞：中學數(shù)學；命題教學；技巧

命題是由概念組合而形成的，如果不能掌握中學數(shù)學的命題，就不能學好中學數(shù)學。因此，加強中學數(shù)學命題的教學，歷來是中學教學中十分重要的任務。命題教學的過程可以分為三個階段：命題的引入、命題的證明和命題的應用。本文以若干教學設計片段為例，談談對命題教學的一些認識和體會。

一、命題引入形式的多樣化

命題教學中，靈活恰當?shù)卦O計引入方式，對于學生理解和掌握命題是十分有益的。具體來說，常用的引入方式有：

1.從數(shù)學知識發(fā)展內(nèi)部引入

對已有的知識進行拓展、變化，得到新的定理。

以“兩個平面平行的性質(zhì)定理”為例。

學生認識事物是一個循序漸進的過程，在這之前學習了兩個平面平行的判定定理，知識需要發(fā)展，自然需要討論分別在兩個平行平面內(nèi)直線的位置關系。因此，讓學生思考：

如果兩個平面平行，那么：

（1）一個平面內(nèi)的直線是否平行于另一個平面？

（2）分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線是否平行？

通過這些問題，討論分別在兩個平行平面內(nèi)直線的位置關系，進而分析區(qū)分“異面和平行”的條件，自然地引出兩個平面平行的性質(zhì)定理及其證明。

這種運用已有的公理、定理進行推理導入新命題的引入方式，屬于從數(shù)學知識發(fā)展內(nèi)部引入。這類引入的例子還有很多，例如：從已知定理出發(fā)，運用命題形式的關系，構造其逆命題、否命題或逆否命題得到新命題，從而培養(yǎng)學生的逆向思維能力，開闊學生的視野。新的知識都是在已有知識基礎上發(fā)展演變而來的，在教學過程中，要讓學生經(jīng)歷知識探索的過程，體會數(shù)學知識之間的緊密聯(lián)系，形成體系。

2.通過觀察、歸納引入命題

以“向量平行的坐標表示”為例。

情境：已知A（1，0）、B（2，2）、C（4，1）、D（6，5），作出以A、B、C、D為頂點的四邊形，并判斷形狀。

畫出的四邊形是梯形，引導學生從“形”上觀察得出■與■平行，進而提出問題：研究坐標間的關系?！?（1，2），■=（2，4），由于前面有了向量共線定理、向量坐標運算的基礎，可以得出■=■■，也驗證了從圖形上觀察到的結論■∥■。學生再進一步觀察得到■與■的坐標滿足■=■。這時，教師再提出問題：能不能直接利用坐標判斷向量是否平行？

設計意圖：從“形”的角度觀察向量平行，從“數(shù)”的角度探究坐標關系。

問題1：向量a=（3，4）與b=（6，y）平行，則y=________.

設計意圖：驗證剛才所得的結論（猜想）。教師追問學生：你是怎么得到的？追問理由，暴露思維過程，對后面定理的證明有簡化的效果。

問題2：向量a=（1，-4）與b=（-2，8）是否平行？為什么？

設計意圖：利用向量共線定理，b=-2a，得到a∥b。進一步引導學生利用坐標判斷向量平行。

問題3：你能用自己的語言說出兩個平行向量的坐標滿足什么條件嗎？

在這個過程中，學生得出的結論可能是：a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，則■=■；反過來，如果■=■，則a∥b。這時教師追問學生：還能怎么表示？這是重要提示語，幫助學生從多角度看待同一數(shù)學對象，這種情況在學習平面解析幾何中直線平行的條件時也會遇到。最后師生不斷修正，共同得出結論：

設a=（x1，y1），b=（x2，y2）（a≠0），如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0；

反過來，如果x1y2-x2y1=0，那么a∥b。

設計意圖：用觀察、歸納的方法引入命題，通過問題串的方式突破難點。將結論一般化，讓學生體會“特殊到一般”“具體到抽象”的數(shù)學思想方法。

3.通過類比引入命題

類比在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中具有十分重要的作用，應該讓學生學會自覺、科學地把類比方法運用到發(fā)現(xiàn)活動中。

以“正整數(shù)平方和公式的推導”為例。

記S1（n）=1+2+3+…+n；S2（n）=12+22+32+…+n2；S3（n）=13+23+33+…+n3。

把正整數(shù)的平方和按以下方式表示出來，有

12=1，

22=（1+1）2=12+2×1+1，

32=（2+1）2=22+2×2+1，

42=（3+1）2=32+2×3+1，

…

n2=（n-1）2+2（n-1）+1，

左右兩邊分別相加，得S2（n）=[S2（n）-n2]+[2S1（n）-2n]+n，

等號兩邊的S2（n）被消去了，所以無法從中求出S2（n）的值，但是卻求出了S1（n）的值。那么，通過類比，能否求出S2（n）的值呢？事實上，通過類似的方法，利用S3（n）確實求出了S2（n）的值。

類似的例子還有很多，比如：由梯形的面積公式類比得到棱臺的體積公式；由橢圓的性質(zhì)類比得到雙曲線的性質(zhì)等等。把兩個數(shù)學對象進行類比，開始可能只是模糊的念頭，通過分析，清晰地認識到它們之間的“相似性”才會有科學的類比推理。數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動是一個探索創(chuàng)造的過程，而類比推理具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結論、提供思路的作用。

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識?！泵}的引入處于課堂的起始階段，設置有吸引力的問題情境就很重要，可以激發(fā)學生研究解決問題的興趣。布魯納認為：“學生不是被動的知識接受者，而是主動的信息加工者。教師要引導學生主動參與、積極探索、發(fā)現(xiàn)結論。”好的引入方式可以讓學生經(jīng)歷、探索、發(fā)現(xiàn)知識，顯然更符合課程標準要求。命題教學屬于新授課，在教學過程中要注意揭示隱含的數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。例如，“向量平行的坐標表示”設計中，設置的情境以知識為載體，讓學生體會“數(shù)形結合”的數(shù)學思想方法。問題3將結論一般化，讓學生體會“特殊到一般”“具體到抽象”的數(shù)學思想方法等等。

二、加強命題的應用

知識學習的目的是用來解決問題的，只有在解決具體問題中，才能更好地體會命題的用途。命題的應用又是訓練學生邏輯推理能力的重要途徑，因此，命題的應用是命題教學中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。教學中要注意安排合適的例題，以達到鞏固應用所學知識的目的。

1.直接應用

例題的選擇最重要的是要結合教學目的進行選擇，要由淺入深，由簡到繁，由易到難，循序漸進。適當?shù)臅r候可以補充變式訓練，也要注意滲透數(shù)學思想方法。還是以“向量平行的坐標表示”一課為例。

例1.已知a=（1，0），b=（2，1），當實數(shù)k為何值時，向量ka-b與a+3b平行？并確定此時它們是同向還是反向？

解法1：坐標法；解法2：平面向量共線定理。

設計意圖：解法1讓學生熟練掌握向量平行的坐標表示；解法2是用向量解決向量問題。兩種解法都涉及坐標運算，讓學生感受到坐標運算的簡捷，體會到形式化運算的優(yōu)點，兩種解法使學生思路變得更寬了。向量的表示形式有三種：幾何表示、符號表示、坐標表示。“幾何表示”側重向量的“形”，“坐標表示”側重向量的“量”，“符號表示”兩者兼有。在學習向量時，不總是用坐標，還得多考慮用向量解決問題。

變式訓練1：若向量a=（2，x）與b=（x，6）共線且方向相同，求x的值。

例2.已知點O、A、B、C的坐標分別為（0，0），（3，4），（-1，2），（1，1），是否存在常數(shù)t，使得■+t■=■成立？解釋你所得到的結論的幾何意義。

解法1：坐標法；解法2：由■+t■=■，可得到■-■=t■，即■=t■。

所以，只有當向量■與■共線時，才存在這樣的常數(shù)t。而■=（-2，-3），■=（-1，2），它們不平行。因此，不存在滿足題意的常數(shù)t。

設計意圖：本題進一步讓學生熟練掌握向量平行的坐標表示；解法2體現(xiàn)了“化歸思想”。通過訓練，學生對所學知識能理得清，記得住，算得準。

變式訓練2：若A（-1，-2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三點共線，則x=________。

變式訓練3：已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及■=■+t■，求t為何值時，（1）P在x軸上？（2）P在第二象限？

2.變式應用

有些命題形式簡單但是變式多樣，教學中應該通過對變式的構造，加深學生對命題本質(zhì)的理解。以“基本不等式”為例。

基本不等式內(nèi)容為：如果a，b是正數(shù)，那么■≤■（當且僅當a=b時取“=”）。

例3.已知a>0，b>0，求證：

（1）■+■≥2；（2）a+■≥2。

設計意圖：將■、■，a、■分別看作一個整體，分析條件，判斷是否滿足基本不等式的條件，再運用基本不等式解題。讓學生熟練掌握基本不等式，體驗不等式變形的兩種方法：恒等變形和代換。加深對基本不等式本質(zhì)特征的認識，體會用變化的觀點看待事物。

例4.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：

（1）■+■+■≥6；（2）a+b+c≥■+■+■。

設計意圖：分析題目條件并進行適當?shù)淖冃危寣W生熟練運用基本不等式。

例5.已知函數(shù)y=x+■（x>-2），求此函數(shù)的最小值。

設計意圖：此例題是應用基本不等式求最值。首先要對表達式進行恰當?shù)淖冃闻c轉(zhuǎn)化，然后再使用基本不等式求最值。要注意滿足三個條件：“一正、二定、三相等”，即使用基本不等式時，各項必須為正數(shù)，放縮后所得的值必須是一個定值，且等號必須能取到。

總之，要理清命題的條件和結論，尋找題目條件，更重要的是例題的選擇要有層次，要有目的性和科學性。適當?shù)臅r候還要選取一些以實際生活為背景的例題，讓學生感受數(shù)學知識與實際生活的密切聯(lián)系，同時也體現(xiàn)了數(shù)學在社會發(fā)展中的重要作用，最終使學生形成正確的數(shù)學價值觀。

參考文獻：

[1]錢國元.如何進行數(shù)學命題的教學[J].職業(yè)，2011（9）.

[2]胡曉靜.數(shù)學命題教學中的導學案運用策略分析[J].語數(shù)外學習，2013（2）.

編輯 任 壯