Besov空間到Bloch型空間上的加權微分復合算子

許毅，侯曉陽

(1.溫州大學數學與信息科學學院，浙江溫州325035；2.溫州商學院基礎部，浙江溫州325035)

Besov空間到Bloch型空間上的加權微分復合算子

許毅1，侯曉陽2*

(1.溫州大學數學與信息科學學院，浙江溫州325035；2.溫州商學院基礎部，浙江溫州325035)

設φ為單位圓盤?上的解析自映射，u為?上的解析函數。本文討論從Besov空間Bp,q到α-Bloch型空間的加權微分復合算子Dnφ,u，通過構造復雜的檢驗函數得出了算子有界性和緊性的充分必要條件。

有界性；緊性；加權微分復合算子；Besov空間；Bloch型空間

設0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函數f滿足：

特別地，當α=1時，為Bloch空間。在范數下

設D=D1是微分算子，即有

定理1上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，則加權微分復合算子是有界算子的充分必要條件是

定理2設上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，則加權微分復合算子是緊算子的充分必要條件是是有界算子，且

在無其他說明的情況下，以下均假設：

另外，E表示與z，w等無關的正常數，且在不同的地方可以表示不同的數。

1 定理1 的證明

為了證明定理1，我們需要用到下述引理。

引理1[8]設，則有

并且

下面證明定理1。

證明充分性：對任意f(z)∈Bp,q，根據三角不等式和引理1，有

由式(5)，(6)得到

因此由式(7)-(11)及?α中范數的定義，得

由上式可知

由(12)及(13)可得(1)成立。

對(2)式，同樣固定ω∈?，考察函數

2 定理2 的證明

在定理2證明過程中需要用到下面引理。

引理2設上非常值的解析自映射是緊算子的充分必要條件是是有界算子，且對于Bp,q中在?上內閉一致收斂于0的有界函數序列{fk}，有

引理2是文獻[9]中的命題3.11的特殊情況，取X=Bp,q，Y=Bα即可。

定理2的證明如下。

由于fk在?的緊子集上一致收斂于0，由Weierstrass定理可知在的緊子集上也一致收斂于0，又因為是有界算子，由定理1可得(1)，(2)成立，因此存在使得當k＞K0時，有

所以fk在的緊子集上一致收斂于0。

由引理2，結合式(16)可知

因此(3)成立。

對(4)式，取檢驗函數

類似(3)證明討論可得。

[1]Zhu K H.Operator Theory in Function Spaces[M]. 2nd ed.America:American Mathematical Society, 2007.

[2]Zhu K H.Analytic Besov spaces.J.Math.Anal.Appl, 1991,157:318-336.

[3]Zhu K.Bloch type spaces of analytic functions[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics,1993,23(3): 1143-1177.

[4]Zhu X.Products of differentiation,composition and multiplication from Bergman type spaces to Bers type spaces[J].Integral Transforms&Special Functions, 2007,18(3):223-231.

[5]Lou Z.Composition operators on Bloch type spaces [J].Analysis,2003,1(1):81-95.

[6]Li S,Steve’s S.Weighted composition operators from Zygmund spaces into Bloch spaces[J].Appl Math Comput,2008,206(2):825–831.

[7]唐笑敏,胡璋劍.Bergman空間和q-Bloch空間之間的復合算子[J].數學年刊A輯(中文版),2006,27(1): 109-118.

[8]韓秀.幾類全純函數空間上的加權復合算子[D].浙江師范大學,2009.

[9]Cowen C,MacCluer B.Composition operators on spaces of analytic functions[M].Studies in Advanced Mathematics,CRC Press,Boca Raton,Fla,USA, 1995.TransAmer Math Soc,2013,365(7):3593–3612.

Weighted differentiation composition operators from Besov spaces to Bloch type spaces

XU Yi1，HOU Xiao-yang2*
(1.College of Mathematics and Information Science，Wenzhou University,Wenzhou ZheJiang325035,China;2.Department of Basics,Wenzhou Business College,Wenzhou ZheJiang325035,China)

letbe an analytic self-map of the unit disk,andube an analytic function on.The boundedness and compactness of the weighted differentiation composition operatorDnφ,ufrom Besov spaceBp,qtoα-Bloch type spaceis discussed in this paper,and some necessary and sufficient conditions are obtained by constructing complex test functions.

boundedness;compactness;weighted differentiation composition operator;Besov space;Bloch type space

O177.2

A

1004-4329（2017）01-013-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-013-04

2016-11-10

侯曉陽（1982-），男，碩士，講師，研究方向：算子理論與泛函分析。Email：xyhou@wzbc.edu.cn。