數值處理奇性奇攝動邊值問題

張蕊蕊，陳松林

（安徽工業大學數理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032）

數值處理奇性奇攝動邊值問題

張蕊蕊，陳松林*

（安徽工業大學數理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032）

采用了數值積分方法求解帶有奇性的奇攝動邊值問題，將原邊值問題的一般方程近似轉換為帶有極小偏差的一階微分方程，利用梯形公式得出三對角方程組,再采用修正的方法對奇性進行處理，得出新的三對角系統，最后利用追趕法解出三對角方程組并驗證該方法的一致有效性.

兩點邊值；數值積分；奇點；邊界層；一致有效性

奇攝動問題廣泛應用在科學與工程的各個領域，而近年來,奇異奇攝動問題是應用數學家越來越感興趣的領域，關于奇異奇攝動問題的相關研究與文獻資料并不多。

Kadalbajoo和Reddy介紹了一種通過偏差求解奇異攝動邊值問題的計算方法[1],J.Ras-hidinia等得出數值方法求解兩點邊值問題[2],BSL.Soujanya和G.K.Phnaeendra在前人的基礎上提出了一種數值積分方法去解奇性奇攝動兩點邊值問題[3]。

本文采用數值積分方法處理帶有雙奇性的奇攝動兩點邊值問題；第二部分，分別從左邊界層與右邊界層對雙奇性奇攝動邊值問題的數值處理方法進行討論；第三部分，通過舉例證明本文所采用的方法是一致有效的。

1 數值積分方法

考慮具有雙奇性奇攝動兩點邊值問題

1.1 左邊界層問題

設k1＞0,在區間(0,1)上，取一個小的正常數0＜δ＜＜1，假設對y"(x)在x的δ鄰域內按泰勒級數展開，有

將（3）代入方程（1）中，則得到帶有偏差δ的一階常微分方程去近似二階微分方程(1)

其中

為了進行數值求解,先將區間(0,1)等分為N個子區間，節點步長h=1/N，xi=ih,i=0,1,…,N.在區間[xi,xi+1],i=1,2,…,N上對(4)進行兩邊積分

利用梯形公式近似估計(5)式中的積分得

結合（7）與（6），我們可得出方程組

在式（8）中，存在N-1個方程和N+1個未知數，因此再結合（2）可以求出雙奇性奇攝動邊值問題的解yi,i=0,1,…,N.

依據混凝土材料制品樣式的擺放形式，可堆砌成包括：平鋪式、階梯式、箱式、仿石式、魚巢式、卵石式和植草式七種護坡形式。現對這七種新型混凝土護坡形式和施工技術要求作詳細介紹（文中各護坡樣式圖均參考大連東馬混凝土構件有限公司材料廠家資料）。

1.2 右邊界層問題

設k1＜0，不難推知,奇攝動問題(1)和(2)在x=1的鄰域處存在邊界層。對y"(x)在x的δ鄰域內按泰勒級數展開，有

將（9）代入（1），則二階微分方程可用帶有偏差δ的一階常微分方程去近似，得

其中

再利用梯形公式近似估計積分，得

再由泰勒級數展開及線性插值逼(y'x)，則有

但是，在i=1時Ei沒有意義，方程（14）在x=0附近具有奇性。因此，前面所獲得的差分格式系數也具有奇性。為了解決此問題，我們將用改進的數值方法對奇點作以下處理：在奇點x=0處，對方程（1）運用洛必達法則，可得方程

對y"(x)在x的δ鄰域內按泰勒級數展開

將（16）代入（15），可得

其中

在區間[x0,x1]上，對（17）進行兩邊積分，并利用梯形公式近似所含積分，得

因此，由式（2）、（14）和（20）聯立方程組

可解得帶有右邊界層的雙奇性奇攝動邊值問題的解yi,i=0,1,…,N。

2 數值仿真

2.1 考慮奇攝動問題的左邊界層問題

圖1 例1的解

表1 例1的解

2.2考慮奇攝動問題的右邊界層問題

例2

從上述結果來看，所得的近似解刻畫了問題的右邊界層行為，然而由于方程的奇性較大，使得誤差相對地也變大了。

圖2 例2的解實線為精確解，虛線為數值解

表2 例2的解

[1]Kadalbajoo M K,Reddy Y N,Numerical solution of singularly perturbation problems via deviating arguments[J],Applied Mathematics and Computation, 1987,21:221-232.

[2]Rashidinia J,Mohammadi R,Jalilian R,The numerical solution of non-linear singular boundary value problems arising in physiology[J],Applied Mathematics and Computation,2007,185:360-367.

[3]Reddy Y N,Reddy K A.Numerical integration method for general singularly perturbed two point boundary value problems[J].Applied Mathematics and Computation,2002,133(2/3):351-373.

[4]Srinivasacharya D,B.S.L.Soujanya G,Phnaeendra K. Numerical integration method for singular-singularly perturbed two point boundary value problems[J],Procedia Engineering,2015,127:545-552.

[5]顏慶津．數值分析[M]．4版．北京：北京航天航空大學出版社，2006．

[6]孫志忠，吳宏偉，袁慰平，等．計算方法與實習[M]．5版．南京：東南大學出版社，2011．

[7]Mohanty R K,Urvashi A.A family of non-uniform mesh tension spline methods for singularly perturbed two point singular boundary value problems with significantthenumericalfirstderivatives[J],Applied Mathematics and Computation,2006,172:531-544.

[8]Mohanty R K,Jha N,Evans D J,Spline in compression method for the numerical solution for singularly perturbed two point singular boundary value problems [J],International Journal of Computer Mathematics, 2004,81:615-627.

Numerical treatment of singular-singularly perturbed boundary value problems

ZHANG Rui-rui，CHEN Song-lin*
(School of Mathematics&Physics,Anhui University of Technology,Ma’anshan Anhui243032,China)

A numerical integration method is used to solve the singular-singularly perturbation boundary value problem. General equation of the original boundary value problem is transformed to an asymptotically equivalent first order differential equation with a small deviating argument.Tridiagonal system was obtained by applying Trapezoidal formula on the first order differential equation.Using the modified method to deal with the boundary value problem of singularity.Finally,we solved the tridiagonal equations by the catch-up method and verified the validity of the proposed method.

boundary value;numerical integration;singular point;boundary layer;uniformly valid

O175.6;O175.8

A

1004-4329（2017）01-004-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-004-04

2016-11-15

張蕊蕊(1990-)，女，碩士生，研究方向：奇異攝動理論。

陳松林(1964-)，男，碩士，教授，研究方向：奇異攝動理論。Email：slchen@ahut.edu.cn。