一類具有調和曲率黎曼流形剛性定理的推廣

儲亞偉，李雯雯，黃映雪

（阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽236037）

一類具有調和曲率黎曼流形剛性定理的推廣

儲亞偉，李雯雯，黃映雪

（阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽236037）

通過建立任意黎曼流形零跡黎曼曲率張量模長平方的拉普拉斯公式，在具有平行Cotton張量、正Sobolev常數和負數量曲率的條件下，證明了完備非緊黎曼流形的一個剛性定理，推廣了相關結果。

剛性；調和曲率；Cotton張量；推廣

設(Mn,g)(n≥3)為一n-維黎曼流形，其黎曼曲率張量、Ricci張量、Weyl曲率張量及數量曲率分別記為Rm={Rijkl}，W={Wijkl}，Rc={Rij}和R，則Rm有如下的正交分解：

它與Weyl張量之間的關系滿足

本文使用愛因斯坦求和約定。

若(Mn,g)的Cotton張量消失，即W的散度為零（見（1）式），則稱(Mn,g)具有調和Weyl張量。更一般地，若Cotton張量C的協變導數為零，即?C=0，則稱流形(Mn,g)具有平行的Cotton張量。事實上，該條件不但是“Weyl曲率調和”條件的推廣，也弱化了常見的曲率條件——調和曲率，即Rm的散度為零。它們之間的關系如下[1]：Rm調和?Rc是Codazz型張量?W調和且R為常數?C平行。

因此，常曲率空間、愛因斯坦流形、調和曲率流形及具有平行Ricci張量的流形都是平行Cotton張量黎曼流形的例子，反之不真。于是，探求合適的曲率條件，使得黎曼流形是常曲率空間或愛因斯坦流形是微分幾何的重要研究課題之一。

對于具有調和曲率的緊致黎曼流形，1996年，在R＞0的條件下，Hebey-Vaugon[2]證明了該類流形的型剛性定理。2011年，Kim[3]研究了具有調和曲率和R≤0的完備非緊流形的剛性問題，在具有正Sobolev常數的假定下，證明了如下定理：

定理[3]1設(Mn,g)為具有調和曲率、正Sobole常數和負數量曲率的n-維（n≥8）完備非緊黎曼流形。假定且存在常數C1＞0，使得若則(Mn,g)為常曲率空間,其中為零跡Ricci量。

使用零跡曲率張量及橢圓估計，付海平等[4]把上述定理推廣為

定理[4]2設(Mn,g)為具有調和曲率、正Sobolev常數和負數量曲率的n-維（n≥10）完備非緊黎曼流形，假定對所有

本文將證明，上述定理2中的“調和曲率”可減弱為“平行Cotton張量”，即有如下推廣：

定理3設(Mn,g)為具有平行Cotton張量、正Sobolev常數和負常數量曲率的n-維（n≥10）完備非緊黎曼流形。假定對所有

注1由于具有調和曲率的流形一定具有常數量曲率和平行的Cotton張量，因此定理3推廣了定理1與定理2。

注2在引理1的證明過程中不難發現，定理3中“常數量曲率”的假定還可減弱為“數量曲率的Hessien為零”，即HessR=0。

1 預備知識

設(Mn,g)(n≥3)為一n-維完備黎曼流形，在局部坐標系中，由Rm的性質易得：

當n≥3時，由（5）式易得

若HessR=0，對任意整數p∈{1,2,…,n}，根據張量S,C的定義及（1）式可得

因此，條件?C=0等價于

對于給定的完備黎曼流形，其上的Sobolev常數Q(Mn,g)定義如下：

在緊致黎曼流形上，Q(Mn,g)的符號與數量曲率R的符號一致，且其下確界總可以達到。

2 定理證明

首先，我們計算零跡黎曼曲率張量模長平方的拉普拉斯：

引理1設(Mn,g)(n≥3)為完備黎曼流形，則

證明由的定義及（2）式知

根據第二Bianchi恒等式，得

結合（9）式可得

使用（2）式及Ricci恒等式，得

使用（2）式、（3）式，可由（11）式推出

其中，

把（12）式、（13）式帶入（10）式，得

這正是引理1的結果。

其次，利用?C=0及常數量曲率（或Hess R=0）的條件，結合（8）式可得

引理2設(Mn,g)(n≥3)為具有平行cotton張量及常數量曲率（或Hess R=0）的完備黎曼流形，則

引理2的（14）式正是文獻[4]的（10）式，相比之前的定理1、定理2及（10）式，引理2是在更為一般的條件下獲得的。仿照定理2的證明過程，可以得到定理3（細節參見文獻[4]中定理1.6的證明）。

注3對于具有非負數量曲率或緊致黎曼流形的情形[5,6]，相關的研究將在另一篇論文中給出。

[1]Besse A L.Einstein manifolds[M].Heidelberg: Springer-Verlag,1987.

[2]Hebey E,Vaugon M.Effective pinching for the concircular curvature[J].The Journal of Geometric Analysis, 1996,6(4):531-553.

[3]Kim S.Rigidity of noncompact complete manifolds with harmonic curvature[J].Manuscripta Mathematica,2011,135(1/2):107-116.

[4]Fu H P,Xiao L Q.SomeLprigidity results for complete manifolds with harmonic curvature[J].Manuscripta Mathematica,2015,135(1-2):107-116.

[5]Fu H P.On compact manifolds with harmonic curvatureandpositivescalarcurvature[J].Mathematics, 2015,62(1):79-125.

[6]Chu Y W.Complete noncompact manifolds with harmonic curvature[J].Frontiers of Mathematics in China,2012,7(1):19-27.

Generalization of a class of rigidity theorem for Riemannian manifolds with harmonic curvature

CHU Ya-wei,LI Wen-wen,HUANG Ying-xue
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China)

In this paper,by establishing the Laplacian of the norm square of the trace-free curvature tensor for any Riemannian manifold,a rigidity theorem for complete noncompact Riemannian manifold with parallel Cotton tensor,positive Sobolev constant and negative scalar curvature was prvoed,which extends the corresponding results.

rigidity;harmonic curvature;Cotton tensor;generalization

O174.5

A

1004-4329（2017）01-001-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-001-03

2016-08-19

國家自然科學基金項目（11371330）；安徽省教育廳自然科學基金重點項目（KJ2014A196）資助。

儲亞偉（1977－），男，博士，副教授，研究方向：幾何分析。