讓概念課更加自然、合理

徐雯雯

一、 教學內容

人教版選修2—1第二章第一節：曲線與方程

二、教材分析

曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數”的范疇，它們通過直角坐標系而聯系在一起，曲線的方程是曲線幾何的一種代數表示，方程的曲線則是代數的一種幾何表示。在直角坐標系中，點可由它的坐標來表示，而曲線是點的軌跡，所以曲線可用含x、y的方程來表示。“曲線和方程”這節教材，揭示了幾何中的“形”與代數中的“數”的統一，對解析幾何教學有著深遠的影響，曲線與方程的相互轉化，是數學方法論上的一次飛躍。

由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內容，因而學生用解析法研究幾何圖形的性質時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學習的入門之徑。求曲線與方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應該認識到，本節內容是解析幾何的重點內容之一。本節中提出的曲線與方程的概念，它既是對以前學過的函數及其圖象、直線的方程、圓的方程等數學知識的深化，又是學習圓錐曲線的理論基礎，它貫穿于研究圓錐曲線的全過程，根據曲線與方程的對應關系，通過研究方程來研究曲線的幾何性質，是幾何的研究實現了代數化。數與形的有機結合，在本章中得到了充分體現。

三、教學目標

1.知識目標

1、了解曲線上的點的坐標與方程的解之間的一一對應關系；

2、初步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

3、學會根據已學知識為切入點，引起關注，引發數學思考進而分析、判斷、

歸納結論

4、強化“形”與“數”一致并相互轉化的思想方法。

2.能力目標

1、在形成曲線和方程的概念的教學中，學生經歷觀察、分析、討論等數學活動過程，探索出結論，并能有條理的闡述自己的觀點；

2、能用所學集合知識理解新的概念，從中體會轉化化歸的思想方法，提高思

維品質，發展應用意識。

3.情感目標

1、通過問題的引入，讓學生感受從特殊到一般的認知規律；

2、通過問題解決，培養合作交流、獨立思考等良好的個性品質，以及勇于批判、敢于創新的科學精神。

四、教學重點、難點

1.教學重點

理解曲線的方程和方程的曲線的概念

2.教學難點

對曲線的方程和方程的曲線間的對應關系的理解

五、教學過程

【問題引入】設計問題，激發興趣，提出問題

問題1. 你能找到這些常見曲線（拋物線和橢圓）在現實生活的原型嗎？

問題2. 構成曲線的基本元素是什么？曲線如何形成？

問題3. 請例舉一些學過的曲線

問題4.我們可以用什么方法研究這些曲線？

說明：1.通過問題串的形式，并且從學生熟悉的模型出發，讓學生回顧構成曲線的基本元素是點，而曲線是滿足一定條件的點的軌跡。進一步回顧以前所學習過的曲線，以及通過方程去研究直線與圓的基本思想，從而引出課題。

2.教師設計了一個好的問題（情境），可以建立數學與生活的聯系，喚起學生的經驗，引起學生的關注，引發數學思考，引出數學問題，并且在創設情境的過程中，鼓勵學生發現數學規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程。

【問題引學】提出問題，引發思考

問題5

曲線：一、三象限角平分線；

方程：（1） ；（2） （3） 。

你能找出第一、三象限角平分線的方程嗎？

問題6：以后怎么看方程表示曲線，曲線表示方程？

說明：從學生已學知識為切入點，引起學生的關注，引發數學思考，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程。使學生不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想像、抽象概括、反思與建構等思維過程。讓學生在問題中體會曲線的上的點與方程的解的一一對應關系，引出概念。

【概念形成】通過觀察歸納，形成概念，幫助學生建立數學理論

曲線的方程、方程的曲線的定義：

一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程 的實數解建立了如下的關系：

（1）曲線上的點的坐標都是方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點；

那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

說明：1.結合問題5、問題6，嘗試歸納，生成概念。在拿出（1）后可以問學生有沒有必要，（1）夠不夠？還有一個你覺得是什么？設法讓學生歸納出第二條。

2.由特殊到一般，從簡單到復雜，使新知的建構順暢和自然，既體現在教師引導下學生自我建構，又使學生感到知識之間并不是孤立的，而是相互聯系的，他們是一個相互聯系的、密切相關的整體。

3.深化概念：讓學生從集合的角度去體會，曲線的點集用C表示，方程 的解集用F表示。條件（1）即 條件（2）即 ，所以 。讓學生去體會曲線的點與方程的解的一一對應關系。

【例題分析】通過運用，鞏固概念

例1.請判斷正誤，并說明理由

（1）到x軸距離等于1的點的軌跡方程為y=1；

（2）三角形ABC的頂點A（0，-3），B（-2，0），C（2，0），D為BC中點，則中線AD的方程為x=0.

（3）已知點A（2，0），到點A的距離為2的點的軌跡方程為x2-4x+y2=0

例2.證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k（k>0）的點的軌跡方程是xy=±k.

說明：1.例1讓學生進一步深化曲線和方程的定義，定義中的（1），（2）兩條缺一不可。并且提升到理論層次，讓學生指出如果不符合，不符合的是哪一條。2.例2首先引導學生如何證明。引導學生從兩方面進行證明。點和解指的都是有關集合中的全體元素，怎樣解決全體問題。讓學生體會用“任意一個”代表“全體”是數學證明中常用的方法。最后師生共同來歸納證明已知曲線的方程的一般方法和步驟。第一步，設 是曲線C上任一點，證明 是 的解；第二步，設 是 的解，證明點 在曲線C上。

并且進一步引導學生感受證明已知曲線的方程與證明充要條件的聯系，使學生把現有的知識與以前的知識進行聯系。

數學概念是要在運用中得以鞏固，通過練習，可以糾正錯誤的認識，促使對概念的正確理解。

【課堂小結】

1、曲線的方程和方程的曲線的概念

2、基本思想與方法

數形結合的思想 ， 轉化與化歸的思想

說明：讓學生回顧、總結、聯系、整合、提高認識、理解。endprint