題在書外 根在書內

周淑丹

高中數學人教A版必修4第100頁探究題為：當 時，點P的坐標是什么？由此不難得出P點的橫坐標 （ ）。我們進一步研究 和 的聯系，上式變形為 ，這是一個反比例型函數，其圖象為

（ ） （ ）

根據圖象的特征，我們可得到

性質：平面內兩定點 ，不妨設 ， （i=1，2，3……）滿足 ，對于不同的i，j，有

（1） 若 ，則 ，且點 比 距B點近；

（2） 若 ，則 ，且點 比 距B點遠；

（3）若 ，則 ，且點 在點B左（右），點 在點B右（左）；

證明：（1）

又 ，

（ ） ，由圖象知，點 比 距B點近。（2），（3）同理可證。（略）

我們利用上述性質，常可應用于下列幾何問題：

1.用于比較值的大小

例1.已知 ， ， ，試比較a，b，c的大小。

分析：此題常規法利用函數單調性解。根據數字的結構特征，可化為 形式的式子，再利用性質能較方便的得出大小關系。

解：設 ， 滿足 ，令 ， ， ，此時 ， ， ，且 根據性質（1）得 。

上題可推廣到更一般化情形：

設 且 ，b，t，s ，試比較 與 的大小。

分析：將原式變形為 與 ，設 ， 滿足 ，令 ， ，當 時， ，有 ， ，又 ，所以 ，由性質1知，前者比后者大。當 時，同理可得。（略）

例2.已知 且 ， ，判斷 與 的大小。

分析：根據分式結構關系，分子三倍角正切可化單角的正切，再化簡轉化為需要的形式。

解： ， ，

設 ， 滿足

令 ， ，

（i）當 時， ， ，

， ，由性質（1）知 ；

（ii） 當 時，有 ，由性質（1）知 ；

（iii）當 時，有 ，由性質（3）知

2.應用于解不等式

例3.解不等式：

解：令 ， ， 滿足 ， ，則不等式轉化為 ，即點 在點 與 之間（包括端點）變動，而 滿足 時對應的 ，所以

即

（1）當 時， ，即原不等式的解集為 ；

（2）當 時， ，即原不等式的解集為 。

3.應用于證明不等式

例4. 若 ，則 。

證明： ，

設點 ， 滿足 ，令 ， ，由 知 ，所以 ，即

由性質（3）知 ，且點 在點B左邊，點 在點B右邊，所以 即 。

例5.若 ，求證 不能介于 與 之間。

證明： ， ， ，

設點 ， 滿足 ，令滿足 ， ， ，因為 ， ，所以 ， ， ，

即 。

當 時，

當 時，

即 不能介于 與 之間。

由上述幾方面的解題思路不難看出，任何一道看似繁難的課外題目，它的解題知識點和思想方法其實都在課本內。因此，加強對課本知識的深挖細析是提高解題能力的關鍵。

參考文獻：

【1】林國欽.構造定比分點坐標解題.中學數學月刊，1999.6.

【2】滿多博.構造函數解不等式問題的若干方法.數學教學研究，2002.2.

【3】宋海永.挖掘課本素材，成就精彩教學.中學數學月刊，2012.8.

【4】王淼生.數學美本質上終究是簡單.數學教學，2013.8.endprint