中考中的全等三角形問題

李蘇娟

中考中的全等三角形問題

李蘇娟

全等三角形是初中幾何中的重點內容，也是中考命題的熱點素材.在每一份中考試卷中，與全等三角形相關的內容都占有一定的比例，其主要題型有：

一、直接證明三角形全等

例1（2017·廣東廣州）如圖1，點E、F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF.求證：△ADF≌△BCE.

圖1

【分析】先將AE=BF轉化為AF＝BE，再利用“SAS”證明兩個三角形全等.

【證明】∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.在△ADF和△BCE中，∵AD=BC，∠A=∠B，AF=BE，∴△ADF≌△BCE（SAS）.

【說明】本題考查直接證明兩個三角形全等，解題中要注意兩點：一是線段AE與BF不是兩個全等三角形的對應邊，而是其中的一部分，因此必須先由它們推導出對應邊AF與BE相等；二是要正確選擇判定方法，按照判定方法的順序書寫全等的條件.

二、證明三角形的元素(邊或角)相等

例2（2017·湖北黃岡）已知：如圖2，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM.求證：∠B=∠ANM.

圖2

【分析】因為∠B與∠ANM分別分布在△ABD與△ANM中，所以只要利用“SAS”證明△ABD≌△ANM，即可得到結論.

【證明】∵∠BAC=∠DAM，∴∠BAC-∠CAD=∠DAM-∠CAD，即∠BAD=∠NAM.在△ABD和△ANM中，∵AB=AN，∠BAD=∠NAM，AD=AM，∴△ABD≌△ANM（SAS），∴∠B=∠ANM.

三、證明兩線垂直（或夾角為90°）

例3（2016·湖北荊門）如圖3，在Rt△ABC中∠ACB=90°，點D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CF，連接EF.

圖3

圖4

（1）補充完成圖形；

（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°.

【分析】（1）根據題意補全圖形，如圖4所示；（2）由旋轉的性質得到∠DCF為直角，由EF∥CD，得到∠EFC為直角，利用“SAS”得到△BDC與△EFC全等，利用全等三角形對應角相等即可得證.

【解】（1）補全圖形，如圖4所示；（2）由旋轉的性質得∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD.∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°.在△BDC和△EFC中，DC=FC，∠BCD=∠ECF，BC=EC，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°.

【點評】利用三角形全等是證明兩個角相等的重要方法，進而可以證明兩線垂直.當題目中出現平行線時，可根據平行線的性質得到相等的角，還要注意公共線段、公共角、重合線段、重合角對得到相等線段和相等角的作用.

四、證明線段的倍分關系

例4（2015·四川南充）如圖5，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF＝2CD.

圖5

【分析】（1）根據AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠AEF=∠CEB=∠ADC=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°，結合∠AFE=∠CFD得出∠EAF=∠ECB，從而得到△AEF≌△CEB；（2）由△AEF≌△CEB得到AF=BC；再由AB＝AC，AD⊥BC，AD= AD，可以證明△ABD≌△ACD，可得BC=2CD，從而得出AF=2CD.

【證明】（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF=

∠CEB=∠ADC=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠ECB.在△AEF和△CEB中，∠AEF=∠CEB，∠EAF=∠ECB，AE=CE，∴△AEF≌△CEB；（2）由△AEF≌△CEB，可得AF=BC.又∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB=AC， AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴CD=BD，∴BC=2CD，∴AF=2CD.

【點評】證明線段間的倍分關系，通常轉化為證明線段的相等關系.

五、解決生活實際問題

例5（2016·湖北宜昌）楊陽同學沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標語.其具體信息匯集如下：

圖6

如圖6，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等.AC、BD相交于O，OD⊥CD垂足為D.已知AB=20米.請根據上述信息求標語CD的長度.

【分析】如果能證明△BOA≌△DOC，就可以得到CD=AB，問題即可獲解.由題意可知，△BOA和△DOC具備了“角邊角”（或角角邊）的條件.

【解】∵AB∥DC，∴∠ABO＝∠CDO.又∵DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB.∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴BO=DO，∴△BOA≌△DOC（ASA）.∴CD=AB=20（米）.

答：標語CD的長度是20米.

【點評】用全等三角形的知識解決實際問題，要先將實際問題轉化為數學問題，再應用全等三角形的判定方法與性質來解題.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）