三角形全等條件的理解

杭永根

三角形全等條件的理解

杭永根

判定三角形全等的方法有“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊邊”，對于直角三角形全等的判定，除了上述方法外還有“斜邊、直角邊”，如何理解這些三角形全等的條件呢？下面對判定三角形全等的條件加以剖析，供同學們學習時參考.

一、邊角邊（SAS）

對于這個判定方法，同學們要注意4點：

第一，這個判定方法是作為公理給出的，盡管我們可以用畫圖試驗的方法來驗證它，但驗證不等于證明（下面幾個判定方法也是如此）.

第二，這個公理的條件是3個元素（兩邊和一對夾角）對應相等，即一個三角形的“邊角邊”對應著另一個三角形的“邊角邊”.這里“對應”兩個字很重要，如果不注意，就可能出現下列情況：一個三角形是“邊角邊”，而另一個三角形是“邊邊角”，這樣的兩個三角形就不一定全等.

例如，圖1中，AB＝DE，∠B=∠E，BC＝DF，但△ABC與△DEF就不全等.由此可知“對應”包含著順序關系.

圖1

第三，這個公理的條件中“相等的角”是指兩條邊的夾角（所以寫成“邊角邊”），如果把夾角改成其中一邊的對角（變成“邊邊角”），那么這兩個三角形也不一定全等.

例如，圖2中，雖然有∠B=∠B，AB=AB，AC= AE，但顯然△ABC和△ABE并不全等.

圖2

第四，根據這個公理可知，有兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

二、角邊角（ASA）

對于這個公理和推論，需要說明3點：

第一，這個公理的題設也是3個元素（兩個角和一條夾邊）對應相等，它是一個三角形的“角邊角”對應另一個三角形的“角邊角”.這里的“對應”仍然包含著順序關系，不能含糊.

第二，“角邊角”公理能夠改變對應順序，變成“角角邊”或“邊角角”，這時恰好是它的推論，只要有任意兩個角和一邊對應相等，這兩個三角形就全等.但一定要注意“對應”二字.

如圖3，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝EF（這兩邊不是對應邊），所以△ABC與△DEF不全等.

圖3

第三，由這個公理可知，有一個銳角與一條邊對應相等的兩個直角三角形全等.

三、邊邊邊（SSS）

對于這個判定方法要注意以下幾點：

第一，這個判定方法的條件也是3個元素（三條邊）對應相等，由于只有三角形的三條邊，所以應用這個判定方法判定兩個三角形全等時，對邊的書寫順序要求不嚴格.

第二，這個判定方法表明了這樣一個客觀事實：只要三角形三條邊的長度確定了，它的形狀也就確定了.這個性質叫做三角形的穩定性.我們在生產和生活中，隨處都可以見到三角形穩定性的應用.

四、斜邊、直角邊（HL）

判定兩個直角三角形全等的方法有：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”是直角三角形所特有的.分析“HL”定理，我們可以發現，它屬于“SSA”型.但前面我們又已經知道，有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.那滿足“SSA”型的兩個三角形何時才能全等呢？

方法1：若兩個三角形有兩邊及其中一邊的對角對應相等，當這個角是直角時，這兩個三角形全等.

方法2：若兩個三角形有兩邊及其中一邊的對角對應相等，當這個角是鈍角時，這兩個三角形全等.

方法2是說，在兩個鈍角三角形中，有兩邊對應相等，且這兩條邊之一是鈍角的對邊，則這兩個三角形全等.如圖4，在△ABC和△DEF中，AB= DE，BC=EF，∠ACB=∠DFE＞90°，則△ABC≌△DEF.事實上，過B、E分別作射線AC、DF的垂線，垂足為M、N，由∠ACB=∠DFE，得∠BCM=∠EFN，又BC=EF，所以Rt△BCM≌Rt△EFN（AAS），所以BM=EN.再由“HL”可以證明Rt△ABM≌Rt△DEN，得∠A=∠D，再證明△ABC≌△DEF就容易了.

圖4

方法3：若兩個三角形有兩邊及其中一邊的對角對應相等，當這兩邊的夾角是鈍角時，則這兩個三角形全等.

如圖5，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC= EF，∠ACB＞90°，∠DFE＞90°，∠A=∠D，則△ABC≌△DEF.事實上，分別過C、F作CM、FN的垂線，垂足分別為M、N，由∠A=∠D，AC=DF，可得Rt△ACM≌Rt△DFN，有CM=FN，再由CM=FN，BC=EF，由“HL”可得Rt△BCM≌Rt△EFN，有∠B=∠E，再證明△ABC≌△DEF就容易了.

圖5

由上面的探索可知，滿足“SSA”的兩個非銳角三角形一定全等.

方法4：若兩個三角形有兩邊及其中一邊的對角對應相等，當兩個三角形都是銳角三角形時，這兩個三角形全等.

如圖6，在銳角△ABC和銳角△DEF中，AB= DE，BC=EF，∠ACB=∠DFE，則△ABC≌△DEF.事實上，如圖6，分別過點B、E作AC、DF的垂線，垂足為M、N，由∠ACB=∠DFE，BC=EF，得Rt△BCM≌Rt△EFN（AAS），所以BM=EN；再由“HL”可以證明Rt△ABM≌Rt△DEN，得∠A=∠D，再證明△ABC≌△DEF就容易了.

圖6

你還有其他的方案嗎？請寫出來，與你的同伴進行交流.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）