不再被“圓”困住

王磊

不再被“圓”困住

王磊

一、重點知識

“圓”的相關知識，是初中數學中非常重要的部分.其知識點密集、思維能力要求較高.為了便于同學們掌握，筆者將本章知識總結如下：

二、常見問題

1.審題的精準性.

有同學在審題時不認真，沒有看清楚題目的內容，導致解題錯誤.防止這類問題出現的方法是，在閱讀時放慢速度，在關鍵語句處做標記，提高讀題的準確度.

例1（2017·泰安）如圖1，△ABC內接于⊙O，若∠A=α，則∠OBC等于（）.

A.180°-2αB.2α

C.90°+αD.90°-α

圖1

【分析】本題求的是∠OBC的度數，只需根據圓周角與圓心角的關系，求出∠BOC的度數，再用三角形內角和的知識，求出∠OBC即可.有部分同學由于沒有準確理解題意，以為只是求∠A對的弧所對的圓心角的度數，錯選了B答案.

【解答】因為∠A=α，所以∠BOC=2α，由三角形內角和知識可知，答案選D.

【點評】解決圓的問題，要關注解題方法，可以采用邊閱讀邊標記的方法，將題目的條件寫在圖像上.一般情況下，題目要多讀幾遍，確認自己的理解是否與題目一致，這樣就可以有效防止主觀性錯誤的發生.

2.方法的合理性.

在閱讀題目的時候，要思考其直接條件和隱性條件，梳理與之相關的常用解題方法，尤其是勾股定理、列方程等.

例2（2017·南京）過三點A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圓的圓心坐標為（）.

【分析】本題考查了位置的確定、三角形的相關知識，解決本題需要在平面直角坐標系中，畫出三個頂點的位置，然后得到一個等腰三角形，在該三角形中，運用勾股定理和方程思想，列出對應方程，得到結果.本題的難點在于如何將數與形相結合，找到等量關系列出方程.

【解答】該圓心為D，由題意可知CD=AD，AC=BC.由“三線合一”可知：CE⊥AB.在Rt△ADE中，設AD=x，由勾股定理得：

x2=（3-x）2+22，解得：，即，所以D點坐標為

【點評】在平面直角坐標系中運用勾股定理是常用的一類解題思路.本題的難點在于，我們平時很少在這樣的環境下求圓心的坐標，能否將圓的半徑AD看成Rt△ADE的斜邊，利用勾股定理，列方程求解是關鍵.要能迅速地解決此類問題，需要一定量的練習，同時，要學會用方程思想分析問題.

3.邏輯的科學性.

圓與數學中其他知識的聯系性比較強，解決問題時，需要較高的思維量，這就需要清晰的思路、靈活的思維，做到手到、眼到、腦到，要學會把握題目中的關鍵條件，科學地尋找解決問題的切入口.

例3（2017·泰州）如圖2，⊙O的直徑AB=12cm，C為AB延長線上一點，CP與⊙O相切于點P，過點B作弦BD∥CP，連接PD.

（1）求證：點P為弧BD的中點；

（2）若∠C=∠D，求四邊形BCPD的面積.

圖2

【分析】本題考查了垂徑定理、切線的性質、勾股定理、平行四邊形的相關知識和三角形的部分知識.因此，本題具有較強的綜合性，重點考查了思維的敏捷性.問題（1）根據切線的性質，連接PO，運用垂徑定理即可證明；對于問題（2），首先證明△COP?△BAD，得到CO= AB=12cm，再由勾股定理求CP的長，進而求出平行四邊形的高，最后求得平行四邊形的面積.

【解答】（1）證明：連接OP，交BD于點E，因為CP與⊙O相切于點P，所以OP⊥CP，因為DB∥CP，所以OP⊥BD，所以，所以點P為的中點.

（2）解：連接AD，因為AB是直徑，所以∠ADB=90°=∠OPC.因為BD∥CP，所以∠C=∠DBA，因為∠C=∠BDP，所以DP∥BC，所以四邊形BCPD是平行四邊形，所以DB=CP，所以△COP?△BAD，得到CO=AB=12（cm），因為OP=6（cm），所以CP=6 3（cm），因為DB∥CP，CB=OB，所以PE=OE=3（cm），所以SBCPD=

【點評】數學解題能力的提升，不能僅僅依賴題海戰術，更要學會提煉解題思想和方法，反思解題過程，將數學解題經驗內化為自己的解題能力.我們在解決與圓相關的問題時，需要自己在熟練掌握基本知識的基礎上，理清思路，合理地選擇解題方法，冷靜地思考、仔細地觀察、積極地探索，從而形成敏捷的思維，找到問題的切入口，順藤摸瓜，在不斷的發現中解決問題.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）