定義于單葉雙曲面上的Lagrange插值問題研究

崔利宏， 劉海波， 惠婷婷

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

定義于單葉雙曲面上的Lagrange插值問題研究

崔利宏， 劉海波， 惠婷婷

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

以二元函數(shù) Lagrange 插值研究結(jié)果為基礎(chǔ)，對三元函數(shù)Lagrange插值結(jié)點(diǎn)組可解性問題進(jìn)行研究， 提出定義于單葉雙曲面上的Lagrange插值唯一可解結(jié)點(diǎn)組的基本概念，研究了定義于單葉雙曲面上的Lagrange插值可解結(jié)點(diǎn)組的某些基本理論和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，得到構(gòu)造定義于單葉雙曲面上的Lagrange插值可解結(jié)點(diǎn)組的添加圓錐曲面法.這些方法都是以疊加方式構(gòu)造完成的，這對于編譯計(jì)算機(jī)算法程序，進(jìn)而在計(jì)算機(jī)上自動(dòng)完成插值可解結(jié)點(diǎn)組的構(gòu)造并得到插值格式創(chuàng)造了十分便利的條件.最后給出實(shí)例驗(yàn)證算法的有效性.

單葉雙曲面；多元Lagrange插值；唯一可解結(jié)點(diǎn)組；疊加插值法

多元函數(shù)插值長期以來一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)主要研究內(nèi)容(詳見文獻(xiàn)[1])，有關(guān)多元函數(shù)插值基本理論和方法研究中一個(gè)基本問題是多元插值函數(shù)的唯一存在性問題，也就是插值的正則性問題.由文獻(xiàn)[1]可知，國內(nèi)外學(xué)者對這一問題的研究主要有兩個(gè)判別，一種是給定插值空間，去構(gòu)造相應(yīng)唯一正解結(jié)點(diǎn)組；另一種是給定結(jié)點(diǎn)組，去構(gòu)造相應(yīng)正則插值空間，而且要求空間的次數(shù)盡可能低[2-4].對于某一類問題，目前，有關(guān)在整個(gè)空間進(jìn)行插值以及關(guān)于定義于空間中一般代數(shù)流形插值的研究結(jié)果相對完備，而關(guān)于有著重要實(shí)用價(jià)值的具體流形上的插值結(jié)果并不多見.梁學(xué)章等人[5]討論了單位球面上的緯線組選取插值唯一正解結(jié)點(diǎn)組的方法.Castell等人[6]利用球面上偶數(shù)條緯線上等距點(diǎn)組構(gòu)造了球面上的唯一正解結(jié)點(diǎn)組.

雙曲面是除球面外的另一類主要的二次代數(shù)曲面，其在工程設(shè)計(jì)中有著重要的作用.例如，熱電廠的自然通風(fēng)冷卻塔的塔身一般設(shè)計(jì)為單葉雙曲面殼體，具有穩(wěn)定性好、抗風(fēng)、抗震能力強(qiáng)；流體對流速度快，散熱性好；施工方便等諸多優(yōu)點(diǎn).因此，對定義于雙曲面上的插值問題研究意義重大.

1 基本定義和基本定理

定義2F上的插值唯一可解結(jié)點(diǎn)組.

定理2構(gòu)造F上插值唯一可解結(jié)點(diǎn)組添加圓錐曲線法.

定理3判定定理.

(*)

則多項(xiàng)式

即p(x,y,z)在F上恒為0.

2 實(shí)驗(yàn)算例

p(x,y,z)=a1x2+a2y2+a3z2+a4xy+a5xz+a6yz+a7x+a8y+a9z+a10.

將插值條件帶入p(Qi)=f(Qi),i=0,1,…,9，得到方程組為A×X=B，其中,

圖1 雙曲面取點(diǎn)效果圖Fig.1 The effect picture of hyperboloid point taking

[1] 梁學(xué)章.關(guān)于多元函數(shù)的插值與逼近[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1979(1):123-124.

[2] 梁學(xué)章.二元插值的適定結(jié)點(diǎn)組與疊加插值法[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1979(1):27-32.

[3] 梁學(xué)章,張潔琳,崔利宏.多元Lagrange插值與Cayley-Bacharach定理[J].高等數(shù)學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,27(S1):276-281.

[4] 梁學(xué)章,張明,張潔琳,等.高維空間中代數(shù)流形上多項(xiàng)式空間的維數(shù)與Lagrange插值適定結(jié)點(diǎn)組的構(gòu)造[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2006,44(3):309-317.

[5] 張明,梁學(xué)章,張慧杰,等.關(guān)于球面上的Lagrange插值[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011,33(2):169-177.

[6] 梁學(xué)章,李強(qiáng).多元逼近[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005:37-43.

MultivariateLagrangeinterpolationdefinedonhyperboloidsurface

CUILihong,LIUHaibo,HUITingting

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

The multivariate Lagrange interpolation problem, which is usually defined on the ellipsoid, is often studied in practical scientific research and production. Multivariate Lagrange interpolation is proposed to give the definition of ellipsoid, to determine whether the node group on an ellipsoid form judgment theorem. The superposition method is implemented by constructing the interpolation regular set of nodes.

ellipsoid;multivariate Lagrange interpolation;regular set of nodes;superposition interpolation method

O174.41

:A

2017-05-20

遼寧省大學(xué)生實(shí)踐基地建設(shè)項(xiàng)目(遼教[2015]399)；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L201683661)

崔利宏(1964- ),男，吉林長春人，遼寧師范大學(xué)教授，博士.

1000-1735(2017)03-0297-04

10.11679/lsxblk2017030297