二維對流擴散方程逆過程的最小二乘支持向量機求解

吳自庫，陳建毅

(青島農業大學理學與信息科學學院，山東 青島 266109)

二維對流擴散方程逆過程的最小二乘支持向量機求解

吳自庫，陳建毅

(青島農業大學理學與信息科學學院，山東 青島 266109)

利用最小二乘支持向量機方法求解了二維對流擴散方程逆過程.相對于已有的反問題研究方法，本方法具有簡單、實用、穩定性好等諸多優點.數值結果表明最小二乘支持向量機方法可有效地求解二維對流擴散方程逆過程，并且具有較高的精度和穩定性.

二維對流擴散方程；逆過程；最小二乘支持向量機；近似解

二維對流擴散方程是一類具有廣泛應用的數學物理方程.它可以描述許多物理現象，例如污染物的擴散、海水的鹽度、交通流等.近年來二維對流擴散方程反問題成為研究熱點之一，研究較多的主要有逆過程反問題、源項反問題、模型參數估計.[1-4]

現階段一些學者利用軟計算方法解微分方程及其相關問題，常用的方法有人工神經網絡方法(ANN)、最小二乘支持向量機方法(LS-SVM)等.其原理是利用基核函數逼近問題的解，將問題轉化為二次優化問題.Lagaris等[5-6]利用人工神經網絡方法研究了常微分方程和偏微分方程.Baymani等[7]研究了Stokes方程的解.最近Mehrkanoon等[8-9]利用最小二乘支持向量機方法研究了常微分方程及其相關問題，取得了令人滿意的結果.吳自庫等[10-11]利用最小二乘支持向量機方法研究了一維熱傳導熱源反問題和一維對流擴散過程逆過程反問題.本文利用最小二乘支持向量機方法研究二維對流擴散過程逆過程反問題.

1 最小二乘支持向量機方法簡介

(1)

這里K為基核函數，αi和b為回歸參數.最小二乘支持向量機原理就是將估計回歸參數問題轉化為如下的二次規劃問題：

(2)

(3)

其中γ∈R+為懲罰因子，ei∈R為偏差項，αT=(α1，α2，…，αM)，eT=(e1，e2，…，eM).

問題(2)和(3)的拉格朗日函數為

(4)

這里ηi是拉格朗日乘子.依據最優性條件(KKT條件)有

(5)

2 二維對流擴散方程逆過程最小二乘支持向量機求解機制

考慮如下問題：

(6)

這里dx、dy、κ和c為模型參數，f1、f2、g1、g2和g為已知函數.

取方程(6)如下形式的近似解：

(7)

B(x，y，t)=(1-t)(x-x2)(y-y2)；

(8)

A(x，y，t)=A1(x，y，t)+A2(x，y，t)，

(9)

A1(x，y，t)=(1-x)f1(y，t)+xf2(y，t)+(1-y)[g1(x，t)-(1-x)g1(0，t)-xg1(1，t)]+y[g2(x，t)-(1-x)g2(0，t)-xg2(1，t)]，

(10)

A2(x，y，t)=t[g(x，y)-A1(x，y，1)].

(11)

將(7)式代入(6)式得

(12)

其中：

F(V)=cB(V)+Bt(V)+dxBx(V)+dyBy(V)-κ(Bxx(V)+Byy(V))；

G(V)=cA(V)+At(V)+dxAx(V)+dyAy(V)-κ(Axx(V)+Ayy(V))-f(V)；

E(V，Vj)=E1(V，Vj)+E2(V，Vj)+E3(V，Vj)，

E1(V，Vj)=[Bt(V)+cB(V)+dxBx(V)+dyBy(V)-k(Bxx(V)+Byy(V))]K(V，Vj)，

E2(V，Vj)=B(V)(Kt(V，Vj)+dxKx(V，Vj)+dyKy(V，Vj))- 2κ(Bx(V)Kx(V，Vj)+By(V)Ky(V，Vj))，

E3(V，Vj)=-κB(V)(Kxx(V，Vj)+Kyy(V，Vj)).

為了求得回歸參數，依據LS-SVM原理將參數回歸問題轉化為如下二次規劃問題：

(13)

(14)

其中(13)式為目標函數，(14)式為約束條件，γ∈R+為正則化參數，ei是偏差項.上述優化問題的拉格朗日函數為

(15)

依據最優性條件(KKT)有

(16)

消去偏差項ei得到如下回歸方程：

(17)

3 參數調節機制及穩定性分析

(18)

(19)

(20)

故可以將‖Lu(V)‖∞作為衡量該方法解的穩定性和精度的指標.由于Lu(V)為一致連續可微函數，且在邊界上為零，因而‖Lu(V)‖∞在內部取得.不妨令

‖Lu(V)‖∞=|Lu(x*，y*，t*)|，(x*，y*，t*)∈(0，1)3，

(21)

令距離(x*，y*，t*)最近的樣本點為V*=(xI，yI，tI)，于是有

‖Lu(V)‖∞=|Lu(x*，y*，t*)-Lu(V*)+Lu(V*)|≤ |Lu(x*，y*，t*)-Lu(V*)|+|Lu(V*)|≤(Mx+My)h+Mtτ+‖e‖∞.

(22)

這里Mx=‖Lux(V)‖∞，My=‖Luy(V)‖∞，Mt=‖Lut(V)‖∞.由(22)式可知本算法是收斂且穩定的.

4 數值例子

以兩個典型的例子驗證利用最小二乘支持向量機方法求解二維對流擴散方程逆過程反問題的有效性.在數值實驗中令步長h=0.1，樣本點的個數M=729.

(23)

u(x，y，t)=e-tsin(πx)sin(πy).

(24)

反演的初始條件為

w(x，y)=u(x，y，0)=sin(πx)sin(πy).

(25)

(26)

這里f(x，y，t)=e-t[21(x+y-x2-y2)+2xy(x+y)]，c=1，dx=dy=1，κ=10.其解析解為

u(x，y，t)=e-t(x-x2)(y-y2).

(27)

反演的初始條件為

w(x，y)=u(x，y，0)=(x-x2)(y-y2).

(28)

數值實驗中參數σ的優化值及反演結果誤差見表1.圖1為例1的初始條件反演結果，左圖為反演的u(x，y，0)曲面，右圖為u(x，y，0)的解析解與近似解的誤差曲面.圖2為例2的相應結果.數值實驗結果說明最小二乘支持向量機方法能較好地求解二維對流擴散方程逆過程，而且本方法將問題最終轉換為僅含一個調節參數的線性方程組，可操作性強，避免了繁瑣的積分、微分運算.

表1 LS-SVM數值仿真結果

圖1例1初始條件u(x，y，0)數值反演結果

圖2 例2初始條件u(x，y，0)數值反演結果

5 結論

本文利用LS-SVM法研究了二維對流擴散方程逆過程反問題，推導了反演初始條件的公式，給出了初始條件的半解析解表達式.同其他方法相比，這種方法具有理論完備、處理邊界條件靈活、拋開了繁瑣的微分運算等優點.數值實驗結果顯示該方法能成功地反演出二維對流擴散方程逆過程的初始條件，并具有較高的精度和較好的穩定性.該方法完全可以應用于更復雜的偏微分方程反問題的研究中.其求解偏微分方程反問題的機制就是將原問題轉換為含有1個調節參數的線性方程組，利用基核函數一致逼近問題的解.此外，這里采用的LS-SVM法更為簡潔實用，不需要考慮對偶形式.然而，由于本問題的核心是估計近似解的回歸參數α和b，因而對于非線性偏微分方程反問題理論上可行，但實際操作難度大，這也是本文選擇線性偏微分方程反問題的主要原因.

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(責任編輯：李亞軍)

2-Dconvection-diffusionequationinverseprocessbasedonleastsquaresupportvectormachinesmethod

WU Zi-ku，CHEN Jian-yi

(Science and Information College，Qingdao Agricultural University，Qingdao 266109，China)

Least square support vector machines method is used to solve 2-Dconvection-diffusion equation inverse process.The method used here has many advantages compared with the other methods，such as simple，practical and good stability.This method has been successfully tested on practical examples and has yielded higher accuracy and stability.

2-Dconvection-diffusion equation；inverse process；least square support vector machines；approximate solution

1000-1832(2017)03-0047-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.011

2016-01-14

國家自然科學基金資助項目(61403233)；山東省教育廳科技計劃項目(J09LA12).

吳自庫(1968—)，男，博士，教授，主要從事偏微分方程反問題研究.

O 242 [學科代碼] 110·47

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