K-擬加測度空間上Borel-Cantelli引理的局部推廣

李 艷 紅

(遼東學院師范學院數學系，遼寧 丹東 118000)

K-擬加測度空間上Borel-Cantelli引理的局部推廣

李 艷 紅

(遼東學院師范學院數學系，遼寧 丹東 118000)

基于K-擬加運算證明了集函數關于一般集合列滿足次可數可加性，進而給出了K-擬加級數收斂的一個必要條件.其次，在K-擬加測度空間上獲得了概率論中Borel-Cantelli引理的第一個結論，并通過構造子集合列方法對Borel-Cantelli引理進行了局部推廣.

誘導算子；擬加法；K-擬可加測度；K-擬加級數；Borel-Cantelli引理

0 引言

眾所周知，概率與測度之間主要區別在于概率引入了條件概率和事件的獨立性概念，并且概率是特殊的測度.Borel-Cantelli引理是概率論中一個重要結論，它闡述的主要思想是：若無窮多個事件的概率和為有限值，則這無窮多個事件同時發生的概率為零.近年來該結論在證明概率論中的一些重要結論時起到舉足輕重的作用，眾多學者對該引理自身條件的推廣及應用進行了大量研究.[1-4]然而，由于Borel-Cantelli引理本身要求的條件比較苛刻，致使其應用范圍還主要集中在概率論中.在國內，雖然早期就有文獻[5]將Borel-Cantelli引理模糊化并給出類似結論及證明，但至今在超出概率空間以外的某些測度空間上的應用及推廣研究十分少見.

1989年，日本學者Sugeno等[6]通過引入擬加算子首次提出擬加測度概念，并建立了擬加積分理論框架.1993年，文獻[7]在擬加測度空間上定義并研究了Kt積分和tK積分，獲得了一些類似于傳統Lebesgue積分的結果.1998年，文獻[8]通過統一兩類算子建立了K-擬加測度空間和K-擬加積分模型.文獻[9]討論了K-擬加積分的收斂性及其自連續等問題.近些年來，李艷紅[10-11]在上述工作基礎上進一步討論了K-擬加模糊積分和廣義Sugeno模糊積分的若干擴展性質及收斂性.這些結果對傳統積分或模糊積分理論來說是一種有效推廣.

本文在K-擬可加測度空間上通過誘導算子和擬加運算的性質給出了K-擬加級數收斂的必要條件，并推廣了Borel-Cantelli引理中的第一個結果.

1 K-擬可加測度空間

給定經典集合X，設R+是非負實數集，R表示X上若干子集構成的σ-代數.

定義1.1 設K：R+→R+為嚴格遞增的凸函數，且在(0，+∞)上可導，并滿足K(0)=0，K(1)=1，則稱K為R+上一個誘導算子.

顯然，K(x)=x2，K(x)=2x-1均為誘導算子，且K和K-1在[0，+∞)上都連續.

定義1.2 設K是給定的誘導算子.?a，b∈R+，由K誘導a與b的擬加運算?定義為a?b=K-1(K(a)+K(b))，稱此運算?為K-擬加運算或K-擬加算子.

按上述定義，?a，b，c∈[0，+∞)，易得以下運算性質：

(1) (a?b)?c=a?(b?c)；

(2)a?b=b?a，a?0=a；

(3) 若a≤b，c≤d，則a?c≤b?d；

(4)K(a?b)=K(a)+K(b)；

(5)K-1(a+b)=K-1(a)?K-1(b).

命題1.1 設K是誘導算子，則?a，b∈R+，必有K(a)+K(b)≤K(a+b)，且a?b≤a+b.

證明采用數學分析中Lagrange微分中值定理給予證明.

事實上，?a，b∈R+，不妨設0

K(a)=K(a)-K(0)=K′(ξ1)a，K(a+b)-K(b)=K′(ξ2)a，

其中0<ξ1

又因K是可導的凸函數，當且僅當K′(x)是單調遞增函數，故有K′(ξ1)≤K′(ξ2)，從而

K(a)+K(b)≤K(a+b).

此時明顯有K(a)+K(b)≤K(a+b)?a?b=K-1(K(a)+K(b))≤a+b，亦即K-擬加運算 “?”是比普通加法“+”更小的運算.

Study on the Yellow River Tourism in Shanxi Oriented by the All-For-One Tourism_____________________SANG Ziyu,HU Weixia 1

則：

(1)

結論得證.

(2)

2 Borel-Cantelli引理的局部推廣

經典概率論中Borel-Cantelli引理有兩個主要結果：在由事件概率值構成的數項級數收斂的條件下，任意隨機事件序列的上極限概率為0；在事件概率值構成的數項級數發散的條件下，相互獨立的隨機事件序列的上極限概率為1.其在概率空間中結果如下：

下面針對Borel-Cantelli引理的結論(1)在K-擬加測度空間上加以推廣.

(3)

因此，對一切j∈N，

(4)

ε/2?ε/22?…?ε/2k≤ε/2+ε/22+…+ε/2k.

對上式令k→∞有

[1] PETROV V V.A note on the Borel-Cantelli lemma [J].Statistics Probability Letters，2002，58(3)：283-286.

[2] PETROV V V.A generalization of the Borel-Cantelli lemma [J].Statistics Probability Letters，2004，67(3)：233-239.

[3] 蔣興妮，趙聯文.Borel-Cantelli引理的推廣[J].西南師范大學學報(自然科學版)，2013，38(7)：20-23.

[4] 劉繼成，張立丹.條件Borel-Cantelli引理與條件大數定律[J].應用數學學報，2014，37(3)：537-546.

[5] 孫群.FUZZY Borel-Cantelli引理[J].青海師專學報，1985(2)：80-84.

[6] SUGENO M，MUROFUSHI T.Pseudo-additive measures and integrals [J].J Math Anal Appl，1987，122(1)：197-222.

[7] 蔣興忠.tK-積分和Kt-積分[J].四川師范大學學報(自然科學版)，1993，16(2)：31-39.

[8] 王貴君，李曉萍.K-擬可加模糊積分的絕對連續性[J].四川師范大學學報(自然科學版)，1998，21 (3)：251-255.

[9] 王貴君，李曉萍.關于K-擬可加模糊積分連續性的繼續探討：自連續性[J].四川師范大學學報(自然科學版)，1999，22 (1)：43-47.

[10] 李艷紅.K-擬可加集值模糊積分的擴展性質[J].東北師大學報(自然科學版)，2008，40(4)：7-11.

[11] 李艷紅.K-擬可加模糊測度空間上的廣義Sugeno模糊積分[J].浙江大學學報(理學版)，2010，37(4)：376-380.

[12] 張廣全.模糊測度論[M].貴陽：貴州科技出版社，1994：14-15.

(責任編輯：李亞軍)

AlocalgeneralizationofBorel-CantellilemmaonK-quasi-additivemeasurespace

LI Yan-hong

(Department of Mathematics，Teacher’s College，Easten Liaoning University，Dandong 118000，China)

The weak countable additivity of the set function is proved by means ofK-quasi-additive operation for a general set sequence.A necessary condition of convergence forK-quasi-additive series is given.Meanwhile，the first conclusion of Borel-Cantelli lemma is obtained onK-quasi-additive measure space and Borel-Cantelli lemma is locally generalized by constructing a subsequence of set.

inductive operator；quasi-addition；K-quasi-additive measure；K-quasi-additive series；Borel-Cantelli lemma

1000-1832(2017)03-0029-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.007

2015-12-18

國家自然科學基金資助項目(61374009).

李艷紅(1965—)，女，教授，主要從事模糊測度與模糊積分研究.

O 211.1 [學科代碼] 110·64

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