一類具有非線性中立項的二階微分方程振動性

楊 甲 山

(梧州學院信息與電子工程學院，廣西 梧州 543002)

一類具有非線性中立項的二階微分方程振動性

楊 甲 山

(梧州學院信息與電子工程學院，廣西 梧州 543002)

研究了一類具有一個非線性中立項的二階變時滯微分方程的振動性.利用廣義的Riccati變換及Bernoulli不等式和Yang不等式，獲得了該類方程振動的2個新的適用范圍更廣的判別定理.特別地，獲得的Hille型和Kamenev型振動準則推廣并改進了一些相關文獻中的已有結果.

振動性;變時滯;非線性中立項;Riccati變換

0 引言

由于微分方程在工程技術、航空航天、生物醫藥及金融學等領域都有廣泛應用，近年來微分方程振動性理論的研究引起了國內外學者的廣泛興趣和高度重視.[1-16]考慮如下具有擬線性中立項的二階Emden-Fowler型微分方程的振動性問題：

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0，t≥t0.

(1)

假設以下條件成立：

稱函數x(t)∈C1([Tx，+∞)，R)(Tx≥t0)是方程(1)的一個解，如果函數x(t)滿足a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′∈C1([Tx，+∞)，R)并且在區間[Tx，+∞)滿足方程(1).本文僅關注方程(1)的非平凡解.方程(1)的一個解x(t)稱為是振動的，如果它既不最終為正也不最終為負.否則稱它是非振動的.方程(1)稱為是振動的，如果它的所有解都是振動的.

因為方程(1)的中立項是非線性的，這給研究帶來了很大困難，所以多數已有文獻或是回避這類方程的研究，或是附加一些條件將非線性中立項轉化為線性的來討論.[1-4，6-16]而文獻[5]直接研究了如下一類具有一個擬線性中立項的一階微分方程

并得到了其解振動的一些判別準則.

1 方程振動的判別定理

首先給出3個引理，其中引理2和引理3是眾所周知的，而引理1由函數f(x)=xλ(0<λ≤1)的凹凸性容易得到，故略去其證明.

引理1 設X，Y為非負實數，則當0<λ≤1時，Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ.

引理2(Bernoulli不等式) 對任意實數x>-1，當0≤r≤1時，(1+x)r≤1+rx;當r≤0或r≥1時，(1+x)r≥1+rx.

為了方便，引入下列記號：

z(t)=x(t)+p(t)xα(τ(t))，φ+(t)=max{φ(t)，0}.

定理1 設條件(H1)和(H2)成立，0<α≤1和γ>0均為兩個正奇數的商.如果存在函數φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))使得當β≥γ時有

(2)

當β<γ時有

(3)

證明反證法. 設方程(1)存在一個非振動解x(t)，不妨設x(t)最終為正(當x(t)最終為負時類似可證)，則?t1≥t0，使得當t≥t1時，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0.由z(t)的定義和方程(1)可得z(t)≥x(t)>0(t≥t1)，且有

[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′=-q(t)xγ(δ(t))<0.

(4)

利用條件(H1)，由(4)式不難推出z′(t)>0(t≥t1).由引理1和引理2，有

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=

z(t)-α21-αp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥z(t)-α21-αp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

[1-α21-αp(t)]z(t)-(21-α-1)p(t).

(5)

作Riccati變換：

(6)

顯然w(t)>0(t≥t1).對(6)式兩邊求導，并利用(4)與(5)式及a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β，得

(7)

情形(ⅰ) 當β≥γ時. 由于當t≥t1時z(t)>0，z′(t)>0，所以當t≥t1時，

z(δ(t))≥z(δ(t1))=k1，

(8)

(9)

于是，利用(6)、(8)及(9)式，由(7)式得

(10)

則

將上式代入(10)式得

兩邊從t1到t(t≥t1)積分，得

這與(2)式矛盾.

情形(ⅱ) 當β<γ時.由(7)式，并利用(6)、(8)式及引理3，類似地可得

(11)

兩邊從t1到t(t≥t1)積分，得

這與(3)式矛盾.定理證畢.

定理2 設條件(H1)和(H2)成立，0<α≤1和γ>0均為兩個正奇數的商.如果存在函數φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))及常數ω≥1，使得當β≥γ時有

(12)

當β<γ時有

(13)

其中函數Q(s)如定理1所示，常數t1≥t0，ki>0(i=1，2)，則方程(1)是振動的.

證明類似定理1的證明，當β≥γ時可得(10)式，當β<γ時可得(11)式. 于是當β≥γ時，將(10)式中的t改成s，兩邊同乘以(t-s)ω，然后從t1到t(t≥t1)積分，并應用引理3可推得

所以

這與(12)式矛盾.

當β<γ時，由(11)式，利用與上面同樣類似的方法，可得到一個與(13)式矛盾的結果.定理證畢.

注1 從定理1和定理2可以看出，在β<γ和β>γ兩種不同的情形下，方程(1)的振動準則是不同的，但當β=γ時(2)式和(3)式以及(12)式和(13)式的情形是相同的.當α=1(即中立項是線性的情形)且β≥γ時由定理1可得到文獻[16]中的定理2.2，但這里去掉了文獻[16]中的限制條件“a′(t)≥0”.

2 例子和應用

例1 對常數q0>0，考慮二階時滯微分方程

(E1)

這里a(t)≡1，p(t)=1/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t/5，δ(t)=t，α=1，β=1，γ=1.此時容易驗證條件(H1)和(H2)都是滿足的.取φ(t)=t，則當q0>5/16=0.312 5時，

因此由定理1知當q0>0.312 5時方程(E1)是振動的.

注2 可以用文獻[7]中的定理3.4來判定方程(E1)的振動性：由于當q0>2.5時，

因此當q0>2.5時方程(E1)是振動的.

顯然，本文定理1的特殊情形即當α=1(相當于方程(1)的中立項是線性的)時的振動準則比文獻[7]中的有關結論要“精細”得多.

例2 對常數q0>0，考慮下列具非線性中立項的二階微分方程

(E2)

這里α=1/3，β=5/3，γ=7/5，a(t)=t，p(t)=1/5，q(t)=q0/t，τ(t)=t/2，δ(t)=t/3.此時顯然條件(H1)和(H2)均滿足.為了計算簡單，取φ(t)=1，則

從而由定理1知方程(E2)是振動的.

注3 由于方程(E2)是具有非線性中立項的微分方程，并且β≠γ，所以文獻[1-4，6-16]中的定理均不能用于方程(E2).

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(責任編輯：李亞軍)

Oscillationofcertainsecond-orderdifferentialequationswithnonlinearneutralterm

YANG Jia-shan

(School of Information and Electronic Engineering，Wuzhou University，Wuzhou 543002，China)

The oscillatory behavior of a certain class of second-order variable delay differential equations with a nonlinear neutral term is studied. By using the generalized Riccati transformation and Bernoulli’s inequality and Yang’s inequality，two new oscillation theorems are presented that can be used in cases where known results fail to apply. In particular，the Hille-type and the Kamenev-type oscillation criteria obtained here extend and improve some related results reported in the literature.

oscillation;variable delay;nonlinear neutral;Riccati transformation

1000-1832(2017)03-0013-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.004

2016-02-18

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(61503171)；廣西教育廳科研項目(2013YB223);碩士學位授予單位立項建設項目(桂學位[2013]4號);梧州學院2014年校級科研重大項目(2014A003).

楊甲山(1963—)，男，教授，主要從事微分方程理論與應用研究.

O 175.7 [學科代碼] 110·54

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